Волновая теория открытого резонатора

Считая, что дифракционных потерь нет (это соответствует бесконечно большим размерам зеркал), рассмотрим суперпозицию плоских волн, распространяющихся между зеркалами З₁ и З₂ плоскопараллельного открытого резонатора (резонатор Фабри-Перо) с базой L. (рис. 1.18).

Рис.1.18.Формирование стоячей волны в резонаторе.

а) Сначала учтем только плоские волны, распространяющиеся строго вдоль оси резонатора z. За один цикл обхода волны от левого зеркала до правого и обратно изменение фазы волны составит величину:

Условие резонанса требует, чтобы волна вернулась в исходную точку в той же фазе, т.е. , где = 1,2,3… Приравняв правые части этих формул, получим: . (1.83)

Это условие можно записать через частоту: , (1.84)

где - резонансная частота, соответствующая колебанию с номером .

Эти собственные частоты резонатора называются продольными модами резонатора. Они отличаются одна от другой лишь распределением поля вдоль оси z, т.е. в продольном направлении.
Величина ∆ν=ν_q+1-ν_q, (1.85) определяет расстояние по частоте между двумя соседними колебаниями.

Рис.1.19. Спектр продольных мод открытого резонатора.

Таким образом, спектр собственных колебаний открытого резонатора состоит из равноотстоящих друг от друга линий и является эквидистантным (рис.1.19).

Рис.1.20.Формирование поперечных мод резонатора.

б) Можно себе представить, что помимо продольных колебаний существуют также колебания, образованные плоскими волнами, распространяющимися под некоторым углом q к оси резонатора (рис.1.20).

Собственные частоты этих колебаний определяются условием:

, (1.86)

где q может принимать любые непрерывные значения. В результате сложения этих волн образуются так называемые поперечные колебания или поперечные моды резонатора. Для более подробного изучения поперечных мод резонатора рассмотрим объемный резонатор с идеально проводящими боковыми стенками (рис.1.21).

Спектр частот собственных колебаний такого резонатора определяется условием:

, (1.87)

где m, l =0,1,2,3... целые числа.

Рис.1.21. Схема объемного закрытого резонатора.

Приближенно, при малых углах распространения q и m,l<<q, можно считать, что моды открытого резонатора описываются модами прямоугольного резонатора.

Тогда резонансные частоты плоскопараллельного открытого резонатора можно найти из выражения (1.87) путем разложения его в степенной ряд:

. (1.88)

Из этого выражения можем найти разность частот между двумя модами, отличающимися только значениями числа m на единицу, в виде: . Учитывая, что , отсюда получим: . (1.89)

Аналогично получим, что для разности частот Dn_l:

. (1.90)

Эти моды будут отличаться только распределением поля в плоскости, ортогональной оси z, т.е. в поперечном направлении.

Спектр собственных колебаний (резонансных частот) плоскопараллельного резонатора с учетом формул (1.89) и (1.90) имеет вид, показанный на рисунке 1.22.

Величины Dn_m и Dn_l определяют разность частот между двумя последовательными поперечными модами.

Рис.1.22. Спектр собственных колебаний плоскопараллельного открытого резонатора.

Дифракционная теория

Строгое рассмотрение электромагнитного поля в открытом резонаторе основывается на системе уравнений Максвелла с заданными граничными условиями на зеркалах. Лазерные резонаторы имеют ту особенность, что их характерные размеры (длина резонатора, радиусы кривизны и апертуры зеркал) намного превышают длину волны излучения. Исходя из этого, можно считать, что электромагнитное поле в резонаторе является поперечным, однородно поляризованным. Для вычисления его стационарного распределения на поверхности одного из зеркал в виде интеграла от поля заданного на поверхности другого зеркала, можно воспользоваться скалярной формой принципа Гюйгенса-Френеля. Такие расчеты были впервые проведены Фоксом и Ли.

Рис. 1.23. К расчету плоскопараллельного резонатора с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа.

Поле U_Р в любой р-ой зоне Френеля второго зеркала, обусловленное освещенным первым зеркалом, описывается поверхностным интегралом (дифракционный интеграл Кирхгофа):

(1.91)

где - вектор распространения волны в среде; - расстояние от точки на первом зеркале до точки наблюдения: θ - угол между и перпендикуляром к поверхности первого зеркала; U₀-поле в плоскости первого зеркала. Моды резонатора соответствуют стационарным решениям интеграла (1.91).

Структуру поля для разных мод рассчитывают методом последовательных приближений с использованием ЭВМ. Следует отметить, что метод последовательных приближений здесь в некоторой степени адекватен самому физическому процессу в резонаторе при нарастании количества отражений. На рисунке 1.25 представлен результат расчета Фокса и Ли для амплитуды поля в точке x=a/2 на поверхности одного из зеркал в зависимости от числа отражений. Видно, что с увеличением количества отражений амплитуда поля принимает постоянное значение. После N прохождений, когда установился стационарный режим, можно написать соотношение: υ(x,y), где γ - комплексная постоянная, υ(x,y)-функция установившегося распределения. Подставляя ее в (1.91), получим: . Поскольку υ_N+1=υ_N, индексы в дальнейшем будем опускать и для нахождения структуры поля на поверхности зеркал, получаем интегральное уравнение: (1.92)

Собственные функции υ_mn(x,y), являющиеся решением интегрального уравнения (1.92) при соответствующих значениях γ_mn (собственные значения), характеризуют структуру поля на поверхности зеркал резонатора и обозначаются как колебания типа TEM_mn. (рис.1.25). Каждая поперечная мода включает в себя ряд продольных мод, которым соответствуют разные q.

Рис.1.24. Изменение амплитуды поля в зависимости от числа прохождений.

Для прямоугольных зеркал индекс m означает число изменений направления поля вдоль оси x, а индекс n – вдоль оси y. В случае круговых зеркал n означает число изменений направления поля по окружности (для фиксированного радиуса), а m- вдоль радиуса.

Логарифм собственных значений γ_mn является комплексной величиной

lnγ_mn=β_mn+i(α_mn+kL), (1.93)

где β_mn определяет затухание за один проход, связанное с дифракционными потерями для каждой моды резонатора; α_mn определяет фазовый сдвиг за один проход, который прибавляется к геометрическому фазовому сдвигу.

Параметр β_mn характеризует добротность резонатора: . (1.94)

Из условия резонанса можно определить собственные частоты мод, которые выражаются через α_mn: . (1.95)

Таким образом, решение интегрального уравнения (1.92) для соответствующей конфигурации оптического резонатора дает информацию о структуре поля, резонансных частотах и дифракционных потерях резонатора. Заметим, что это уравнение имеет общий характер. Оно не связано с конкретной конфигурацией резонатора и формой зеркал и поэтому пригодно не только для плоских зеркал (резонатор Фабри-Перо), но и для зеркал иной формы (в частности, сферических).

На рис.1.26 показано распределение интенсивности для поперечных мод TEM_mn открытого резонатора.

Рис.1.25.Конфигурация электрического поля различных мод для квадратных зеркал.

Рис.1.26. Структуры электрических полей поперечных типов колебаний оптического резонатора.