Термический КПД идеального цикла Карно
, (22.7)
где – абсолютная температура нагревателя, – абсолютная температура холодильника.
Цикл Карно, проведенный в обратном направлении, является идеальной холодильной установкой с холодильным коэффициентом:
. (22.8)
Первое начало термодинамики, являясь выражением закона сохранения и превращения энергии, не позволяет, однако, определить направление протекания процессов в природе. Периодически действующий двигатель, который совершал бы работу в количестве, равном подведенному ему теплу (вечный двигатель второго рода), не противоречит первому закону. Но он запрещается вторым законом термодинамики.
Сущность второго закона термодинамики выражается несколькими формулировками:
1. Для перевода тепла в работу необходимо наличие, кроме источника тепла, охладителя более низкой температуры (С. Карно (1796 - 1832) – фр. физик, инженер).
2. Тепло само по себе не может перейти от более холодного тела к более теплому (Р. Клаузиус (1822 - 1888) – нем. физик).
3. Невозможен круговой процесс, единственным результатом которого была бы механическая работа, совершенная за счет охлаждения теплового резервуара (В. Томсон (1824 - 1907) – англ. физик).
4. Невозможен такой периодический процесс, единственным результатом которого было бы превращение теплоты в работу (М. Планк (1858 - 1947) – нем. физик).
На основании выражений (22.7) можно записать:
(22.9)
где знак ² = ² относится к обратимому процессу, а знак ² < ² - к необратимому. Учитывая, что , выражение (22.9) примет вид
. (22.10)
Отношение количества теплоты, получаемого или отданного рабочим телом, к температуре, при которой происходит теплообмен, называется приведенным количеством теплоты. Выражение (22.10) можно сформулировать так: алгебраическая сумма приведенных количеств теплоты за цикл не больше нуля (в обратимом цикле равна нулю, в необратимом – меньше нуля).
Сумму приведенных количеств теплот для обратимого процесса можно представить как разность значений некоторой функции состояния, которую называют энтропией:
(22.11)
где и – энтропия в конечном 2 и начальном 1 состояниях соответственно; является дифференциалом энтропии:
. (22.12)
Если dQ > 0, то dS > 0; если dQ < 0, то dS < 0. Следовательно, возрастание или убывание энтропии указывает на направление теплообмена.
С учетом первого закона термодинамики уравнение (22.11) примет вид
.
При переходе термодинамической системы из состояния 1 в состояние 2 изменение энтропии не зависит от вида процесса, определяется только начальными и конечными параметрами состояния (значениями температуры и объема в этих состояниях).
Второе начало термодинамики является статистическим законом: оно отражает закономерности движения огромного числа частиц тел, входящих в состав изолированной системы.
Примеры решения задач
Задача 1. Один моль идеального двухатомного газа, занимающий объем = 12,3 л под давлением = 2 атм, нагревается при постоянном объеме до = 3 атм. Затем газ расширяется при постоянном давлении до = 24,6 л, после чего охлаждается при постоянном объеме до начального давления и, наконец, сжимается при постоянном давлении до начального объема. Определить: 1) температуру точек цикла; 2) термический коэффициент полезного действия цикла.
Дано:
n = 1 моль
= 12,3 л = 1,23 м3
= 2 атм = 2 Па
= 3 атм = 3 Па
= 24,6 л = 2,46 м3
R = 8,31
Перед решением задачи необходимо:
1) начертить график цикла в координатах р,V;
2) на графике отметить параметры состояния газа в каждой точке; выделить известные параметры.
Решение
Из анализа условий задачи видно, что в каждой из точек 1, 2, 3, 4 температура может быть определена из уравнения состояния газа.
Но рациональнее пользоваться уравнениями соответствующих процессов.
1)
Подставляя данные, получаем
К = 290 К; = 290 К.
2) Процесс 1 - 2, = сonst – изохорный.
К = 435 К; = 435 К.
3) 2 - 3 – процесс изобарный, = сonst.
К = 870 К; = 870 К.
4) Процесс 3 - 4 изохорное охлаждение, = const.
К = 580 К; К.
5) Коэффициент полезного действия цикла
где А – работа совершенная в цикле, – количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя.
Полная работа, совершенная в данном цикле, равна
.
Работы и равны нулю, так как в изохорном процессе изменение объема dV = 0, следовательно, и работа равна 0 (перемещения тел нет).
Полезная работа за цикл равна
.
В изобарном процессе работа равна А = р DV, следовательно,
Так как , то
Тогда
Полезная работа цикла численно равна площади цикла.
- количество теплоты, полученное в цикле при изохорном и изобарном нагревании, т. е. в процессах 1 - 2 и 2 - 3:
КПД цикла
Вычисляем h, подставив данные:
; h = 7,8 %.
6) Можно сравнить КПД данного цикла с КПД обратимого цикла Карно:
.
7) Изобразите данный цикл в координатах р,Т и V,Т:
Рис.22.7
8) Изобразите данный цикл в координатах Т, S
Ответ: Т1 = 290 К, Т2 = 435 К, Т3 = 870 К, Т4 = 580 К, h = 7,8 %; график на рис. 22.8.
Задача 2. На рис.22.9 изображен в координатах Т, V цикл. В цикле заданы и температуры нагревателя и холодильника. Найти h.
Решение
Начертим график цикла в координатах р,V:
1 - 2 – изобарное расширение.
2 - 3 – изохорное охлаждение.
3 - 1 – изотермическое сжатие.
КПД цикла равен:
А – работа полезная, совершенная в цикле, - полученное в цикле тепло от нагревателя, оно получено в изобарном процессе 1 - 2; в процессах 2 - 3 и 3 - 1 тепло отдается холодильнику.
- закон Бойля - Мариотта.
На участке 2 - 3 можно записать
,
но а .
Следовательно,
.
Тогда
.
Задача 3. Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя = 400 0С, температура холодильника = 20 0С. Время, за которое осуществляется цикл Карно, = 1 c. Найти мощность двигателя, работающего по этому циклу, если известно, что рабочим телом служат 2 кг воздуха; давление в конце изотермического расширения равно давлению в начале адиабатного сжатия.
Дано:
= 400 0С = 673 К
= 20 0С = 293 К
т = 2 кг
m = 29 .
t = 1 с
R = 8,31
N - ?
Решение
Изобразим цикл Карно на рис. 22.10, по условию.
Мощность
,
где А – работа, совершенная воздухом за один цикл.
В процессе 1 - 2 рабочее тело получает тепло от нагревателя и совершает работу, так как это процесс изотермический, то
КПД цикла Карно:
отсюда
Из уравнения Пуассона можно найти отношение
но так как где
Воздух - смесь в основном двухатомных газов, поэтому
Тогда
;
;
;
Вт = 6,2 . Вт.
Ответ: N = 6,2 . 105 Вт.
Задача 4. 6,6 г водорода расширяются изобарически до удвоения объема. Найти изменение энтропии при этом расширении. Построить график зависимости S от T.
Дано: Решение
р = const
т = 6,6 кг
m = 2
DS - ?
Из первого начала термодинамики для изобарного процесса (р = const) получим количество теплоты :
, ,
где
Работа (это следует из уравнения состояния идеального газа; ).
Тогда
Интегрируя, получаем
Для изобарного процесса
Тогда
По условию
Вычислим DS:
.
Вывод: Энтропия при изобарном расширении водорода увеличилась , следовательно, процесс необратим, самопроизвольно сжиматься газ не может. Энтропия указывает направление процесса.
Задача 5. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении водорода т = 6 г в пределах 105…0,5 .105 Па. Построить график зависимости S от р и S от V.
Дано:
T = const
m = 6 . кг
m = 2 .
= Па
Па
R = 8,31
DS - ?
Решение
Т = const.
из уравнения состояния имеем тогда ; для изотермического процесса, поэтому
.
В изотермическом процессе DS > 0 при расширении.
Ответ: DS = 17,3 .
Задача 6. Найти изменение внутренней энергии, энтропии и работы совершенной газом при переходе газа из состояния А в состояние В по пути: а) АСВ и б) по пути АDВ (рис.22.13).
Дано:
n = 8,2
= 3 л = 3 . м3
л = 4,5 . м3
= 8,2 . Па
Па
Решение
I. а) путь АСВ:
б) путь АDВ:
Вывод: D , т. е. внутренняя энергия является функцией состояния, изменение от процесса не зависит.
II. , так как , а
.
ААСВ = 6 . 105 (4,5 . 10-3 – 3 . 10-3) = 900 Дж;
АADB = 8,2 . 105 (4,5 . 10-3 – 3 . 10-3) = 1230 Дж.
Работа зависит от процесса .
III. ;
Из газовых законов получаем
.
Тогда
то есть
Энтропия и внутренняя энергия являются функциями состояния. Их изменение не зависит от пути перехода, а зависит только от начального и конечного состояний.
Ответ: DU1 = DU2 = 600 Дж, А1 = 900 Дж, А2 = 1230 Дж, DS1 = DS2 = = 305 .
Качественные задачи
Задача 1. Изобразите для идеального газа графики изотермического и адиабатного процессов на диаграмме U, S (U – внутренняя энергия, S – энтропия).
Задача 2. Изобразите для идеального газа примерные графики изотермического, изохорного, изобарного и адиабатного процессов на диаграмме: 1) T, S; 2) V, S; 3) p, S. S откладывать по оси абсцисс. Графики изобразить проходящими через общую для них точку.
Задача 3.На рис. 22.14 изображены пять процессов, протекающих с идеальным газом. Как ведет себя внутренняя энергия газа в ходе каждого из процессов? Как ведет себя энтропии в ходе каждого из процессов?
Задача 4. Изобразите для идеального газа примерные графики изохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов на диаграмме: 1) S, T; 2) S, V; 3) S, p. S откладывать по оси ординат. Графики имеют общую для всех исходную точку.
Задача 5. На рис. 22.15 изображен цикл Карно на диаграмме p,V для идеального газа. Какая из заштрихованных площадей больше, I или II?
Задача 6. На рис. 22.16 изображены две изоэнтропы для одной и той же массы идеального газа. Какая из энтропий больше?
Задача 7*. Идеальный газ (с известным g) совершает круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изобар. Изотермические процессы протекают при температурах и изобарные – при давлениях р1 и р2 (р2 в е раз больше, чем р1). Найти КПД цикла.
Задача 8. Как ведет себя энтропия термодинамической системы при адиабатическом процессе?
Задача 9. Некоторое количество газа переходит из равновесного состояния 1 в равновесное состояние 2 посредством: а) обратимого адиабатного процесса; б) некоторого необратимого процесса. Начальное и конечное состояния газа для обоих процессов одинаковы. 1. Чему равно приращение энтропии газа DS в обоих случаях? 2. Может ли второй процесс быть также адиабатическим?
Задача 10*.Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух изотерм и двух изохор. 1) Как ведет себя: а) внутренняя энергия; б) энтропия на различных участках цикла? 2) На каких участках: а) совершенная газом работа А; б) полученное газом тепло Q больше (меньше) нуля?
Задача 11*. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из двух адиабат и двух изобар. 1. Как ведет себя: а) внутренняя энергия; б) энтропия на различных участках цикла? 2. На каких участках: а) совершенная газом работа A; б) полученное газом тепло Q больше (меньше) нуля?
Задача 12. Изобразить на диаграмме Т, V совершаемый идеальным газом цикл, состоящий: а) из двух изотерм и двух изобар; б) двух изобар и двух изохор.
Задача 13. Изобразить на диаграмме Т, р совершаемый идеальным газом цикл, состоящий: а) из двух изотерм и двух изохор; б) двух изохор и двух изобар.
Задача 14. Изобразить на диаграмме Т, S совершаемый идеальным газом цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар.
Задача 15*. Круговой процесс состоит из изотермы, адиабаты и двух изобар. Изобразить этот процесс на диаграмме Т, S (рис.22.17)
Задача 16*. Идеальный газ (с известным g) совершает круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух изохор. Изотермические процессы протекают при температурах и , изохорические – при объемах V1 и V2 (V2 в е раз больше, чем V1). Найти КПД цикла.