Приклади розв’язання задач. Приклад 1. Визначити число молекул, які містяться в об'ємі 1 мм3 води, і масу молекули води

Приклад 1. Визначити число молекул, які містяться в об'ємі 1 мм³ води, і масу молекули води. Знайти також діаметр молекул. Вважати умовно, що молекули води мають вигляд кульок, які щільно прилягають одна до одної.

Дано:

H₂O

V= 1 мм³ = 10^-9м³

______________

N – ? m₁ – ? d – ?

Розв’язування. Число N молекул, які втримуються в деякій системі масою m, дорівнює добутку постійної Авогадро N_A на кількість речовини n

Оскільки n = m/m, де m – молярна маса, то N = (m / m) N_A. Виразивши в цій формулі масу як добуток густини на об'єм V, одержимо

( 1)

Виконаємо обчислення, врахувавши, що m = 18 ^. 10^-3 кг/моль,

r = 1,0^.10³ кг/м³

молекул.

Масу m₁ однієї молекули можна знайти за формулою

( 2)

Підставивши в (2) значення m і N_A , знайдемо масу молекули води

кг.

Якщо молекули води щільно прилягають одна до одної, то можна вважати, що на кожну молекулу приходиться об'єм V₁ = d³, де d – діаметр молекули. Звідки

( 3)

Об'єм V₁ знайдемо, розділивши об'єм моля на число молекул у молі, тобто на N_А

( 4)

Підставивши вираз (4) в (3), одержимо

,

де V = m / r.

Тоді

. ( 5)

Зробимо необхідні розрахунки

Приклад 2. Знайти масу сірчистого газу (SO₂), який займає об'єм 25 л при температурі 27^о С і тиску 101 кПа.

Дано:

SO₂

V = 25 л = 25^.10^-3 м³

t = 27^оC

P = 101 кПа = 1,01^.10⁵ Па

___________________

m – ?

Розв’язування. З рівняння Клапейрона маса газу дорівнює

.

Визначаємо молярну масу сірчистого газу за даними таблиці Менделєєва й абсолютна температура T = t + 273^о = 27^о + 273^о = 300^о K.

Обчислюємо масу

Приклад 3. Балон містить 80 г кисню й 300 г аргону. Тиск суміші 10 атм, температура 15^оС. Приймаючи дані гази за ідеальні, визначити ємність балона.

Дано:

O₂

m₁ = 80 г = 8^.10^{-2 кг}

Аr

m₂ = 300 г = 3^.10^{-1 кг}

t = 15^о C

P = 10 атм = 1,01^.10⁶ Па

_____________________

V – ?

Розв’язування. За законом Дальтона тиск суміші дорівнює сумі парціальних тисків газів, що входять до складу суміші. Парціальним тиском газу називається тиск, який здійснював би газ, якби тільки він один перебував у посудині, зайнятій сумішшю.

З рівняння Клапейрона парціальні тиски кисню p₁ й аргону p₂ виражаються формулами

і

Отже, за законом Дальтона для суміші газів p = p₁ + p₂ або

звідки об’єм балона дорівнює

( 1)

Виразимо в одиницях СІ числові значення величин, які входять у цю формулу: m₁ = 0,08 кг; m₁ = 32^.10^-3 кг/моль; m₂ = 0,3 кг; m₂ = 40^.10 ^-3 кг/моль; p = 10^.1,01^. 10⁵ Па; T = 288K; R = 8,31 Дж /(моль ^. К).

Підставимо числові значення у формулу (1) і виконаємо необхідні розрахунки

Приклад 4. Знайти кінетичну енергію обертального руху однієї молекули кисню при температурі 13⁰С, а також кінетичну енергію обертального руху всіх молекул, які містяться в 4 г кисню.

Дано:

O₂

m = 4 г = 4^.10^{-3 кг}

t = 13^оC

_____________

e_об – ? W_об – ?

Розв’язування. Відомо, що на кожну ступінь вільності молекули газу доводиться однакова енергія, яка виражається формулою

( 1)

де k – стала Больцмана;

T– абсолютна температура газу.

Оскільки обертальному руху двохатомної молекули (молекула кисню – двохатомна) приписуються дві ступені вільності, то енергія обертального руху молекули кисню виразиться формулою

( 2)

Підставивши у формулу (2) k = 1,38 ^. 10^-23 Дж/К й T =286 K, одержимо

Дж.

Кінетична енергія обертального руху всіх молекул газу визначається з рівності

, ( 3)

де N – число всіх молекул газу.

Число молекул N можна одержати за формулою

( 4)

де N_A – число Авогадро;

n – число молів газу.

Число молів газу дорівнює

де m – маса газу;

– маса одного моля газу,

Кількість молекул газу визначається із формули (4)

( 5)

Підставивши цей вираз N у рівність (3), одержимо

( 6)

Виразимо величини, що входять у цю формулу, в одиницях СІ:

моль^-1; кг; кг/моль;

Дж.

Підставивши ці значення у формулу (6), знайдемо

Приклад 5. На якій висоті над рівнем моря густина повітря зменшується у 2 рази? Вважати, що температура повітря не залежить від висоти й дорівнює 0^оС. Молярна маса повітря дорівнює 29^.10^-3 кг/моль.

Дано:

r_1/ r₂ = 2

t = 0^оC

__________

h – ?

Розв’язування. Густина ідеального газу ( і його концентрація n) зв'язані співвідношенням

r = nm₀ ,

де m₀ = m / N_A – маса однієї молекули повітря;

m – молярна маса повітря;

N_A – число Авогадро.

Таким чином, відношення густин газу r₁/r₂ дорівнює відношенню концентрацій молекул n₁/n₂. Відповідно до розподілу Больцмана концентрація n молекул повітря на висоті h дорівнює

,

де n₀ – концентрація молекул на рівні моря (h = 0);

U_n – потенціальна енергія молекули на висоті h визначається за формулою U_n = m₀gh (якщо h = 0 то U_n= 0) .

Концентрації молекул на висоті h = 0 і h відповідно дорівнюють

n₁ = n₀ й n_{2 =} n₀ e .

Відношення концентрацій на цих висотах дорівнює

,

де N_Ak = R і N_Am₀ = .

Беремо натуральний логарифм від обох частин відношення й знаходимо висоту h

Підставивши в отриману формулу дані з умови задачі, одержимо

h = = 5,5.10 ³м.

ЕЛЕМЕНТИ ТЕРМОДИНАМІКИ

Основні формули

1. Перший принцип термодинаміки

Q = U + A,

де Q – теплота, передана системі;

U – зміна внутрішньої енергії системи;

A – робота, виконана системою проти зовнішніх сил.

2. Зв'язок між питомою c і молярною C_m теплоємностями

C_m = cm.

3. Питома теплоємність газу при постійному об'ємі

4. Питома теплоємність газу при постійному тиску

5. Внутрішня енергія газу (енергія теплового руху молекул)

6. Робота розширення газу від об'єму V₁ до об'єму V₂ дорівнює

7. Робота газу в різних процесах визначають так:

– при ізотермічному процесі

A = ( m / m ) RT ln( V₂ /V₁ );

– при ізобарному процесі

A = p ( V₂ - V₁ );

– при адіабатному процесі

,

де g = c_p / c_v – показник адіабати.

8. Рівняння Пуассона, яке пов'язує параметри ідеального газу при адіабатному процесі

p ^g = const або TV ^g-1 = const.

9. Коефіцієнт корисної дії теплової (ККД) машини

де Q₁ – тепло, передане робочому тілу;

Q₂ – тепло, передане холодильнику.

10. Термічний ККД циклу Карно

де T₁ – температура нагрівача;

T₂ – температура холодильника.

11. Збільшення ентропії при переході із стану A у стан В

,

яка складається із приростів ентропії у проміжних процесах

.