Ряд Фурье для гармонических сигналов

Ряд вида Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru называется рядом Фурье данного сигнала. Введем основную частоту ω1=2π/T последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения запишем ряд Фурье для периодического сигнала Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru с коэф-тами

Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами ωn = nω1 (n = 1, 2, 3, ...), кратными основной частоте последовательности. Каждую гармонику можно описать ее амплитудой An и начальной фазой φn. Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде: an=Ancosφn, bn=Ansinφn так, что Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru , tgφn=bn/an.

Другая, эквивалентная форма ряда Фурье: Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru

Спектральная диаграмма периодического сигнала - графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 3.2). Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы. Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru

Рис.3. 2. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а — амплитудная; б — фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала. Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированы на отрезке времени [—Т/2, Т/2], так как

Ряд Фурье для гармонических сигналов - student2.ru

Наши рекомендации