Примеры механических колебательных движений

Механические колебательные системыназывают маятниками.

Пружинный маятник(Рис.1.2) представляет собой пружину с прикреплённой к ней массой. На шарик массой m при смещении его из положения равновесия (х=0) будет действовать сила упругости пружины F=-kx, стремящаяся вернуть его в положение равновесия.

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

Рис. 1.2

По второму закону Ньютона Примеры механических колебательных движений - student2.ru , где Примеры механических колебательных движений - student2.ru - вторая производная от х по времени. Тогда:

Примеры механических колебательных движений - student2.ru или Примеры механических колебательных движений - student2.ru . (1.7)

Обозначив Примеры механических колебательных движений - student2.ru приходим к дифференциальному уравнению (1.6). Это уравнение гармонических колебаний системы с собственной циклической частотой ω0 и периодом:

Примеры механических колебательных движений - student2.ru .

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси 0, не проходящий через центр масс С тела (Рис. 1.3)

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

Рис. 1.3

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для физического маятника:

Примеры механических колебательных движений - student2.ru (1.8)

Момент силы тяжести М, возвращающий маятник в положение равновесия имеет знак, противоположный знаку угла отклонения и равен:

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

При малых углах отклонения Примеры механических колебательных движений - student2.ru (угол измеряется в радианах) и тогда возвращающий момент пропорционален углу отклонения:

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

Подставив это значение М в (1.8), получим:

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

или

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

Принимая

Примеры механических колебательных движений - student2.ru (1.9)

получим уравнение колебаний физического маятника

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

идентичное уравнению (1.6), решение которого известно, т. е.

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

Таким образом, при малых отклонениях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0, выражаемой формулой (1.9) и периодом

Примеры механических колебательных движений - student2.ru (1.10)

или

Примеры механических колебательных движений - student2.ru , (1.11)

где

Примеры механических колебательных движений - student2.ru (1.12)

называется приведенной длиной физического маятника.

Математический маятник – точечное тело массой m, подвешенное на нерастяжимой или невесомой нити и колеблющееся под действием силы тяжести.

Так как математический маятник является частным случаем физического маятника, то период колебаний математического маятника найдем подставив в формулу (1.10) значение его момента инерции J = ml2 (здесь l – длина нити). В результате получим:

Примеры механических колебательных движений - student2.ru (1.13)

Сравнивая формулы (1.13) и (1.11), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине L математического маятника, то их периоды одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

1.3. Энергия гармонических колебаний.

Найдем полную энергию колебаний Е, как сумму кинетической и потенциальной энергий, на примере пружинного маятника.

Кинетическая энергия, с учетом (1.4) и (1.5):

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

Потенциальная энергия

Примеры механических колебательных движений - student2.ru .

Полная энергия

Примеры механических колебательных движений - student2.ru

т.е. полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Полученное выражение справедливо не только для пружинного маятника, но и для любых других колеблющихся механических систем.

Наши рекомендации