Теорема отсчетов Котельникова

Операция замены непрерывной функции последовательностью отсчётов её мгновенных значений называется дискретизацией. Фундаментальное значение для решения многих задач теории передачи сигналов имеет следующая теорема отсчётов Котельникова: непрерывная функция х(t), не содержащая частот выше граничной Fв, полно­стью определяется отсчётами мгновенных значений x(kΔ) в точках, отстоящих друг от друга на интервалы Δ≤1/2F_в. Интервал Δ называется интервалом Ко­тельникова. Эта теорема позволяет представить непрерывную функцию X(T) в виде ряда

(1)

Процедура восстановле­ния непрерывной функции x(t) по отсчётам её мгновенных значений x(kt) вы­текает непосредственно из ряда Котельникова (1): нужно перемножить значения отсчётов x(kt) на соответствующие отсчётные функции (2) (2) и просуммировать полученные произведения. Эти операции иллюстрирует рис1.

Рис.1 Принцип востановления непрер. ф-и по ее отсчетам

Для полного восстановления необходимо просуммировать бесконечное множество членов ряда (1). Однако если функция с ограниченным спектром x(t) рассматривается на конечном интервале Т (рис.1а), то точное разло­жение (1) можно заменить следующим приближённым разложением:

Конечное число отсчётов п, определяющее x_ε(t) , равно (при Δ=1/2F_B) n=T/Δ+1F_BT+1