Лекция 20. Взаимодействие электронов и позитронов с веществом

20.1. Особенности взаимодействия быстрых электронов с веществом.При прохождении через вещество быстрых электронов и позитронов (в т.ч. β-частиц, испускаемых радионуклидами) главным механизмом потерь энергии, как и для тяжелых заряженных частиц, являются ионизация и возбуждение атомов. Однако характер торможения электронов отличается от характера торможения тяжелых частиц. Во-первых, из-за малой массы электрона рассеяние на большие углы оказывается настолько существенным, что после некоторого числа столкновений электрон «теряет память» о первоначальном направлении своего движения. По этой причине понятие пробега электрона теряет изначальный смысл. Учитывая запутанность траектории движения электрона, следует различать средний путь, пройденный электроном в среде, и среднее удаление его (по прямой) от точки входа в среду (рис. 20.1).

Вторая особенность, также обусловленная малой массой электрона, состоит в том, что к ионизационному торможению добавляется другой весьма важный механизм – радиационное торможение. В соответствии с законами электродинамики при торможении заряженной частицы в электромагнитном поле должно испускаться тормозное излучение, интенсивность которого обратно пропорциональна квадрату ускорения а:

.

Ускорение заряженной частицы, которое она испытывает в кулоновском поле другой частицы с зарядом Ze, обратно пропорционально ее массе m_a:

.

Тогда

. (20.1)

Отсюда следует, что превышение радиационного торможения электронов над радиационным торможением, например, α-частиц определяется фактором (M_α/Z_αm_e)², т.е. составляет более чем 6 порядков.

Наконец, в-третьих, при расчете тормозной способности вещества по отношению к быстрым электронам следует учитывать релятивистские эффекты. Энергия покоя электрона равна 0,511 МэВ; кинетическая энергия β-частиц, испускаемых большинством радионуклидов – величина того же порядка. Таким образом, пренебречь релятивистскими эффектами, как в случае α-частиц, уже нельзя.

Взаимодействие электронов с атомными ядрами при всех энергиях имеет исключительно электромагнитный характер (если, конечно, пренебречь слабым взаимодействием) и сводится, в основном, к упругому рассеянию.[168] В сильных взаимодействиях электроны не участвуют.

20.2. Ионизационное торможение электронов.При однократном рассеянии электронов друг на друге они могут терять значительную часть своей энергии (в среднем половину). Если считать, что первичный электрон всегда обладает большей энергией, чем электрон отдачи, его потери при однократном соударении в среднем составят одну четвертую часть. Расчеты потерь энергии электрона на единице длины пути были проведены Бете. В наиболее общей форме эти потери определяются следующей формулой:

,

где γ = E/E₀ – отношение полной энергии электрона к его энергии покоя, а смысл остальных обозначений – тот же, что в формуле (19.8). Можно показать, что в классическом пределе (g ® 1)

. (20.2)

Отличие этого выражения от (19.6) обусловлено, главным образом, тождественностью сталкивающихся частиц (электронов). Результатом неразличимости частиц в квантовой механике является не имеющий классического аналога обменный эффект, несколько снижающий тормозную способность.[169] Этот эффект становится существенным при малых скоростях налетающего электрона, когда его кинетическая энергия сравнима с энергией связи атомных электронов.

В ультрарелятивистском пределе (v_a » c, g ® ¥)

. (20.3)

Как и в случае тяжелых частиц, неограниченному росту ионизационных потерь препятствует эффект плотности. Чтобы учесть его, в формулу (20.3) следует ввести поправку, учитывающую поляризацию среды.

Флуктуации потерь энергии электронов существенно больше, чем для тяжелых заряженных частиц, что связано с большим диапазоном энергии, которую может потерять электрон при одном соударении. Энергетические спектры электронов после прохождения через слои вещества разной толщины показаны на рис. 20.2. Конечно, это распределение обусловлено не только флуктуациями в потерях энергии: не меньшее значение имеют и многократные упругие соударения. Но и в том случае, если исключить влияние многократного рассеяния, разброс потерь энергии на определенном участке трека оказывается большим. В связи с этим потери энергии электрона на единице длины его пути имеют смысл только средних величин.

20.3. Радиационное торможение.При очень больших энергиях электроны начинают более эффективно терять ее из-за преобладания радиационного механизма торможения с испусканием тормозного излучения. Хорошо известным примером тормозного излучения нерелятивистских электронов является излучение антикатода рентгеновской трубки (п. 1.2). Согласно соотношению (20.1), при столкновении электрона с ядром интенсивность тормозного излучения растет пропорционально квадрату заряда ядра. В то же время при столкновении с электронами атома интенсивность растет пропорционально их числу, т.е. Z. Поэтому в веществах с большими атомными номерами радиационные потери обусловлены, в основном, торможением ядрами.

Полное рассмотрение радиационного торможения в рамках теории, которая носит название квантовой электродинамики,[170] было выполнено Бете и В. Гайтлером. Даже в случае взаимодействия электрона с «голым» ядром эта теория дает весьма сложное выражение для радиационных потерь. Результат существенно упрощается лишь в предельных случаях:

,

,

где α = e²/ħc – постоянная тонкой структуры (1/a » 137), r_e = e²/m_ec² – классический радиус электрона, n₀ – плотность атомов вещества.

При еще более точных расчетах необходимо принять во внимание эффект экранирования: при прохождении через вещество электрон взаимодействует не с «голым» ядром, а с ядром, окруженным электронами. С учетом этого эффекта

. (20.4)

Радиационные потери релятивистского электрона прямо пропорциональны его полной энергии (так как E = m_ec²γ):

.

Иными словами, при прохождении через вещество быстрый электрон теряет свою энергию на расстояниях порядка

.

Расстояние х_рад называется радиационной длиной. Другая эквивалентная характеристика радиационного торможения – радиационная толщина – связана с радиационной длиной через плотность вещества:

, (20.5)

где N_A – число Авогадро. В связи с тем, что Z/A ≈ const, радиационная толщина падает при переходе от легких веществ к тяжелым практически обратно пропорционально Z. Она изменяется от 85 г/см² для He до 5,8 г/см² для Pb.

Тормозное излучение имеет непрерывный спектр, верхняя граница которого определяется кинетической энергией электронов T_e. Энергетическая зависимость спектра при больших значениях T_e передается законом n(E_γ) ~ 1/E_γ, где E_γ – энергия, теряемая электроном при испускании одного кванта тормозного излучения. Поэтому потери энергии на испускание тормозного излучения не зависят от E_γ: в любой части тормозного спектра электрон теряет примерно одинаковую энергию. Эта энергия может быть потеряна при испускании одного жесткого кванта, уносящую всю энергию dE, теряемую на данном пути dx, или нескольких мягких квантов с той же суммарной энергией. Энергетическое распределение интенсивности излучения, испускаемого при торможении электронов в тонкой мишени, дано на рис. 20.3. В случае толстой мишени, размеры которой больше нескольких радиационных длин, спектр будет другим. Чтобы его получить, необходимо усреднить приведенные спектры, принимая во внимание ионизационные потери и зависимость радиационных потерь от энергии.

Угловое распределение тормозного излучения имеет ярко выраженную направленность: большинство фотонов тормозного излучения рентгеновской трубки испускаются в направлении, перпендикулярном направлению движения электронов. При релятивистских энергиях электронов тормозное излучение испускается преимущественно вперед; средний угол вылета фотона равен 1/γ.

Отметим, что радиационные потери пропорциональны Z². В связи с этим для защиты от быстрых электронов целесообразно использовать материалы с малым атомным номером (алюминий, оргстекло и т.п.), так как в противном случае увеличивается выход тормозного излучения, проникающая способность у которого гораздо выше, чем у самих электронов.

20.4. Сопоставление потерь энергии. Таким образом, при прохождении через вещество быстрых электронов независимо друг от друга работают два механизма торможения – ионизационный и радиационный:

.

Характер зависимости ионизационных и радиационных потерь от энергии электрона и от параметров среды различен, поэтому различно и соотношение вкладов этих двух механизмов (рис. 20.4). При небольших энергиях (вплоть до десятка МэВ) преобладают ионизационные потери, так как

.

При более высоких энергиях, т.е. уже в релятивистской области, ионизационные потери практически перестают зависеть от энергии, а радиационные прямо пропорциональны ей:

; .

Численные оценки показывают, что справедливо следующее приближенное равенство:

. (20.6)

Для количественной характеристики перехода от режима доминирования ионизационного торможения над радиационным к противоположному вводится понятие критической энергии электрона Е_кр, при которой, по определению, эти вклады равны:

.

Нетрудно видеть, что даже для такого тяжелого элемента, как свинец (Z = 82) радиационные потери начинают преобладать над ионизационными при Е порядка 10 МэВ. В среднем на пути, равном радиационной длине, электрон с энергией выше Е_кр испускает один фотон с энергией, сравнимой с его собственной энергией, и несколько фотонов с гораздо меньшей энергией.

20.5. Взаимодействие позитронов с веществом.Взаимодействие с веществом электронов и позитронов имеет много общего. В частности, для позитронов оказываются справедливыми практически все предыдущие рассуждения относительно ионизационных и радиационных потерь энергии. Действительно, массы электрона и позитрона и их заряды по абсолютной величине равны (вспомним, что заряд проходящей через вещество частицы входит в формулы только в виде четных степеней). Некоторое отличие связано с тем, что в системе электрон-позитрон не возникает обменного эффекта: это все-таки разные частицы! В результате для позитронов

, (20.7)

. (20.8)

Различие в поведении электронов и позитронов проявляется, главным образом, на самых последних стадиях замедления и связано с аннигиляцией позитронов с электронами вещества

,

с образованием нескольких γ-квантов. Один γ-квант испуститься не может, так как это противоречит закону сохранения импульса (ПРИЛОЖЕНИЕ К).

Сечение аннигиляции растет с уменьшением энергии позитрона: в связи с этим аннигиляция почти всегда происходит лишь после замедления позитрона до тепловых энергий. Оно зависит также от относительной ориентации спинов электрона и позитрона. Аннигиляция в синглетном состоянии, когда спины антипараллельны (суммарный спин системы S = 0), в ~1100 раз более вероятна, чем в триплетномсостоянии, когда спины параллельны (S = 1). В синглетном состоянии обычно образуется два γ-кванта (двухфотонная аннигиляция) с энергией m_ec² = 0,511 МэВ, в триплетном – три (трехфотонная аннигиляция).[171] Среднее время жизни позитронов относительно аннигиляции зависит от электронной плотности вещества.

При встрече замедленного позитрона с атомным электроном (до того, как произошла аннигиляция) возможно образование промежуточной связанной системы – атома позитрония. Различают ортопозитроний (S = 1; среднее время жизни τ – около 1,4·10^–7 с) и парапозитроний (S = 0, τ ≈ 1,25·10^–10 с). Потенциал ионизации позитрония I_Ps = 6,8 эВ (вдвое меньше, чем у атома водорода).[172]

Не все позитроны аннигилируют в составе позитрония: он образуется лишь в течение ~20% времени замедления позитрона; в остальное время позитроны аннигилируют в столкновениях как свободные частицы. Это объясняется тем, что образование позитрония может произойти только тогда, когда кинетическая энергия позитрона больше, чем разность I – I_Ps, где I – потенциал ионизации атома (молекулы) вещества. Однако, если энергия существенно превышает эту минимальную величину (достигая, например, I), то соударение с большой вероятностью приведет просто к ионизации.

20.6. Пробег монохроматических электронов и β-частиц.Пробег электронов в веществе можно исследовать путем анализа кривых поглощения N(x). Следует, однако, помнить, что многократное рассеяние на большие углы приводит к тому, что большинство частиц, испытав столкновение, выбывает из пучка, и только небольшая часть электронов проходит в поглотителе максимальное расстояние R_max в направлении их первоначального движения. В результате кривая поглощения монохроматических электронов выглядит так, как это изображено на рис. 20.5. Если линейный участок кривой экстраполировать к оси абсцисс, то такое экстраполированное значение пробега R_э может, как и R_max, служить мерой кинетической энергии электрона.

Для оценки максимального пробега электронов с энергией Е пользуются эмпирическими формулами. Например, экстраполированного пробега электронов в алюминии (это вещество принимают за стандарт) рекомендованы формулы:

(20.9)

В связи с тем, что радиационные потери не оказывают большого влияния на пробег (даже для ультрарелятивистских электронов они значительны только в самом начале торможения), пересчет пробега электронов на другие среды производится следующим образом:

. (20.10)

Максимальный пробег монохроматических электронов определяется экспериментально со значительной погрешностью, поэтому для практических целей используется редко.

Электроны и позитроны, образующиеся при распаде радионуклидов, имеют непрерывный энергетический спектр[173] с максимальной энергией Е_b и средней энергией » 0,33Е_b (п. 8.4). Максимальный пробег β-частиц, очевидно, совпадает с максимальным пробегом монохроматических электронов с энергией Е_b. Однако кривая поглощения пучка β-частиц, изображенная на рис. 20.5, по своему виду отличается от кривой поглощения монохроматических электронов. Это обусловлено тем, что β-частицы с низкими энергиями, выбывают из пучка гораздо раньше. В результате значительная часть кривой поглощения β-излучения (до ~0,7R_э) с достаточной точностью описывается экспоненциальной зависимостью:[174]

, (20.11)

где х – толщина поглотителя (г/см²), m – массовый коэффициент поглощения β-частиц (см²/г), практически не зависящий от вещества и связанный с энергией Е_b (МэВ) эмпирической зависимостью:

(E_β > 0,5 МэВ). (20.12)

Массовый коэффициент поглощения β-частиц может, таким образом, использоваться для определения верхней границы β-спектра.

20.7. Черенковское излучение.Законы сохранения энергии и импульса запрещают частице, движущейся равномерно и прямолинейно в вакууме, отдавать свою энергию и импульс в виде электромагнитного излучения без изменения ее внутреннего состояния (ПРИЛОЖЕНИЕ К). Однако этот запрет снимается при движении частицы в среде с показателем преломления n > 1.

Представим для начала заряженную частицу, медленно движущуюся в среде. Вызываемая ее электрическим полем поляризация атомов среды[175] будет распределена симметрично относительно местонахождения частицы, так как распространяющееся со скоростью света электрическое поле «успевает» поляризовать все атомы вокруг, в том числе и находящиеся прямо на пути частицы (рис. 20.6-а). Результирующее поле образовавшихся диполей будет равно нулю, и испускаемые ими электромагнитные волны погасят друг друга.

Если же скорость частицы vв среде превышает скорость распространения в ней света (электромагнитных волн), т.е. v_a > c/n, то имеет место эффект запаздывания поляризации, в результате которого диполи будут получать преимущественную ориентацию в направлении движения частицы (рис. 20.6-б). В этом случае, очевидно, существует такое направление, вдоль которого может возникнуть когерентное излучение диполей, так как волны, испущенные ими, могут оказаться в одинаковой фазе. Это излучение быстрых заряженных частиц было открыто в 1934 г. П.А. Черенковым и С.И. Вавиловым и известно как черенковское излучение.

Направление распространения черенковского излучения легко найти, если воспользоваться принципом Гюйгенса для построения фронта излучаемой волны и построить огибающую (коническую) поверхность к сферическим волнам, испущенным частицей на пути из точки О в точку А. (рис. 20.7). Раствор конуса, вдоль образующих которого распространяется черенковское излучение, определяется соотношением

. (20.13)

Он тем больше, чем больше скорость частицы. При минимальном для данной среды (пороговом) значении скорости, когда β = 1/n, т.е. когда еще возможно возникновение излучения, этот конус вырождается в узкий луч вдоль направления движения частицы. Для воды (n = 1,33) это условие эквивалентно равенству β = 0,75. Отсюда, в частности, следует, что электроны с энергией T_e ≥ 0,26 МэВ способны генерировать в воде черенковское излучение.

Потери энергии частицы с зарядом Z_a на черенковское излучение

, (20.14)

где интегрирование ведется по всему спектру частот ω электромагнитного излучения. Если забыть, что входящий в (20.14) показатель преломления среды зависит от частоты, может показаться, что спектр черенковского излучения (определяющийся множителем в скобках) является равномерным, и основные потери энергии приходятся на область высоких частот. В действительности в дальней ультрафиолетовой и рентгеновской области, где n < 1, черенковское излучение вообще отсутствует; его спектр оканчивается со стороны высоких частот в области ближнего ультрафиолета. Равномерность спектра в видимом диапазоне выражается в том, что интенсивность его высокочастотного (сине-фиолетового) края существенно выше, чем интенсивность низкочастотного (красного) края. Отсюда характерный голубоватый цвет черенковского излучения. Потери энергии на черенковское излучение составляют малую долю от общих потерь быстрых электронов.

В заключение подчеркнем, что черенковское излучение не имеет ничего общего с фактически всегда имеющим место тормозным излучением. Черенковское излучение испускается средой под влиянием поля движущейся в ней частицы, тормозное – самими частицами при их столкновениях с атомами. Различие между обоими типами излучений особенно ясно проявляется при переходе к пределу сколь угодно большой массы частицы: тормозное излучение при этом полностью исчезает, а черенковское не меняется вообще.