Стоячие волны

Если две одинаковые бегущие волны распространяются вдоль оси “у” навстречу друг другу, то при наложении этих волн возникают колебания среды, называемые стоячей волной. Для получения уравнения стоячей волны сложим уравнения (1.27):

Произведя тригонометрические преобразования, найдем:

(1.30)

это и есть уравнение стоячей волны.

Величина

есть амплитуда волны. Она зависит от координаты “у” колеблющейся точки и не зависит от времени t, т.е. не наблюдается волнового движения и переноса энергии (отсюда и название -стоячая волна).

В точках, в которых выполняется условие

(m=0, 1, 2, 3,…)

амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А (пучности волны).

В точках, где , амплитуда стоячей волны обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Из Рис. 1.11 видно, что

Рис. 1.11

наименьшее расстояние между соседними пучностями или узлами равно λ/2. Стоячие волны образуются при колебаниях в телах ограниченных размеров вследствие отражения их от границ тел, (например, при колебаниях струны).

Упругие волны, имеющие частоту примерно от 16 до 20000 Гц, воспринимаются ухом человека и называются звуковыми. При частоте ν<16 Гц упругие волны называются инфразвуками, а при ν>20000 Гц – ультразвуковыми. В жидкостях и газах звуковые волны могут быть только продольными. Распространение звука сопровождается попеременным сжатием и растяжением участков среды и соответствующим изменением давления в сравнении с давлением в невозмущенной среде. Переменная составляющая давления ±Dр(акустическое давление) обусловливает восприятие звука, взывая вынужденные колебания барабанной перепонки уха или мембраны микрофона.

Звуки различают по высоте, тембру и громкости. Звуки, соответствующие синусоидальным волнам (например, от камертонов), называются тонами. Высота тона определяется частотой колебаний. Музыкальные звуки являются наложением ряда гармонических колебаний, образующих акустический спектр звука. Наименьшая частота ν этого спектра (основной тон) определяет высоту звука, а высшие частоты (обертоны) – его тембр.

Громкость звука связана с его интенсивностью I, которая характеризует среднее значение плотности потока энергии, переносимой звуковой волной. Ухо человека способно воспринимать звук в широком диапазоне интенсивности. При частоте 1000 Гц границами этого диапазона являются I₀»10^-12 Вт/м² (порог слышимости) и I_max»10 Вт/м² (болевой порог). Значения I₀ и I_max зависят от частоты. Громкость звука L как характеристика субъективного восприятия звуковой волны приблизительно пропорциональна логарифму ее интенсивности:

,

где I₀ – некая стандартная для всех частот начальная интенсивность, принимаемая равной 10^-12 Вт/м² (она соответствует порогу слышимости при частоте 1000 Гц). Громкость звука измеряется в белах (Б). Чаще используют дольную единицу – децибел (дБ). В этом лучае:

.

Изменению интенсивности звуковой волны от I₀ до I_max соответствует изменение громкости звука от 0 до 130 дБ. Примерные значения L и I для некоторых звуков:

Источник звук	L(дБ)	I(Вт/м2)
Порог слышимости		10-12
Тихий шепот (1м		10-10
Громкая речь (1м)		10-5
Авиамотор (5м)
Болевой порог

При нормальных атмосферных условиях (t=0⁰С и р=0,1013 МПа) скорость звука в воздухе составляет 344 м/с, а при изменении температуры определяется по формуле:

,

где t_с – температура воздуха, ⁰С.

1.9. Электромагнитные волны, свет, поляризация света и закон Малюса

Электромагнитные волны возникают при любом ускоренном движении электрических зарядов и в том числе при их колебательном движении.

Электромагнитные волны – это распространение в пространстве взаимосвязанных изменяющихся электрического и магнитного полей. Совокупность этих полей, называется электромагнитным полем. Несмотря на то, что длины электромагнитных волн и их свойства различны, все они, начиная от радиоволн и заканчивая гамма-излучением, – одной физической природы. Исследованный в настоящее время диапазон электромагнитных волн состоит из волн с длинами, соответствующими частотам от 10³ до 10²⁴Гц. По мере убывания длины волны в диапазон включаются радиоволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма-излучения.

Электромагнитное излучение распространяется практически во всех средах. В вакууме электромагнитное излучение распространяется без затуханий на сколь угодно большие расстояния, но в ряде случаев достаточно хорошо распространяется и в пространстве, заполненном веществом (несколько изменяя свое поведение).

Свободное электромагнитное поле не может оставаться постоянным во времени. Чтобы существовало электрическое поле, необходимо изменение магнитного, а для существования магнитного - изменение электрического. Можно показать, что поле не может занимать неизменную область пространства и будет распространяться со скоростью света. Из уравнений Максвелла вытекает, что векторы и в этом поле взаимноперпендикулярны.

Если повернуть буравчик с правой нарезкой от вектора к вектору , то его поступательное движение укажет направление распространения свободного электромагнитного поля.

Значения векторов и вдоль линии распространения свободного электромагнитного поля образуют две синусоиды, расположенные в перпендикулярных плоскостях (Рис. 1.12) и процесс распространения электромагнитного поля имеет характер волны (электрическое и магнитное поля распространяются в пространстве, не изменяя взаимного расположения).

Электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль направления , описывается уравнениями типа (1.26):

,

где Е₀ и Н₀ – амплитуды векторов электрической и магнитной напряженно -

Рис. 1.12

стей волны; с – скорость света в вакууме.

При этом в каждой точке пространства, через которую проходит свободное электромагнитное поле (электромагнитная волна), происходят синусоидальные колебания векторов Е и В. В любом проводнике, расположенном вдоль силовых линий или образующем контур, сцепленный с магнитным полем, свободное электромагнитное поле вызовет колебания тока и напряжения (принцип радиоприема).

Важнейшими характеристиками электромагнитного излучения являются:

1. Объемная плотность энергии(энергия содержащаяся в единице объема) электромагнитного поля при отсутствии среды:

ω = ω_э + ω_м = , (1.31)

Здесь ω_э – плотность энергии электрической составляющей поля, ω_м – магнитной. Можно показать, что ω_э = ω_м.

2. Плотность потока энергии (интенсивность) - энергия, переносимая волной за 1 с через единицу перпендикулярной потоку площадки.

, (1.32)

Как следует из (3), интенсивность волны пропорциональна квадрату напряженностей Е и Н, которые, в свою очередь, пропорциональны частоте n волны, т.е. S ~ n². Поэтому источниками наиболее интенсивного электромагнитного излучения являются разнообразные СВЧ излучатели: радары, микроволновые печи, сотовые телефоны и т.п.

Электромагнитное излучение принято делить по частотным диапазонам (см.таблицу 1.1). Между диапазонами нет резких переходов, они иногда перекрываются, а границы между ними условны. Поскольку скорость распространения излучения в вакууме постоянна, то его частота жестко связана с длиной волны.

Таблица 1.1

название диапазона	длины волн, λ	частоты, ν	источники
Радиоволны	сверхдлинные	более 10 км	менее 30 кГц	Атмосферные и магнитосферные явления. Радиосвязь.
длинные	10 км - 1 км	30 кГц - 300 кГц
средние	1 км - 100 м	300 кГц - 3 МГц
короткие	100 м - 10 м	3 МГц - 30 МГц
ультракороткие	10 м - 1 мм	30 МГц - 300 ГГц4
Инфракрасное излучение	1 мм - 780 нм	300 ГГц - 429 ТГц	Излучение молекул и атомов при тепловых и электрических воздействиях.
Видимое (оптическое излучение)	780 - 380 нм	429 ТГц - 750 ТГц
Ультрафиолетовое	380 - 10 нм	7,5∙1014 Гц - 3∙1016 Гц	Излучение атомов под воздействием ускоренных электронов.
Рентгеновские	10 нм - 5 пм	3∙1016 Гц - 6∙1019 Гц	Атомные процессы при воздействии ускоренных заряженных частиц.
Гамма	менее 5 пм	более 6∙1019 Гц	Ядерные и космические процессы, радиоактивный распад.

Свет– это электромагнитное излучение, воспринимаемое человеческим глазом. Световые волны по своей физической природе ничем не отличаются от других электромагнитных волн, например, радиоволн, рентгеновских или гамма – лучей.

Как показывает опыт, зрительные ощущения, фотоэлектрическое и фотохимическое действие света вызываются колебаниями электрического вектора . Поэтому, далее свет мы будем характеризовать световым вектором .

Свет, излучаемый любым нагретым телом, представляет собой наложение огромного количества волн (цугов волн), испущенных его отдельными атомами. Атомы излучают свет независимо друг от друга, т.е. частоты, начальные фазы и пространственная ориентация векторов цугов, создаваемых разными атомами, никак не связаны друг с другом. Время излучения отдельного атома с. За это время излученная им волна успевает распространиться на расстояние . Это и есть длина одного цуга.

Схематически луч естественного света, где присутствуют цуги с любой пространственной ориентацией светового вектора показан, на Рис. 1.13.а, 1.13.в.

Рис. 1.13. Направления колебаний вектора в естественном (а),

поляризованном (б) и частично поляризованном (в) свете.

Свет, в котором колебания вектора происходят только в одном направлении (имеют полярность), называется поляризованным (рис. Рис. 1.13. б).

Свет, в котором вектор имеет преимущественную ориентацию колебаний в каком - либо направлении, называется частично поляризованным (Рис. 1.13. в).

Плоскость, в которой совершает колебания вектор , называется плоскостью колебаний. По историческим причинам плоскость, в которой колеблется вектор , назвали плоскостью поляризации.

Представим каждый вектор в луче естественного света, как сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих: = _х+ _y. Тогда формально, луч естественного света можно представить как результат наложения двух поляризованных лучей, в одном из которых, все векторы колеблются вдоль оси х, а в другом – вдоль оси y. Схематически это изображено на Рис. 1.14.

Рис. 1.14. Схематическое изображение луча естественного света.

Естественный свет можно превратить в поляризованный с помощью приборов, которые называются поляризаторами.

Любой поляризатор удобно представить как совокупность параллельных плоскостей, называемых плоскостями пропускания. Если вектор волны, падающей на поляризатор параллелен плоскостям пропускания, то волна проходит через поляризатор. Если перпендикулярен – то не проходит. В промежуточном случае, когда составляет угол с плоскостями пропускания через поляризатор, как видно из Рис.1.15 проходит составляющая .

Рис. 1.15. Прохождение естественного света через поляризатор

Так как интенсивность излучения I пропорциональна Е² (см.1.32), то интенсивность света прошедшего через поляризатор:

(1.33)

Соотношение (1.33) носит название закона Малюса (1810): интенсивность света I, прошедшего через поляризатор, прямо пропорциональна интенсивности I₀ падающего света и квадрату косинуса угла между плоскостью пропускания поляризатора и плоскостью колебания светового вектора в падающем луче. Если на поляризатор падает естественный свет, то, т.к. в естественном луче равновероятны все направления колебаний вектора (рис.1.13 а), то и , т.е. поляризатор всегда пропускает половину интенсивности естественного света.

Рис.1.16. Скрещенные поляризатор а) и анализатор б)

Элементом большинства поляризационных приборов является схема (Рис.1.16) состоящая из двух последовательно расположенных на одной оси поляризаторов (второй из них называют анализатором).

Если их плоскости пропускания взаимно перпендикулярны (скрещенные поляризаторы), то схема не пропускает естественный свет. Изменение угла между плоскостями пропускания приводит к изменению интенсивности прошедшего через систему света по закону Малюса.

Рассмотрим некоторые способы поляризации.

Пусть луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластинку (Рис.1.17).

Рис.1.17

Колебания вектора в волне могут быть разложены на колебания в плоскости чертежа, обозначенные стрелками, и на колебания, перпендикулярные плоскости чертежа, обозначенные точками. Если угол падения i₁ луча на пластинку удовлетворяет условию:

или tgi₁ = n₂₁ (1.34)

то луч, отраженный от пластинки, оказывается линейно поляризованным. Здесь n₂₁ – показатель преломления второй среды относительно первой вблизи границы их раздела. Уравнение (1.34) носит название закона Брюстера. Преломленный луч при выполнении условия (1.34) будет частично поляризованным. Можно также показать, что лучи преломленный и отраженный в этом случае будут взаимно перпендикулярными. При других углах падения оба луча будут частично поляризованными.

Все прозрачные кристаллы (кроме кристаллов кубической симметрии) обладают способностью двойного лучепреломления. Явление двойного лучепреломления наблюдается, например, в кристаллах кварца, исландского шпата (СаСО₃), турмалина и др. Этот эффект заключается в том, что направленный на такой кристалл луч даже при нормальном падении делится на два луча, один из которого является продолжением первичного и называется обыкновенным, а другой, в нарушение закона преломления, отклоняется и потому называется необыкновенным(Рис.1.18).

Рис.1.18

Оба луча, вышедшие из двоякопреломляющего кристалла поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Скорости их распространения в кристалле различны и, соответственно, различны показатели преломления.

Показатель преломления n_е для е - луча зависит от направления в кристалле, тогда как показатель n₀ от него не зависит. Направление, вдоль которого n₀ и n_е совпадают, называется оптической осью кристалла. Луч, идущий в этом направлении двойного лучепреломления не испытывает.

Двойное лучепреломление возникает при попадании на кристалл, как естественного, так и поляризованного света, с той разницей, что в первом случае интенсивности обоих лучей равны, а во втором - в общем случае разные и зависят от угла между плоскостью колебаний падающего на кристалл луча и оптической осью кристалла.

Для получения широких пучков поляризованного света из прозрачных кристаллов исландского шпата изготовляют призмы Николя (их просто называют николями). Николь - это две призмы, вырезанные определенным образом и склеенные между собой клеем с таким коэффициентом преломления, что обыкновенный луч вследствие полного отражения выводится из кристалла. Ход лучей в николе показан на рисунке 4.16. Интенсивность света, прошедшего через николь

, (1.35)

где k - коэффициент поглощения, I₀ - интенсивность света, падающего на николь.

Рис. 1.19

В некоторых кристаллах, обладающих двойным лучепреломлением, наблюдается сильное поглощение обыкновенного или необыкновенного луча - явление дихроизма. В результате этого при падении на кристалл естественного луча из него выйдет лишь один линейно поляризованный луч.

Явлением дихроизма, например, обладают кристаллы герапатита. Мелкие кристаллы герапатита вводят в целлулоидные пленки и получают пленочные поляризаторы с большой площадью поверхности-поляроиды.

Если на анализатор падает линейно поляризованный (Рис.1.14,а) или частично поляризованный луч (Рис.1.14,в), то при вращении поляризатора вокруг луча интенсивность прошедшего света будет меняться от I_max до I_min по закону Малюса. Поэтому вводят понятие степени поляризации света:

, (1.36)

у поляризованного луча I_min=0 и Р=1;

у естественного луча I_max= I_min и; Р=0;

у частично поляризованного I_max > I_min и0<P<1.

Некоторые кристаллы обладают свойством вращения плоскости колебаний при прохождении в них линейно поляризованного луча. Они называются оптически активными (кварц и др.). Угол φ поворота плоскости поляризации при распространении луча вдоль оптической оси пропорционален длине ℓ пути, пройденному в кристалле:

φ = α · ℓ, (1.37)

где α - постоянная вращения, ℓ - толщина кристалла.

Такой же активностью обладают и некоторые жидкости: скипидар, водный растворы сахаров и др. При этом в растворах угол φ зависит еще и от концентрации раствора С:

φ = α C ℓ. (1.38)

По углу φ судят о концентрации С. На этом основано действие поляриметров и сахариметров.