Раздел физики: Молекулярная физика и термодинамика

Примеры решения задач

Раздел Физики: Механика

Пример 1. Два тела массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг движутся по гладкой горизонтальной поверхности во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями v₁ = 10 м/с и v₂ = 15 м/с соответственно. После соударения первое тело остановилось. Какое количество теплоты выделится при ударе?

Дано: Решение

m₁ = 1 кг Поверхность гладкая, значит на систему тел m₁ и m₂ в горизонталь-

m₂ = 2 кг ном направлении внешние силы не действуют и можно воспользо-

v₁ = 10 м/с ваться законом сохранения импульса:

v₂ = 15 м/с , (1)

v´₁ = 0 где v – скорость второго тела после удара.

_________ Введем оси x и y, как указано на рисунке и спроецируем на них

Q - ? данное векторное уравнение:

OX) m₁v₁ = m₂v_x (2)

OY) m₂v₂ = m₂v_y, (3)

где v_x и v_y проекции неизвестной скорости .

Найдем их:

; (4,5)

Количество теплоты, которое выделится при ударе будет опреде-ляться как разность кинетической энергии системы тел до удара и после удара:

(6)

ж

Ответ: при ударе выделилось 25 Дж теплоты.

Пример 2. Определить ускорение тела, соскальзывающего с наклонной плоскости, если угол наклона плоскости a =30°, а коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,3.

Дано: Решение

a =30° Эта задача на II закон Ньютона, алгоритм решения таких задач известен:

μ = 0,3 1. Расставим силы, действующие на тело:

_______ - сила притяжения;

а - ? - сила нормальной реакции опоры;

- сила трения.

2. Запишем II закон Ньютона в векторном виде:

3. Запишем это уравнение в скалярном виде, спроецировав все векторные величины на выбранные оси. Ось x направим вдоль наклонной плоскости, а ось y – перпендикулярно ей.

OX) mg sin α - F_тр = mа (1)

OY) – mg cos α + N = 0 (2)

Учтем, что F_тр = μ·N (3)

Перепишем уравнения (1) и (2) в следующем виде с учетом (3):

mg sin α − μ·N = mа

mg cos α = N

Подствавив одно уравнение в другое, получим:

mg sin α − μ·mg cos α = mа

Отсюда: α = sin α − μ cos α

α = 0,24 м/с².

Ответ: α = 0,24 м/с².

Пример 3. Найти моменты инерции маховика в виде сплошного диска массой 0,5 кг и радиусом 50 см в трех случаях: 1) когда ось вращения проходит через центр масс диска; 2) когда ось вращения параллельна той, которая бы проходила через центр масс диска, но находится на расстоянии 20 см от него; 3) когда ось вращения проходит через точку лежащую на ободе маховика.

Дано: Решение

m = 0,5 кг В первом случае момент инерции находится по известной формуле:

R = 0,5 м I = mR²/2

a₂ = 0,2 м I = 0,5·(0,5)²/2 = 0,0625 кг·м².

a₃ = 0,5 м Во втором случае применим теорему Штейнера:

_______ I = Iс + ma²,

а - ? где Iс − момент инерции для оси вращения, проходящей через центр масс (мы его рассчитали в задании 1),

a − расстояние от оси вращения до центра масс.

I = 0,0625 + (0,5(0,2)²) = 0,0825 кг·м².

В третьем случае также применим теорему Штейнера, только расстояние от оси вращения до центра масс будет равно a₃ = 0,5 м:

I = 0,0625 + (0,5(0,5)²) = 0,1875 кг·м².

Ответ: I₁ = 0,0625 кг·м², I₂ = 0,0825 кг·м², I₃ = 0,1875 кг·м².

Примечание: результаты можно округлять до сотых.

Пример 4. Платформа в виде диска массой 200 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 40 об/мин.В центре платформы стоит человек массой 80 кг. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет на край платформы? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Дано: Решение

m_п = 200 кг Задача решается с использованием закона сохранения момента

ν₁ = 0,67 с^-1 импульса: L₁ = L₂

m_ч = 80 кг L₁ = m_пR²/2 · (2π ν₁)²

_______ L₂ = (m_пR²/2 + m_ч · R²) · (2π ν₂)²

ν₂ - ? где Iп = m_пR²/2 − момент инерции платформы, Iч = m_ч · R² − момент инерции человека.

Приравнивая оба уравнения и выражая ν₂ , находим:

_____________ _____________

m_п (ν₁)² 200 · (0,67)²

ν₂ = √ −−−−−−−−−−−− = √ −−−−−−−−−−−−

| m_п + 2m_ч | 200 + 2·80

Ответ: ν₂ ≈ 0, 5 с^-1.

Дано: Решение

ρ_м = 1030 кг/м³ Расставим все силы, действующие на всплывающий жировой

ρ_сл = 900 кг/м³ шарик: сила тяжести (направлена вниз), сила Архимеда (нап-

t = 21600 с равлена вверх), сила Стокса (направлена вниз). На рисунке по-

η = 1,8·10^-3 Па·с кажем также вектор скорости и ось у (направлена вверх).

_____________ По второму закону Ньютона в проекции на ось у сумма всех сил,

s - ? действующих на тело, равна нулю (движение шарика равномер-ное, ускорение равно нулю):

ОY) F_А − mg − F_С = 0

Массу можно представить в виде произведения плотности на объем:

m = ρ·V

Объем шарика:

V = 4·π·r³/3

Отсюда, сила тяжести равна:

mg = ρ_сл·g·4·π·r³/3

Выталкивающая сила (сила Архимеда):

F_А = m_мg = ρ_м·g·4·π·r³/3

Сила Стокса:

F_С = 6·π·η· r·v

Подставляем все выражения в первую формулу:

6·π·η· r·v = ρ_м·g·4·π·r³/3 − ρ_сл·g·4·π·r³/3

Путь, который пройдет шарик равен:

s = v·t

6·π·η· r· s/ t = g·4·π·r³ (ρ_м − ρ_сл)/3

Отсюда выражаем s:

s = (2·g·r²·t (ρ_м − ρ_сл) /9·η)

s = (2·9,8·9·10^-12·21600 (1030 − 900) /9·1,8·10^-3) ≈ 0,03 м = 3 см.

Ответ: s = 3 см.

Примечание: к этой задаче рисунок привести обязательно.

Пример 5. Вычислить среднюю энергию поступательного движения молекул азота при температуре 137°С. (84,87×10^-22 Дж)

Дано: Решение

Т = 410 К Среднюю энергию поступательного движения молекул азота

найдем по теореме Больцмана:

_____________ Е_кср = i·k·T/2,

Е_кср - ? где i − число степеней свободы молекул азота.

Число степеней свободы поступательного движения молекул азота равно 3:

i = n_пост = 3

k = 1,38·10^-23 Дж/К − постоянная Больцмана.

Е_кср = 3·1,38·10^-23·410/2 = 848,7·10^-23 = 84,87×10^-22 Дж.

Ответ: Е_кср = 84,87×10^-22 Дж.

Дано: Решение

t = 600 сПо определению интенсивность равна:

λ = 632·10^-9 м J = W/s·t (1)

J = 250 Вт/м² Отсюда: W = J·s·t (2)

s = 4·10^-6 м² Полная энергия:

____________ W = N·E, (3)

N - ? где N − число фотонов,

E = h·ν = h·c/λ − энергия одного фотона.

Подставляем формулу (3) в формулу (2) и выражаем N:

N = J·s·t·λ/h·c (4)

N = (250·4·10^-6·600·632·10^-9)/6,63·10^-34·3·10⁸ ≈ 191·10¹⁶

Ответ: N = 191·10¹⁶.

Примеры решения задач

Раздел Физики: Механика

Пример 1. Два тела массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг движутся по гладкой горизонтальной поверхности во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями v₁ = 10 м/с и v₂ = 15 м/с соответственно. После соударения первое тело остановилось. Какое количество теплоты выделится при ударе?

Дано: Решение

m₁ = 1 кг Поверхность гладкая, значит на систему тел m₁ и m₂ в горизонталь-

m₂ = 2 кг ном направлении внешние силы не действуют и можно воспользо-

v₁ = 10 м/с ваться законом сохранения импульса:

v₂ = 15 м/с , (1)

v´₁ = 0 где v – скорость второго тела после удара.

_________ Введем оси x и y, как указано на рисунке и спроецируем на них

Q - ? данное векторное уравнение:

OX) m₁v₁ = m₂v_x (2)

OY) m₂v₂ = m₂v_y, (3)

где v_x и v_y проекции неизвестной скорости .

Найдем их:

; (4,5)

Количество теплоты, которое выделится при ударе будет опреде-ляться как разность кинетической энергии системы тел до удара и после удара:

(6)

ж

Ответ: при ударе выделилось 25 Дж теплоты.

Пример 2. Определить ускорение тела, соскальзывающего с наклонной плоскости, если угол наклона плоскости a =30°, а коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью 0,3.

Дано: Решение

a =30° Эта задача на II закон Ньютона, алгоритм решения таких задач известен:

μ = 0,3 1. Расставим силы, действующие на тело:

_______ - сила притяжения;

а - ? - сила нормальной реакции опоры;

- сила трения.

2. Запишем II закон Ньютона в векторном виде:

3. Запишем это уравнение в скалярном виде, спроецировав все векторные величины на выбранные оси. Ось x направим вдоль наклонной плоскости, а ось y – перпендикулярно ей.

OX) mg sin α - F_тр = mа (1)

OY) – mg cos α + N = 0 (2)

Учтем, что F_тр = μ·N (3)

Перепишем уравнения (1) и (2) в следующем виде с учетом (3):

mg sin α − μ·N = mа

mg cos α = N

Подствавив одно уравнение в другое, получим:

mg sin α − μ·mg cos α = mа

Отсюда: α = sin α − μ cos α

α = 0,24 м/с².

Ответ: α = 0,24 м/с².

Пример 3. Найти моменты инерции маховика в виде сплошного диска массой 0,5 кг и радиусом 50 см в трех случаях: 1) когда ось вращения проходит через центр масс диска; 2) когда ось вращения параллельна той, которая бы проходила через центр масс диска, но находится на расстоянии 20 см от него; 3) когда ось вращения проходит через точку лежащую на ободе маховика.

Дано: Решение

m = 0,5 кг В первом случае момент инерции находится по известной формуле:

R = 0,5 м I = mR²/2

a₂ = 0,2 м I = 0,5·(0,5)²/2 = 0,0625 кг·м².

a₃ = 0,5 м Во втором случае применим теорему Штейнера:

_______ I = Iс + ma²,

а - ? где Iс − момент инерции для оси вращения, проходящей через центр масс (мы его рассчитали в задании 1),

a − расстояние от оси вращения до центра масс.

I = 0,0625 + (0,5(0,2)²) = 0,0825 кг·м².

В третьем случае также применим теорему Штейнера, только расстояние от оси вращения до центра масс будет равно a₃ = 0,5 м:

I = 0,0625 + (0,5(0,5)²) = 0,1875 кг·м².

Ответ: I₁ = 0,0625 кг·м², I₂ = 0,0825 кг·м², I₃ = 0,1875 кг·м².

Примечание: результаты можно округлять до сотых.

Пример 4. Платформа в виде диска массой 200 кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 40 об/мин.В центре платформы стоит человек массой 80 кг. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет на край платформы? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Дано: Решение

m_п = 200 кг Задача решается с использованием закона сохранения момента

ν₁ = 0,67 с^-1 импульса: L₁ = L₂

m_ч = 80 кг L₁ = m_пR²/2 · (2π ν₁)²

_______ L₂ = (m_пR²/2 + m_ч · R²) · (2π ν₂)²

ν₂ - ? где Iп = m_пR²/2 − момент инерции платформы, Iч = m_ч · R² − момент инерции человека.

Приравнивая оба уравнения и выражая ν₂ , находим:

_____________ _____________

m_п (ν₁)² 200 · (0,67)²

ν₂ = √ −−−−−−−−−−−− = √ −−−−−−−−−−−−

| m_п + 2m_ч | 200 + 2·80

Ответ: ν₂ ≈ 0, 5 с^-1.

Раздел физики: Молекулярная физика и термодинамика

Пример 1. Считая радиус каждого капилляра почвы равным 0,3 мм, найти высоту, на которую в них поднимается вода под действием капиллярных сил. Смачивание стенок капилляра считать полным.

Дано: Решение

r = 3·10^-4 м Используем уравнение Борелли-Жюрена:

θ = 0° h = (2α cos θ)/ ρgr

ρ = 10³ кг/м³ При полном смачивании cos θ = 1. Поэтому уравнение Борелли-Жюрена

α = 72 мН/м примет вид: h = 2α/ ρgr.

_______ h = (2·72·10^-3)/ 10³ · 9,8 · 3·10^-4 ≈ 5 см.

h - ? Ответ: h = 5 см.

Пример 2. Длинный, открытый с обоих концов капилляр заполнен водой и поставлен вертикально. Каков радиус капилляра, если высота столба оставшейся в нем жидкости 2 см? (Коэффициент поверхностного натяжения воды 7,4×10^-2 Н/м, плотность воды 10³ кг/м³, смачивание считать полным).

Дано: Решение

h = 2·10^-2 м Используем уравнение Борелли-Жюрена:

θ = 0° h = (2α cos θ)/ ρgr

ρ = 10³ кг/м³ При полном смачивании cos θ = 1. Поэтому уравнение Борелли-

α = 7,4×10^-2 Н/м Жюрена примет вид:

_______ h = 2α/ ρgr.

r - ? Отсюда: r = 2 α/ ρgh.

r = (2·7,4·10^-2)/ 10³ · 10 · 2·10^-2 = 7,4·10^-4 м = 0,74 мм.

Ответ: r = 0,74 мм.

Пример 3. Определить градиент плотности углекислого газа в почве, если через площадь 1 м² ее поверхности за время 1 с в атмосферу прошел газ массой 8×10^-8 кг. Коэффициент диффузии 0,04 см²/с.

Дано: Решение

Δs = 1·м² Используем закон Фика:

Δt = 1 c m = − D·(Δρ/Δx)·Δs·Δt

m = 8·10^-8 кг Отсюда: Δρ/Δx = m/ D·Δs·Δt

D = 0,04 см²/с Δρ/Δx = 8·10^-8/0,04·1·1 = 2·10^-2 кг/м⁴

_______

Δρ/Δx - ? Ответ: Δρ/Δx = 0,02 кг/м⁴.

Пример 4. Какой путь пройдет жировой шарик диаметром 6 мкм в молоке, плотность которого 1030 кг/м³, за 6 ч? Плотность сливок 900 кг/м³. Коэффициент вязкости молока 1,8·10-3 Па·с.

Дано: Решение

ρ_м = 1030 кг/м³ Расставим все силы, действующие на всплывающий жировой

ρ_сл = 900 кг/м³ шарик: сила тяжести (направлена вниз), сила Архимеда (нап-

t = 21600 с равлена вверх), сила Стокса (направлена вниз). На рисунке по-

η = 1,8·10^-3 Па·с кажем также вектор скорости и ось у (направлена вверх).

_____________ По второму закону Ньютона в проекции на ось у сумма всех сил,

s - ? действующих на тело, равна нулю (движение шарика равномер-ное, ускорение равно нулю):

ОY) F_А − mg − F_С = 0

Массу можно представить в виде произведения плотности на объем:

m = ρ·V

Объем шарика:

V = 4·π·r³/3

Отсюда, сила тяжести равна:

mg = ρ_сл·g·4·π·r³/3

Выталкивающая сила (сила Архимеда):

F_А = m_мg = ρ_м·g·4·π·r³/3

Сила Стокса:

F_С = 6·π·η· r·v

Подставляем все выражения в первую формулу:

6·π·η· r·v = ρ_м·g·4·π·r³/3 − ρ_сл·g·4·π·r³/3

Путь, который пройдет шарик равен:

s = v·t

6·π·η· r· s/ t = g·4·π·r³ (ρ_м − ρ_сл)/3

Отсюда выражаем s:

s = (2·g·r²·t (ρ_м − ρ_сл) /9·η)

s = (2·9,8·9·10^-12·21600 (1030 − 900) /9·1,8·10^-3) ≈ 0,03 м = 3 см.

Ответ: s = 3 см.

Примечание: к этой задаче рисунок привести обязательно.

Пример 5. Вычислить среднюю энергию поступательного движения молекул азота при температуре 137°С. (84,87×10^-22 Дж)

Дано: Решение

Т = 410 К Среднюю энергию поступательного движения молекул азота

найдем по теореме Больцмана:

_____________ Е_кср = i·k·T/2,

Е_кср - ? где i − число степеней свободы молекул азота.

Число степеней свободы поступательного движения молекул азота равно 3:

i = n_пост = 3

k = 1,38·10^-23 Дж/К − постоянная Больцмана.

Е_кср = 3·1,38·10^-23·410/2 = 848,7·10^-23 = 84,87×10^-22 Дж.

Ответ: Е_кср = 84,87×10^-22 Дж.