Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера.

При вращении материальной точки массой m вокруг фиксированной оси Z по окружности радиуса r, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Z, со скоростью v момент импульса равен Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Величину Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru называют моментом инерции материальной точки относительно оси Z.

Если вокруг фиксированной оси вращается твердое тело, то его можно разбить на совокупность материальных точек с моментами инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , вращающихся вокруг оси с одинаковой угловой скоростью Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и имеющих моменты импульса Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Тогда момент импульса твердого тела относительно оси вращения будет равен Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где величину Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru называют моментом инерции твердого тела относительно выбранной оси вращения.

Однако вычислить момент инерции твердого тела по этой формуле нельзя. Для тела с распределенной массой его вычисляют по формуле Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Для сведения этого интеграла к математическому элемент массы Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru тела в зависимости от характера ее распределения (по кривой, поверхности или объему тела) представляют в виде Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru – линейная, поверхностная и объемная плотности тела, соответственно.

В справочниках приводятся только моменты инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru тел относительно осей вращения, проходящих через их центр масс (ЦМ)C. Так, момент инерции стержня длиной l и массой m относительно оси вращения, перпендикулярной стержню и проходящей через его ЦМ, равен Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции круглых тел массой m и радиусом R относительно оси вращения, проходящей через их ЦМ вдоль оси их симметрии – Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где k – коэффициент инерции равный k = 1 для обруча и полого цилиндра, Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru для диска и сплошного цилиндра, Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru для шара, Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru для сферы.

Для кольца или цилиндра с внутренним и внешним радиусами Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ruМомент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru или Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . В частных случаях обруча и полого цилиндра Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , диска и сплошного цилиндра Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru опять придем к прежним формулам моментов инерции этих тел.

Для сферы с толстыми стенками с внутренним и внешними радиусами стенок Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ruМомент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Если ось вращения тела смещена от оси вращения, проходящей через его ЦМ, на расстояниеa и параллельна ей, то момент инерции тела относительно этой оси рассчитывают по теореме Штейнера: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где m – масса тела. Например, момент инерции круглых тел относительно оси вращения, касающейся их поверхности (a = R) и параллельной исходной оси вращения, проходящей через ЦМ тела, по теореме Штейнера равен Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 1. Перпендикулярно к боковой поверхности прямого цилиндра массой Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и радиусом Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru прикреплен стержень массой Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и длиной l. Ко второму концу стержня прикреплен шар массой Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и радиусом Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru (рис.51). Найти момент инерции этой системы тел относительно оси цилиндра.

Рис.51

Дано: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Решение задачи построим в виде последовательного алгоритма. Расстояния ЦМ тел до оси цилиндра: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Моменты инерции тел относительно их ЦМ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Моменты инерции тел относительно оси цилиндра, рассчитанные по теореме Штейнера: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Полный момент инерции системы тел: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 2. Найти момент инерции каркаса равностороннего треугольника массой m со сторонами длиной l относительно оси вращения, проходящую через его ЦМ, перпендикулярную его плоскости (рис.52). Каким станет момент инерции треугольника, если ось вращения параллельно перенести в одну из его вершин.

Рис.52

Дано: m, l. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: ЦМ С равностороннего треугольника находится в точке пересечения его высот. Масса одной стороны треугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , расстояния от ЦМ сторон треугольника до оси вращения Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции одной стороны треугольника относительно оси вращения по теореме Штейнера: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции треугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

При параллельном переносе оси вращения в одну из вершин треугольника расстояние между ЦМ треугольника и новой осью вращения станет равным Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а его новый момент инерции по теореме Штейнера – Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 3. Найти момент инерции каркаса квадрата массой m со сторонами длиной l относительно оси вращения, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости квадрата (рис.53).

Рис. 53

Дано: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Найти Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Масса одной стороны квадрата Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , расстояния от оси вращения до сторон квадрата Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции одной стороны квадрата относительно выбранной оси вращения по теореме Штейнера: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции квадрата Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 4. Найти момент инерции стержня длиной l и массой m, наклоненного под углом α к оси вращения, проходящей через его ЦМ.

Рис.54

Дано: m, l, α.Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Для вычисления момента инерции выберем систему координат как это показано на рис.54. Возьмем на оси стержня с линейной плотностью массы Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru элемент массы Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и моментом инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Тогда момент инерции стержня относительно оси вращения, проходящей через его ЦМ

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Из полученного выражения следует, что вклад в момент инерции стержня дает его проекция Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru на направление, перпендикулярное оси вращения.

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 5. Найти момент инерции стержня длиной l и массой m, наклоненного под углом α к оси вращения, ближайший конец которого отстоит от оси вращения на расстояние a (рис.55). Ось вращения и стержень лежат в одной плоскости.

Рис.55

Дано: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Для вычисления момента инерции выберем систему координат, как это показано на рис.56. Повторяя рассуждения примера 1 и изменяя пределы интегрирования, получим для момента инерции стержня

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

При a=0 получим Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Откуда при Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Выражение для Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru можно записать в виде

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Откуда при Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru получим Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Отсюда следует, что стержень, параллельный оси вращения, ведет себя как материальная точка.

Пример 6. Найти момент инерции каркаса прямоугольника массой m со сторонами, равными a и b, относительно оси вращения, проходящей в его плоскости через его ЦМ параллельно стороне a (рис.56).

Рис.56

Дано: m, a, b. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Линейная плотность массы каркаса прямоугольника равна Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Массы сторон длиной a и b равны соответственно Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Стороны прямоугольника с длиной равной a, параллельные оси вращения, ведут себя как материальные точки с моментом инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а стороны длиной b, перпендикулярные оси вращения, как стержни с моментом инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Полный момент инерции каркаса прямоугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 7. Вывести формулу для момента инерции прямоугольника массой m со сторонами a и b относительно оси вращения, проходящей через его ЦМ, перпендикулярно его плоскости (рис.57).

Рис.57

Дано: m, a, b. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Выберем систему координат XYZ с началом О в ЦМ прямоугольника, ось Z которой перпендикулярна его плоскости. Оси X и Y направим перпендикулярно его сторонам a и b. Масса прямоугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru – поверхностная плотность его массы.

В качестве элемента поверхности возьмем прямоугольник с координатами Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru ,со сторонами Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и площадью Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , находящийся на расстоянии Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru от начала О системы координат. Масса этого прямоугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а момент инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Полный момент инерции прямоугольника

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Если Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru или Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , то придем к формуле момента инерции стержня относительно оси вращения, перпендикулярной стержню и проходящей через его ЦМ.

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 8. Вывести формулу для момента инерции равнобедренного треугольника массой m, высотой h и длиной основания, равной a, относительно оси вращения, лежащей в плоскости треугольника и проходящей вдоль его высоты.


Рис.58

Дано: m, a. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Выберем систему координат с началом О в вершине треугольника. Ось Z направим вдоль высоты треугольника к его основанию (рис.58). Масса треугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

В качестве элементарного тела выберем стержень, перпендикулярный к оси Z на расстоянии z от начала О шириной dz. Из подобия треугольников длина стержня Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , его площадь Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , масса Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а момент инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Момент инерции треугольника относительно оси вращения, проходящей вдоль его высоты

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 9. Вывести формулу для момента инерции равнобедренного треугольника массой m, высотой h и длиной основания, равной a, относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его вершину.

Дано: m, a,h. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Выберем систему координат так же, как в примере 8 (рис.59). Масса треугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

В качестве элементарного тела выберем стержень, перпендикулярный к оси X на расстоянии z от начала О шириной dz и длиной Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , его масса Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и момент инерции относительно его ЦМ Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции стержня относительно его вершины по теореме Штейнера

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Полный момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси вращения, проходящей через его вершину перпендикулярно его плоскости

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Откуда Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Для равностороннего треугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru ,для равностороннего треугольника– Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 10. Вывести формулу для момента инерции равнобедренного треугольника массой m, высотой h и длиной основания, равной a, относительно оси вращения, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его ЦМ.

Дано: m, a,h. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Согласно разделу Центр масс ЦМ треугольника находится от вершины треугольника на расстоянии Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Тогда по теореме Штейнера с учетом примера 9получим

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Для равностороннего треугольника Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , для равностороннего треугольника – Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 11. Вывести формулу для момента инерции кольца (полого цилиндра) массой m с внутренним и внешним радиусами Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru относительно оси вращения, проходящей через центр кольца, перпендикулярно его плоскости (рис.59).

Рис.59

Решение: Масса кольца Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru – поверхностная плотность его массы. Выберем в качестве элементарного тела кольцо радиуса r и шириной dr, площадь которого Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а масса равна Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции кольца Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Тогда момент инерции большого кольца

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 12.Вывести формулу для момента инерции кругового сектора диска массой m радиусом R относительно оси вращения, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его вершину (рис.21, раздел 7).

Дано: m, R. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение:Задачу будем решать в полярной системе координат. Начало О системы координат выберем в центре кругового сектора. Масса сектора с углом Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru при его вершине Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

В качестве элемента массы dm выберем площадку, находящуюся на расстоянии r от точки О под углом α к оси X, перпендикулярной оси симметрии сектора. Ее площадь Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а масса Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции кругового сектора, боковые стороны которого составляют углы Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru с осью X Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , равен

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 13. Вывести формулу для момента инерции для половины диска массой m и радиусом R относительно оси вращения, перпендикулярной его плоскости и проходящей через его ЦМ.

Дано: m, R. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Положение ЦМ половины диска было найдено в разделе 7 – Центр масс и равно Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а его момент инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru относительно его центра в О получен примере 12. Тогда момент инерции половины диска относительно его ЦМ по теореме Штейнера будет равен

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 14. Вывести формулу для момента инерции диска массой m и радиусом R относительно оси вращения, лежащей в его плоскости и проходящей через его диаметр.

Рис.60

Дано: m, R. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Начало О системы координат возьмем в ЦМ диска, а его ось вращения Z направим по его диаметру (рис.60). Масса диска Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru ,где Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru – поверхностная плотность массы диска.

Для расчета момента инерции диска выберем в качестве элементарного тела стержень, перпендикулярный оси вращения Z, находящийся на расстоянии z от точки О. Длина стержня Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , его ширина dz, масса стержня Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Элементарный момент инерции стержня Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Тогда с учетом, что при Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ruМомент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , откуда Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru получим для полного момента инерции диска относительно оси вращения, проходящей через его диаметр

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 15. Вывести формулу для момента инерции кругового сектора массой m и радиусом R и углом Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru при его вершине относительно оси вращения, лежащей в его плоскости и проходящей через его ось симметрии.

Дано: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение:Начало О системы координат возьмем в центре кругового сектора, а его ось вращения Z направим вдоль его оси симметрии. Масса сектора Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru ,где Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru – поверхностная плотность его массы.

Задачу будем решать в полярной системе координат. Начало О системы координат выберем в центре кругового сектора. В качестве элемента массы dmвыберем площадку, находящуюся на расстоянии rот точки О под углом α к оси X, перпендикулярной оси Z симметрии сектора (рис.21 раздела 7). Ее координата по оси Z равна Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , площадь Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а масса Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Момент инерции кругового сектора относительно оси Z, боковые стороны которого составляют углы Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru с осью X, с учетом, что Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru ,

равен

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Откуда Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . При Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru придем к моменту инерции диска и половины диска, полученному в предыдущем примере.

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 16. Вывести формулу для момента инерции шара массой m и радиусом R относительно оси вращения, проходящей через его ЦМ (рис.60).

Дано: m, R. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Масса шара Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , где Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru – объемная плотность массы шара.

Выберем в качестве элементарного тела диск, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси вращения, и отстоящий на расстояние z от ЦМ сферы. Радиус диска Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , его высота dz, а объем Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Масса диска Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , его момент инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Полный момент инерции шара

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 17. Вывести формулу для момента инерции шарового слоя массой m с внутренним и внешним радиусами, равными Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru относительно оси вращения, проходящей через его ЦМ. Рассмотреть момент инерции сферы массой m и радиусом R как частный случай.

Дано: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Масса шара с объемной плотностью массы ρравна Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а масса полости в нем Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Тогда масса шарового слоя Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Откуда Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Если момент инерции шара равен Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , а шаровой полости в нем Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , то момент инерции шарового слоя согласно примеру 16 Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Откуда при Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru и Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru опять придем к формуле момента инерции шара Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Используя преобразование Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , момент инерции шарового слоя можно представить в виде

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Откуда при Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru получим момент инерции сферы Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: для шарового слоя Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , для сферы Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Пример 18. Вывести формулу для момента инерции прямого конуса массой m с радиусом

основания R и высотой h относительно оси вращения, проходящей через его ось симметрии.

Рис.61

Дано: m, R. Найти: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru

Решение: Выберем ось Z по направлению оси симметрии конуса с началом О в его вершине (рис.61). Масса конуса Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Выберем в качестве элементарного тела диск, лежащий в плоскости, перпендикулярной оси вращения и отстоящий на расстояние z от вершины конуса. Из подобия треугольников Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , тогда радиус диска Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , его высота dz, а объем Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru . Масса диска Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru , его момент инерции Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Полный момент инерции конуса

Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Ответ: Момент инерции материальной точки и тела. Теорема Штейнера. - student2.ru .

Наши рекомендации