Свойства двойного интеграла.

1. Двойной интеграл суммы равен сумме двойных интегралов.

2.Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла.

3.Если область (D) разбита на две области (D₁) и (D₂) без общих внутренних
точек, то

(D₁) (D₂)

П р и м е р . Свести двойной интеграл к двукратному.

(D): x = 2, y = x, xy = 1.

y

y = x 2

y = ¹/_{x x = y}

y x = 2

1 x 2 x 1

y x = 2

0.5 2 x

x = 1/y

Вычисление объемов и площадей с помощью двойного интеграла.

1. f(x,y) > 0

z z = f(x,y)

y П р и м е р . Вычислить объем, ограниченный

поверхностями: y = 9 – x², x + z = 2, x = 0, y = 0,

x (D) z = 0 (x ≥ 0).

z z = 2 - x y

y = 9 – x²

9

9 y

2 0 x 2 x

x

1. Пусть требуется вычислить площадь области (В). Рассмотрим цилиндр, основание которого совпадает с областью (D), а высота равна единице.

z V = S_D ∙ h = S_D.

z = 1

y

x (D)

С другой стороны, .

П р и м е р .Вычислить площадь, ограниченную линиями: y² = x + 1, x – y – 1 = 0.

x = y² – 1, y² – y – 2 = 0, y₁ = -1, y₂ = 2.

= -⁸/₃ + 2 + 4 – ¹/₃ – ½ + 2 = 8 – 3 -¹/₂ = ⁹/₂

y

2

x = y²-1 x = y +1

-1

x

-1

Двойной интеграл в полярных координатах.

M(ρ, φ) – полярные координаты точки М.

● M(ρ,φ) ρ – полярный радиус, φ – полярный угол.

ρ

φ

Формулы связи между декартовыми и полярными координатами имеют вид:

y

:

ρ y x = ρ cos φ, y = ρ sin φ

φ

0 x x

y

x = ρ cosφ, y = ρ sin φ, dS = dxdy = ρdρdφ

dφ dρ

x

ρ ρ + dρ

ρdφ

Двойной интеграл в полярных координатах имеет вид:

П р и м е р 1 .

Найти объем, ограниченный поверхностями: x² + y² = 1, z = x² + y², z = 0.

ρ = 1

z

φ

z = x² + y² φ ρ

y

x

П р и м е р 2. Найти объем, ограниченный поверхностями z = x² + y², x² + y² – 2y = 0, z = 0.

z

(D)

ρ = 2sin φ

z = x² + y²

φ

y
0 ρ
x

Тройной интеграл.

Рассмотрим функцию u = f(x,y,z), в замкнутой области (V) трехмерного пространства._i

P(x, y, z) Рассмотрим задачу об определении массы тела (V) при

условии, что плотность распределения вещества не является

постоянной величиной. Рассмотрим частичный объем ∆V c
массой ∆m.
^∆m/_∆V – средняя плотность.

(V) - плотность в точке P(x, y, z).

P_i(ξ_i, η_i, ς_i ) Разобьем объем (V) произвольным образом на частичные
объемы ∆V_i. В каждом частичном объеме ∆V_i возьмем
точку P_i(ξ_i, η_i, ς_i ) и найдем f(P_i)∙∆V_i. Это произведение
равно массе ячейки ∆V_i при условии, что плотность
постоянна и равна плотности в точке P_i.

(V)

Составим сумму Эта сумма называется интегральной суммой.

За массу следует принять предел при условии, что все ячейки сжимаются в точки.

(*) .

λ – наибольшая из хорд, стягивающих границы ячеек.

Предел (*), если он существует, если он не зависит от способа разбиения области (V) на частичные области и от выбора точек P_i, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) .

Очевидно, масса тела равна

.

Теорема существования.

Если функция определена и непрерывна в замкнутой области (V), то существует тройной интеграл от этой функции по области (V).

Вычисление тройного интеграла.

zz = φ₂(x, y) Пусть область (V) такова, что любая
прямая, параллельная оси z и
проходящая через внутреннюю точку

области (V), пересекает границу

z = φ₁(x, y) области ровно в двух точках.

Y Тогда

P(x,y)

(D)

Если областью (D) является круг, то при вычислении внешнего двойного интеграла переходят к полярным координатам x = ρ∙ cosφ, y = ρ∙sinφ. Тогда