Теорема об изменении момента импульса механической системы.
Воспол теоремой об измен физических величин в механич системе 
получим : 
умножим первое уравнение слева векторно на 
а второе уравнение слева векторно умножим на 
и в результате получим: 
; 
; 
; 
; 
; 
; тогда 
изменение момента импульса механич системы в единицу времени обусловлено действием момента внешних сил. Следствие 1: если отсутствует действие внешних сил: 
– закон сохранения момента импульса механич системы. Следствие 2: если 
параллельны 
, тогда момент силы равен нулю: 
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
умножим первое уравнение на 
а второе на и в результате получим: 
; 
; T=T1+T2-кинетическая энергия механической системы. 
- теорема об изменении кинетической энергии. Изменение кинетичекой энергии в единицу времени механической системы обусловлено работой совершающей в единицу времени внешними и внутренними силами. 
T1+T2)= 
; 
; воспользуемся тем фактом,что силовые поля являя потенциальными полями, это значит что для всех полей выполн след соотнош: 
; 
; ; 
( 
= 
, -где 
- энергия взаимодействия механической системы с внешним полем 
где 
; 
; 
; 
; где 
- потенциальная энергия взаимод двух точек; 
- потенциальная энергия системы взаимод с внешним полем. 
; W-полная энергия. W=T1+T2+T3+ 
; W= 
; W=T+ 
; 
- закон сохранения энергии. Следствие 1: если внешнее поле отсутствует, то полная энергия будет состоять из: W=T+ 
, при 
Следствие 2: если центр масс выразить через радиус:
; ; 
; W= 
- полная энергия механической системы. 
- кинетическая энергия механической системы, как целая, когда определяется движение центра масс механической системы.; 
- приведенная масса. Кинетическая энергия механической системы, как материальная точка с приведенной массой 
и относительной скоростью 
- потенциальная энергия.
Вопрос
Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: 
Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x »s): 
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движени 
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна 
а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической: 
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: 
Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то 
Производная суммы равна сумме производных: 
Следовательно
12 . Описание упругих колебаний материальной точки на основании 2-го закона Ньютона и закона сохранения энергии. 
; 
; 
механ.Ньютона 
; 
; ; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
. 
; 
; 
; 
; 
-полная энергия; 
= 
- уравнение движения ; 
; 
; y= 
dy=dz; 
; C =-2 
; 
; 
; 
;
13.Связи. Уравнения связей. 
-уравнение связи ;Связь– это совокупность тел огранич.движение определенного тела. Связи кот. огранич.движение тел описываются аналитическими ур-ями кот. наз.ур-ями связи. Рассмотрим движ. Одной мат.т.движ. кот.ограничена связеми. f( 
=0; где 
t-время, 
( =0, 
( =0, 
( =0, ( =0; f(x)=0, f(x)=x-l; уравнение плоскости является связью 
-функции связи
Для круга 
Каждая определенная связь ограниченная движением мат.точки уменьшает число степеней свободы . стационарные связи –это такие связи ф-ии кот. явно не зависят от времени , в противном случае если ф-ии зависят от времени то она стационарная.В механ.использ. голономные и неголономныесвязи . Голономн.наз.связи кот. можно определить аналитич.ур-ями и эти ур-ия описываются опред. ур-ями поверхностей в противном случае связь явл.неголономной.силы кот.обусловленны действия связи наз.пассивными или реактивными силими. Активныминаз.силы кот вызывают ускорение мат. точек. Если мат.система состоит из N мат.точек 3N-P=r;Определение числа механ.системы с учетом связи огранич.движ.мех.системы. Виды перемещений: Действительные перемещения-это перемещение мат.точки под действием активных и пассивных сил. Возможные-это перемещ.кот.огран.связями действующ.на мат. точку или тело. Виртуальные –это вооброжаемые перемещ. кот. обусловл.действием активных и пассивных сил.
14.Элементы дифференцирования и варьирования в теоретической мех. ; dz=vdt; z=z(t); 
; Если в данный фиксированный момент времени переход от одной траектории к другой : 
то эта операция перехода от одной траектории к другой близко расположенной относительно основной траектории наз.варьированием. 
-варьирование преременных. С помощью операции варьирования определяется виртуальное варьирование. Если речь идет о вычислении вариации ф-ии зависящей от вариации 
; 
; 
; ( =0, 
; ( = 
; ( = 
; 
; = 
; = 
15. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Рассм. Мех. состоящую из N мат.т.на это на мех.систему наложено pсвязей(идеальных). r=3N-p Связи описываются ур-ями связи 
; все связи идеальны 
. Вычислим вариации ф-ции 
: 
; умножим ур-ние на и сложим все ур-ия : 
; 
; Если бы число степеней свободы мех. системы 3N то каждая 
было бы независимым и тогда выражение в квадратных скобках можно было бы прировнять к нулю, но число степеней свободы меньше 3N и равно 3N-p где р – число ур-ний связи.поэтому мы такого утверждения сделать не можем т.к. 
неопределенные множители то мы подберем их таким образом что бы в каждом слогаемым выражение в квадратных скобках=0; 
из явного вида ф-лы 
связь реакции связи с ур-ями (функциями связи). 
; 
- ур-ние Лагранжа 1-го рода.
16. Ур-е Лагранжа 1-го рода.
Рассм. мех.сис-му, состоящ. из N материальн.точек. На эту мех.сис-му наложено р-связей идеальных. Число степеней свободы r = 3N-p.
(8.1) a=1,2…p.
Вычислим теперь вариацию функций 
ур-я (8.1):
d 
Умножим теперь кажд.ур-е (8.3) на множитель 
и сложим эти ур-я,тогда получ.:
Если бы число степеней свободы мех.сис-мы было 3N, то каждая d 
было бы независ. и тогда выраж-е в [ ] скобках можно было бы приравнять к 0, но число степеней свободы меньше 3N и равно 3N-p, где р- число ур-й связи, поэтому такого утверждения мы сделать не можем, однако, поскольку неопред.множители, то мы подберем их т.образом, чтобы в каждом слагаемом (8.5) выр-е в [ ] равнялись нулю. След-но из нашего утверждения следует, что
Из явного вида ф-лы (8.6) следует связь реакции связи с ур-ями (ф-циями) связи
ур-е Д*аламбера.
Если учтем ур-е (8.6), то получ.
Это и есть ур-е Лагранжа 1-го рода.
Общее ур-е механики.
реакция связи, наз.идеальной для одной матер.точки,если выполн.ур-е:
( 
Принцип Д*аламбера:
При движ-ии матер.точки 
сил действующих на матер.точку =0
= -m 
Если ур-е (7.9) скалярно умножим на d , то ( 
=0 (7.10), это ур-е наз.общим ур-ем механики для одной матер.точки.
Для сис-мы состоящ.из n матер.точек принцип Д*аламбера будет записан так:
n=1,2…
Если умножим (7.11) скалярно на d , а затем проссумируем.то получим:
Если связь идеальна, то это ур-е запиш. В виде:
Общее ур-е механики