Математический и функциональный анализ
Мера и измеримые функции. Интеграл Лебега и его сравнение с интегралом Римана. Теорема Егорова. Теорема Фубини. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла.
Пространства Lp. Разложения по ортогональным системам функций в L2. Ряды и преобразования Фурье. Теорема Планшереля.
Метрические и топологические пространства. Компактность. Непрерывные функции на компакте. Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Связность.
Линейные топологические и банаховы пространства. Теорема Хана-Банаха. Компактные операторы.
Гильбертовы пространства. Теорема Рисса-Фишера о представлении линейных функционалов.
Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Ограниченные операторы. Понятие о спектре оператора. Спектр компактного самосопряженного оператора. Спектральное представление линейного оператора.
Линейные операторы и их матрицы в конечномерном вещественном и комплексном пространстве. Нормальная форма матрицы линейного оператора. Канонический вид матрицы симметрического, унитарного и кососимметрического оператора.
Обобщенные функции и операции над ними. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста. Соболевские пространства Hs. Теорема вложения Соболева.
Комплексный анализ
Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Лемма Шварца и принцип максимума модуля.
Разложение голоморфных функций в ряды Тейлора и Лорана. Характеристика изолированных особых точек в терминах ряда Лорана.
Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип аргумента и теорема Руше.
Теорема Коши о вычетах. Целые функции. Теорема Лиувилля.
Принцип сохранения области и теорема Гурвица. Принцип соответствия границ. Теорема Римана.
Аналитическое продолжение. Теорема о монодромии. Точки ветвления аналитических функций. Римановы поверхности.
Принцип симметрии. Теорема Пикара.
Дифференциальные уравнения
Линейные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальные системы решений. Метод вариации постоянных.
Дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Квазиполиномы. Общие и частные решения. Функция Грина.
Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Асимптотическая устойчивость.
Элементы вариационного исчисления. Лагранжиан и уравнения Эйлера—Лагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона.
Принцип максимума Понтрягина.
Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. Теорема Гильберта—Шмидта.
Характеристики уравнений в частных производных. Задача Коши и теорема Коши—Ковалевской. Классификация уравнений в частных производных. Метод разделения переменных.
Уравнение Лапласа и эллиптические уравнения. Гармонические функции. Принцип максимума. Фундаментальное решение. Задачи на собственные значения и разложения по собственным функциям.
Уравнение теплопроводности и параболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши. Принцип максимума и теорема единственности.
Волновое уравнение и гиперболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши.
Алгебра и топология
Группы, алгебры и кольца. Свободные группы и соотношения.
Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе.
Поля и их алгебраические расширения. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.
Группы и алгебры Ли. Основные типы алгебр Ли.
Линейные представления групп и их характеры. Лемма Шура. Индуцированные представления. Закон взаимности Фробениуса.
Фундаментальная группа. Односвязность. Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие.
Гомологии и когомологии симплициальных комплексов. Их гомотопическая инвариантность. Группы гомологий и фундаментальная группа компактных двумерных поверхностей, их классификация.
Локально тривиальные и векторные расслоения. Пространства путей и петель. Точная гомотопическая последовательность расслоения. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двухмерную.
Степень отображения и индекс особой точки векторного поля. Индекс пересечения и коэффициент зацепления. Эйлерова характеристика.
Геометрия
Гладкие многообразия и их отображения. Дифференциал гладкого отображения и его якобиан. Теорема Сарда. Касательные векторы и касательное расслоение.
Примеры гладких многообразий: проективные пространства, матричные группы Ли, многообразия Грассмана и Штифеля.
Тензоры и тензорные поля. Дифференциальные формы и внешнее дифференцирование. Когомологии де Рама. Тензоры и дифференциальные формы на комплексных многообразиях.
Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса. Ее связь с формулами Грина и Гаусса—Остроградского. Двойственность Пуанкаре.
Римановы многообразия и метрики. Геодезические. Связности, их тензоры кривизны и кручения. Параллельный перенос.
Гладкие кривые, их кривизна и кручение. Формулы Френе.
Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Теорема Менье и формула Эйлера. Главные направления и кривизны. Формула Гаусса—Бонне.
Симплектические многообразия. Теорема Дарбу. Комплексная и контактная структуры.
Теория вероятностей
Вероятностные пространства. Случайные величины и их математические ожидания. Дисперсия. Независимые случайные величины. Условные вероятности и математические ожидания.
Нормальное распределение и распределение Пуассона. Характеристические функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Центральная предельная теорема. Законы больших чисел.
Корреляционные функции. Цепи Маркова и марковские случайные процессы. Гауссовские процессы и процесс Пуассона.
Броуновское движение. Стохастический дифференциал и формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения.
Элементы математической статистики. Точечное и интервальное оценивание. Задача проверки статистических гипотез.
Физические разделы
Механика
Уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Функция Лагранжа. Теорема Нетер и законы сохранения.
Одномерное движение. Движение в центральном поле.
Свободные и вынужденные колебания. Колебания при наличии трения.
Движение твердого тела. Угловая скорость, моменты инерции и количества движения. Уравнения Эйлера.
Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля. Уравнение Гамильтона—Якоби.
Теория поля
Принцип относительности. Преобразования Лоренца. Интервал.
Релятивистская механика. Принцип наименьшего действия. Энергия и импульс.
Заряд в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Калибровочные преобразования. Уравнения движения заряда. Тензор электромагнитного поля.
Уравнения электромагнитного поля. Действие электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса.
Постоянное электромагнитное поле. Закон Кулона. Электростатическая энергия заряда. Диполь. Магнитный момент. Теорема Лармора. Система зарядов в электромагнитном поле.
Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Плоские и монохроматические волны. Спектральное разложение.
Распространение электромагнитных волн. Отражение и преломление. Принцип взаимности.
Поле движущегося заряда. Запаздывающие потенциалы и потенциалы Льенара-Вихерта. Излучение электромагнитных волн.
Поле системы зарядов на далеких расстояниях.