Задачи расчета магнитных полей

Рассмотрим некоторые типы задач расчета магнитных полей.

Первый тип задач - определение индуктивности какого-либо контура или взаимной индуктивности двух контуров.

Второй тип задач - определение сил, действующих в магнитном поле на движущийся электрон, неподвижный проводник с током, ферромагнитные массы в магнитном поле.

Третий тип задач - расчет поля, создаваемого заданным распределением токов в пространстве.

Четвертый тип задач - расчет магнитных экранов. Магнитными экранами называют устройства, предназначенные для ослабления магнитного поля в заданной области пространства по сравнению с магнитным полем вне экрана. К магнитной экранировке прибегают, например, для защиты чувствительных приборов от влияния посторонних магнитных полей, в частности от влияния магнитного поля Земли.

Пятый тип задач - нахождение распределения токов в некотором объеме для получения заданной картины магнитного поля. Так, например, в морском деле большое значение имеет дегауссировка кораблей: корабль, обладая большой ферромагнитной массой, возмущает магнитное поле Земли не только в непосредственной близости от себя, но и на достаточно большом расстоянии. Соответствующие индикаторы на возмущение магнитного поля Земли могут привести в действие находящиеся поблизости самодвижущиеся мины (имеются в виду условия военного времени), и в результате корабль может оказаться подорванным. Чтобы этого не случилось, на кораблях устанавливают специальные намагничивающие обмотки, которые располагают таким образом, чтобы скомпенсировать возмущение магнитного поля Земли вблизи корабля.

Много различных задач на расчет магнитных полей возникает при магнитной записи звука, а также при магнитной дефектоскопии. Магнитная дефектоскопия позволяет по картине магнитного поля судить о наличии раковин, трещин и других дефектов в изделиях из ферромагнитных материалов. Широко распространена она на железнодорожном транспорте при контроле целостности рельсов железнодорожного пути. Широкое распространение ее объясняется экономичностью и быстротой осуществления контроля.

Общая характеристика методов расчета и исследования магнитных полей

Методы расчета и исследования магнитных полей можно подразделить на три группы: аналитическую, графическую и экспериментальную.

Группа аналитических методов объединяет все чисто аналитического порядка приемы интегрирования уравнения Пуассона (для областей, занятых током), уравнения Лапласа (для областей, не занятых током), применение методов зеркальных и конформных отображений и др.

В силу трудностей математического характера классические аналитические методы позволяют решать относительно небольшой круг задач. В тех случаях, когда расчет поля аналитическими методами вызывает затруднения, прибегают к графическому методу построения картины поля или к исследованию магнитного поля на модели. Графические методы построения картины поля применимы к двухмерным безвихревым полям. За последние годы был развит метод интегральных уравнений, предполагающий использование ЭВМ и значительно расширяющий круг решаемых задач.

Пояснения к решению задач

Магнитное поле характеризуется векторной величиной В, называемой магнитной индукцией. Магнитная индукция В измеряется в В·с/м2.

Интеграл вектора магнитной индукции по некоторой поверхности называется магнитным потоком через эту поверхность

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru . (1)

Магнитный поток измеряется в системе СИ в веберах (Вб).

Магнитное поле не имеет дивергенции, поскольку Задачи расчета магнитных полей - student2.ru = 0. По теореме Гаусса

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ,

следовательно,

divB = ÑB = 0.

Величина магнитной индукции в данной точке от тока в проводнике определяется интегралом

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru , (2)

причем интегрирование ведется по всему замкнутому контуру тока, состоящему из элементов Idl.

Из векторного анализа известно, что векторная величина, не имеющая дивергенции, сама является ротором другой векторной величины. Следовательно, вектор магнитной индукции В является ротором другого вектора А, получившего название векторного потенциала магнитного поля

B = rotA = [ÑA]. (3)

Векторный потенциал А измеряется в В·с/м.

Значение векторного потенциала А выводится из (2). Поскольку Задачи расчета магнитных полей - student2.ru векторное произведение Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Такое преобразование сделать можно, так как оператор является символом дифференцирования по координатам точки наблюдения, то есть по r, тогда как вектор Idl для Ñ является величиной постоянной. Теперь

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Так как интегрирование ведется по l и вектор Задачи расчета магнитных полей - student2.ru для интеграла является постоянной величиной, можно сделать такую перестановку

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru . (4)

Сравнивая (3) и (4), можно написать

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru . (5)

Подставляя вместо элемента тока Idl = dSdl = ddv, где d—плотность тока, dv—элемент объема проводника, по­лучим

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru . (6)

По аналогии с электрическим полем, для которого справедливо уравнение Пуассона, Задачи расчета магнитных полей - student2.ru , где Задачи расчета магнитных полей - student2.ru для векторного потенциала А можно напиcать

Ñ2A = -md (7)

или Ñ2A = 0, если в рассматриваемом объеме отсутствует электрический ток.

Используя известное соотношение в векторном анализе, можно написать

Ñ2A = Ñ(ÑA) – [Ñ[ÑA] = - md.

Из (6) видно, что поле вектора А, такое же как и поле вектора d, поэтому по аналогии с последним div A = ÑA = 0. Следовательно,

[Ñ[ÑA]] = md

или

B] = m [ÑH] = md

и

H] = d, (8)

что принято называть первым уравнением Максвелла. Подставив в (1) значение В из (3), будем иметь

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru . (9)

Индуктивность L контура есть величина магнитного потока, сцепленного с данным контуром тока, приходящегося на единицу тока. Разделив (9) на I, получим

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru . (10)

Индуктивность L измеряется в Ом*с = Гн (генри).

Взаимная энергия W контура с током и постороннего магнитного поля равна IФ. Подставив значения Ф из (9), будем иметь значение взаимной энергии двух контуров с токами Задачи расчета магнитных полей - student2.ru , где I1 ток в контуре l1. Деление подинтегрального выражения на I1 с одновременным умножением интеграла на I1 ничего не изменит, поскольку сила тока I1 контура l1 при интегрировании является величиной постоянной.

Величина Задачи расчета магнитных полей - student2.ru , равная потоку контура l1 при токе в 1 А, пронизывающему контур с током I, называется взаимной индуктивностью двух контуров с токами I и I1.

Примеры решениЯ задач

Задача 1. Над стальной поверхностью на расстоянии h от нее протянут тонкий длинный провод (рис.1), по которому протекает электрический ток I. Найти напряженность магнитного поля в стали в точках, расположенных на расстоянии от поверхности стали 0,5h, 1,0h, 1,5h, и построить картину магнитного поля в ней, если m1 =9m0.

 
  Задачи расчета магнитных полей - student2.ru

Рис.1.

Решение.Подобные задачи проще решать по методу зеркальных изображений. Магнитное поле в воздухе рассматривается как сумма полей от действительного тока I в воздухе и его зеркального изображения I2, причем I2 имеет одинаковое направление с I, но отличается по величине. Магнитное доле в стали рассматривается как сумма полей от действительного тока I и тока I1, причем токи I и I1 разные по величине и направлению, протекающие по одному и тому же проводу.

Используя граничные условия магнитного поля Н1t2t, B1n = B2n и выразив значения Н1t, Н2t, В1n и В2n через действительный ток I и его изображения, а, именно,

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru , Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ,

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru , Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ,

после решения уравнений, получим

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru

Напряженность поля в точке а

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ;

в точке b: Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ;

в точке с: Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Так как в области стали магнитное поле определяется токами I и I1, протекающими по одному проводу, то линии магнитных сил будут окружностями с центром, совпадающими с осью действительного провода.

Задача 2.Найти значение векторного потенциала для магнитного поля внутри и вне бесконечно длинного цилиндрического провода радиуса а (рис. 2). Материал провода—медь. По проводу протекает постоянный ток с плотностью d.

 
  Задачи расчета магнитных полей - student2.ru

Рис. 2.

Решение.Будем исходить из уравнения Пуассона. Так как векторный потенциал имеет в данной задаче одну компоненту вдоль оси z и зависит только от z, исходное уравнение Пуассона в цилиндрических координатах запишется так:

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ;

для меди m = 1.

Ввиду того, что вектор плотности тока Задачи расчета магнитных полей - student2.ruнаправлен по оси z, вектор потенциал имеет только одну составляющую Аz. Интегрируем это уравнение

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ,

откуда Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Беря повторный интеграл, находим Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Вне цилиндра d = 0, и, следовательно, Аz = С3lnr + С4,

где С3 и С4 новые постоянные (учитывая различие в граничных условиях внутри и вне провода).

Для определения постоянных интегрирования найдем значение магнитной индукции. В области внутри провода

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

В области вне провода Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ,

(остальные компоненты ротора тождественно равны нулю).

Определим постоянные C1 и С2 для области внутри провода. Так как В должно остаться всюду конечным, то C1 = 0; примем, что при x = 0 векторный потенциал A = 0, тогда получим, что С3 = 0. Следовательно, Аz = Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

В области вне провода постоянные C3 и C4 определяются из условия непрерывности векторного потенциала на границе r = а

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru

и непрерывности тангенциальной составляющей вектора Н, что при m=const означает непрерывность тангенциальной составляющей вектора В. Из двух последних уравнений определяем

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ; Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ,

что позволяет написать значение Аz

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Основные формулы

Закон полного тока

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Закон Био-Савара:

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Закон Ампера:

dF = I[dl,B] .

Зависимость между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля (изотропные среды):

B = maH = mm0H = m0H + J ,

m0 = 4·10-7 Гн/м – магнитная постоянная; m - относительная магнитная проницаемость; mа – абсолютная магнитная проницаемость.

Интенсивность намагничивания:

J = m0cмH,

где cм – относительная магнитная восприимчивость.

Первое уравнение Максвелла для постоянных токов:

rotH = d = gE; div maH = 0.

Зависимость между напряженностью магнитного поля и векторным потенциалом:

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru ; div A = 0 .

Вектор магнитного поля:

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Основные уравнения магнитного поля:

rot A = B = maH; Ñ2A = - mad .

Граничные условия в магнитном поле:

B1n – B2n = 0; H1t – H2t = s,

где σ = Задачи расчета магнитных полей - student2.ru - поверхностная плотность тока.

Энергия магнитного поля:

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Магнитный поток: Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Соленоидальность магнитного поля:

Задачи расчета магнитных полей - student2.ru , или Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

Векторный потенциал линейного тока: Задачи расчета магнитных полей - student2.ru .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какое поле называется потенциальным полем?

2. Можно ли магнитное поле рассматривать, как потенциальное, то есть определять напряженность поля Н как градиент некоторого скаляра?

3. Как определяется напряженность магнитного поля из векторного магнитного потенциала?

4. Каково физическое значение векторного потенциала?

5. Что такое закон полного потока?

6. Какие величины магнитного поля аналогичны в формально-математическом отношении электростатическому полю и полю постоянного тока?

7. В чем состоит сущность метода зеркальных изображений при расчете магнитных полей?

Наши рекомендации