Основы теории Максвелла для электромагнитного поля
7.1. Длинный цилиндрический конденсатор заряжается от источника э.д.с. Пренебрегая краевыми эффектами, доказать, что ток смещения в диэлектрике, заполняющем пространство между обкладками конденсатора, равен току в цепи источника э.д.с.
7.2. Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах и объясните физический смысл каждого из уравнений. Зачем вообще необходима дифференциальная форма уравнений?
7.3. Запишите полную систему уравнений Максвелла для стационарных полей (Е = const и В = const) в интегральной и дифференциальной формах и объясните физический смысл каждого из уравнений.
7.4. Запишите уравнения Максвелла через поток вектора электрического смещения ФД, поток вектора магнитной индукции ФВ, заряд Q и силу тока I.
7.5. Доказать с помощью одного из уравнений Максвелла, что переменное во времени магнитное поле не может существовать без электрического поля.
7.6. Определить силу тока смещения между квадратными пластинами конденсатора со стороной 5 см, если напряженность электрического поля изменяется со скоростью 4,52 МВ/(м·с). Ответ: 0,1 мкА.
Электромагнитные колебания
8.1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 1 мГн и конденсатора емкостью С = 2 нФ. Пренебрегая сопротивлением контура, определить, на какую волну этот контур настроен. Ответ: 2,67· 103 м.
8.2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,2 мГн и конденсатора с площадью пластин S = 155 см2, расстояние между которыми d = 1,5 мм. Зная, что контур резонирует на длину волны λ = 630 м, определить диэлектрическую проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора. Ответ: 6,11.
8.3. Колебательный контур содержит соленоид (длина 1 = 5 см, площадь поперечного сечения S1 = 1,5 см2, число витков N = 500) и плоский конденсатор (расстояние между пластинами d = 1,5 мм, площадь пластин S2= 100 см2). Определить частоту ω собственных колебаний контура. Ответ: 4,24·106 рад/c.
8.4. Энергия свободных незатухающих колебаний, происходящих в колебательном контуре, составляет 0,2 мДж. При медленном раздвигании пластин конденсатора частота колебаний увеличилась в n = 2 раза. Определить работу, совершенную против сил электрического поля. Ответ: 0,6 мДж.
8.5. Конденсатор емкостью С зарядили до напряжения Um и замкнули на катушку индуктивностью L. Пренебрегая сопротивлением контура, определить амплитудное значение силы тока в данном колебательном контуре. Ответ: Im = Um 
.
8.6. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков N = 100 индуктивностью L = 10 мкГн и конденсатор емкостью С = 1 нФ. Максимальное напряжение Um на обкладках конденсатора составляет 100 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку. Ответ: 0,1 мкВб.
8.7. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 10 мГн, конденсатора емкостью С = 0,1мкФ и резистора сопротивлением R = 20 Ом. Определить, через сколько полных колебаний амплитуда тока в контуре уменьшится в е раз. Ответ: 5.
8.8. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 25 мГн, конденсатор емкостью С = 10 мкФ и резистор сопротивлением R = 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Qm = 1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсатора от времени. Ответ: 1) 3,14мс; 2) 0,063; 3) U = 100e-20tcos637πt, B.
8.9. Определить логарифмический декремент, при котором энергия колебательного контура за N = 5 полных колебаний уменьшается в n = 8 раз. Ответ: 0,21.
8.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 6 мкГн, конденсатор емкостью С = 10 нф и резистор сопротивлением R = 10 OM. Определить для случая максимума тока отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля. Ответ: 6.
8.11. Определить добротность Q колебательного контура, состоящего из катушки индуктивностью L = 2 мГн, конденсатора емкостью С = 0,2 мкФ и резистора сопротивлением R = 1 Ом. Ответ: 100.
8.12. Частота затухающих колебаний n в колебательном контуре с добротностью Q = 2500 равна 550 кГц. Определить время, за которое амплитуда тока в этом контуре уменьшится в 4 раза. Ответ: 2 мс.
8.13. Определить минимальное активное сопротивление при разрядке лейденской банки, при котором разряд будет апериодическим. Емкость С лейденской банки равна 1,2 нФ, а индуктивность проводов составляет 3 мкГн. Ответ: 100 Ом.
8.14. В цепь колебательного контура, содержащего последовательно соединенные резистор сопротивлением R = 40 Ом, катушку индуктивностью L = 0,36 Гн и конденсатор емкостью С = 28 мкФ, подключено внешнее переменное напряжение с амплитудным значением Um = 180 В и частотойω= 314 рад/с. Определить: 1) амплитудное значение силы тока Im в цепи; 2) сдвиг φ по фазе между током и внешним напряжением. Ответ: 1) 4,5 А; 2) φ = –1° (ток опережает напряжение).
8.15. В цепь колебательного контура, содержащего катушку индуктивностью L = 0,2 Гн и активным сопротивлением R = 9,7 Ом, а также конденсатор емкостью С = 40 мкФ, подключено внешнее переменное напряжение с амплитудным значением Um =180 В и частотой ω = 314 рад/с. Определить: 1) амплитудное значение силы тока Im в цепи; 2) разность фаз φ между током и внешним напряжением; 3) амплитудное значение напряжения UmL на катушке; 4) амплитудное значение напряжения UmC на конденсаторе. Ответ: 1) 9,27 А; 2) –60° (ток опережает напряжение); 3) 589 В; 4) 738 В.
8.16. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением R = 110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением Um = 110 В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи Im = 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряжением. Ответ: φ = –60°, ток опережает напряжение.
8.17. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью Е = 0,1 мГн, резистор сопротивлением R = 3 Ом, а также конденсатор емкостью С = 10 нФ. Определить среднюю мощность, потребляемую контуром, необходимую для поддержания в нем незатухающих колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе Um = 2 B. Ответ: 1,2 мВт.
8.18. В цепь переменного тока напряжением 220 В и частотой 50 Гц последовательно включены резистор сопротивлением R = 100 Ом, катушка индуктивностью L = 0,5 Гн и конденсатор емкостью С = 10 мкФ. Определить: 1) силу тока в цепи; 2) падение напряжения на активном сопротивлении; 3) падение напряжения на конденсаторе; 4) падение напряжения на катушке. Ответ: 1) 1,16 А; 2) 116 В; 3) 369 В; 4) 182 В.
8.19. В цепь переменного тока частотой n = 50 Гц включена катушка длиной l = 20 см и диаметром d = 5 см, содержащая N = 500 витков медного провода площадью поперечного сечения S = 0,6 мм2. Определить, какая доля полного сопротивления катушки приходится на реактивное сопротивление. Удельное сопротивление меди ρ = 17 нОм·м. Ответ: 40%.
8.20. В цепь переменного тока частотой n = 50 Гц включена катушка длиной l = 30 см и площадью поперечного сечения S = 10 см2, содержащая N = 1000 витков. Определить активное сопротивление катушки, если известно, что сдвиг фаз φ между напряжением и током составляет 30°. Ответ: R = 2,28 Ом.
8.21. К зажимам генератора присоединен конденсатор емкостью С = 0,15 мкФ. Определить амплитудное значение напряжения на зажимах, если амплитудное значение силы тока равно 3,3 А, а частота тока составляет 5 кГц. Ответ: 0,7 кВ.
8.22. Определить в случае переменного тока (n = 50 Гц) полное сопротивление участка цепи, состоящего из параллельно включенного конденсатора емкостью С = 10 мкФ и резистора сопротивлением R = 50 Ом. Ответ: 49,4 Ом.
8.23. В цепь переменного тока частотой n = 50 Гц последовательно включены резистор сопротивлением R = 100 Ом и конденсатор емкостью С = 22 мкФ. Определить, какая доля напряжения, приложенного к этой цепи, приходится на падение напряжения на конденсаторе. Ответ: 82,3%.
8.24. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой С = 1 нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи R = 5 Ом. Ответ: 119 кВ.
8.25. Как и какими индуктивностью L и емкостью С надо подключить катушку и конденсатор к резистору сопротивлением R = 10 кОм, чтобы ток через катушку и конденсатор был в 10 раз больше общего тока? Частота переменного напряжения n = 50 Гц. Ответ: L = 3,18 Гн, С = 3,18 мкФ.
8.26. Активное сопротивление колебательного контура R = 0,4 Ом. Определить среднюю мощность <Р>, потребляемую колебательным контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением силы тока Im = 30 мА. Ответ: 18 мВт.
8.27. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 5 нФ и катушку индуктивностью L = 5 мкГн и активным сопротивлением R = 0,1 Oм. Определить среднюю мощность <Р>, потребляемую колебательным контуром, при поддержании в нем незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе Um = 10 В. Ответ: 5 мВт.
8.28. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 6 мкГн и конденсатор емкостью С = 1,2 нФ. Для поддержания в колебательном контуре незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе Um = 2 В необходимо подводить среднюю мощность <P> = 0,2 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. Ответ: 141.
8.29. В сеть переменного тока с действующим значением напряжения 120 В последовательно включены проводник с активным сопротивлением 10 Ом и катушка индуктивностью 0,1 Гн. Определить частоту n тока, если амплитудное значение силы тока в цепи равно 5 А. Ответ: 51,6 Гц.
Электромагнитные волны
9.1. Скорость распространения электромагнитных волн в некоторой среде составляет υ = 250 мм/с. Определить длину волны электромагнитных волн в этой среде, если их частота в вакууме ν0 = 1 МГц. Ответ: 250м.
9.2. Для демонстрации преломления электромагнитных волн Герц применял призму, изготовленную из парафина. Определить показатель преломления парафина, если его диэлектрическая проницаемость ε= 2 и магнитная проницаемость μ = 1. Ответ: 1,41.
9.3. Электромагнитная волна с частотой ν = 5 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью ε= 2 в вакуум. Определить приращение ее длины волны. Ответ: 17,6 м.
9.4. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженный сигнал от которой дошел до него за t = 36 мкс. Учитывая, что диэлектрическая проницаемость воды ε= 81, определить расстояние от локатора до подводной лодки. Ответ: 600 м.
9.5. После того как между внутренним и внешним проводниками кабеля поместили диэлектрик, скорость распространения электромагнитных волн в кабеле уменьшилась на 63 %. Определить диэлектрическую восприимчивость вещества прослойки. Ответ: 6,3.
9.6. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью С = 0,5 нФ и катушку индуктивностью L = 0,4 мГн. Определить длину волны излучения, генерируемого контуром. Ответ: 843 м.
9.7. Определить длину электромагнитной волны в вакууме на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках конденсатора Qm = 50 нКл, а максимальная сила тока в контуре IA = 1,5 А. Активным сопротивлением контура пренебречь.Ответ: 62,8 м.
9.8. Длина λ электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определить максимальный заряд Qm на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока в контуре Im= 1 А. Ответ: 6,37 нКл.
9.9. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, погружены в трансформаторное масло, а вторые индуктивно соединены с генератором электромагнитных колебаний частотой 505 МГц, погружены в трансформаторное масло. При соответствующем подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя пучностями стоячих волн на проводах равно 20 см. Принимая магнитную проницаемость масла равной единице, определить его диэлектрическую проницаемость. Ответ: 2,2.
9.10. Два параллельных провода, одни концы которых изолированы, а вторые индуктивно соединены с генератором электромагнитных колебаний, погружены в спирт. При соответствующем подборе частоты колебаний в системе возникают стоячие волны. Расстояние между двумя узлами стоячих волн на проводах равно 40 см. Принимая диэлектрическую проницаемость спирта ε = 26, а его магнитную проницаемость μ= 1, определить частоту колебаний генератора. Ответ: 73,5 МГц.
9.11. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 10 В/м. Определить амплитуду напряженности магнитного поля волны. Ответ: 0,265 А/м.
9.12. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна 1 мА/м. Определить амплитуду напряженности электрического поля волны. Ответ: 0,377 В/м.
9.13. Плоская монохроматическая электромагнитная волна распространяется вдоль оси х. Амплитуда напряженности электрического поля волны E0 = 5 мВ/м, амплитуда напряженности магнитного поля волны H0 = 1 мА/м. Определить энергию, перенесенную волной за время t = 10 мин через площадку, расположенную перпендикулярно оси x, площадью поверхности S = 15 см2. Период волны T<<t. Ответ: W = E0H0·St/2 = 2,25 мкДж.
9.14. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 50 мВ/м. Определить интенсивность волны I, т. е. среднюю энергию, проходящую через единицу поверхности в единицу времени. Ответ: 33,1 мкВт/м2.
9.15. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля составляет 5 мА/м. Определить интенсивность волны I (см. задачу 9.14). Ответ: 4,71 мВт/м2.
Индивидуальные задания
Тема 1. Электростатика.
| 1.1, 1.19, 1.38, 1.57 | 1.11, 1.29, 1.48, 1.67 | 1.12, 1.29, 1.46, 1.63 | |||
| 1.2, 1.20, 1.39, 1.58 | 1.12, 1.30, 1.49, 1.68 | 1.10, 1.27, 1.44, 1.62 | |||
| 1.3, 1.21, 1.40, 1.59 | 1.13, 1.31, 1.50, 1.69 | 1.8, 1.25, 1.42, 1.61 | |||
| 1.4, 1.22, 1.41, 1.60 | 1.14, 1.32, 1.51, 1.70 | 1.6, 1.23, 1.40, 1.60 | |||
| 1.5, 1.23, 1.42, 1.61 | 1.15, 1.33, 1.52, 1.69 | 1.4, 1.21, 1.38, 1.59 | |||
| 1.6, 1.24, 1.43, 1.62 | 1.16, 1.34, 1.53, 1.68 | 1.2, 1.19, 1.39, 1.57 | |||
| 1.7, 1.25, 1.44, 1.63 | 1.17, 1.35, 1.54, 1.67 | 1.1, 1.20, 1.41, 1.58 | |||
| 1.8, 1.26, 1.45, 1.64, | 1.18, 1.36, 1.55, 1.66 | 1.3, 1.22, 1.43, 1.6 | |||
| 1.9, 1.27, 1.46, 1.65, | 1.16, 1.33, 1.50, 1.65 | 1.5, 1.24, 1.45, 1.62 | |||
| 1.10, 1.28, 1.47, 1.66 | 1.14, 1.31, 1.48, 1.64 | 1.7, 1.26, 1.47, 1.64 |
Тема 2. Постоянный электрический ток.
Тема 3. Электрические токи в металлах, в вакууме и газах.
| , 1 | 2.1, 2.8, 2.15 | 2.4, 2.16, 3.4 | 2.2, 2.10, 2.16 | ||
| 2.2, 2.9, 2.16 | 2.5, 2.17, 3.3 | 2.1, 2.9, 2.17 | |||
| 2.3, 2.10, 2.17 | 2.6, 2.8, 2.14 | 2.8, 2.15, 3.6 | |||
| 2.4, 2.11, 3.1 | 2.7, 2.12, 2.17 | 2.1, 2.14, 3.5 | |||
| 2.5, 2.12, 3.4 | 2.8, 2.16, 3.1 | 2.2, 2.13, 3.4 | |||
| 2.6, 2.13, 3.3 | 2.7, 2.15, 3.2 | 2.3, 2.12, 3.3 | |||
| 2.7, 2.14, 3.4 | 2.6, 2.14, 3.3 | 2.4, 2.11, 3.2 | |||
| 2.1, 2.14, 3.5 | 2.5, 2.13, 3.4 | 2.5, 2.10, 3.1 | |||
| 2.2, 2.13, 3.6 | 2.4, 2.12, 3.5 | 2.6, 2.9, 2.15 | |||
| , 10 | 2.3, 2.15, 3.5 | 2.3, 2.11, 3.6 | 2.7, 2.16, 3.5 |
Тема 4. Магнитное поле.
| , 1 | 4.1, 4.22, 4.41 | 4.11, 4.32, 4.51 | 4.1, 4.29, 4.57 | ||
| 4.2, 4.23, 4.42 | 4.12, 4.33, 4.52 | 4.2, 4.30, 4.56 | |||
| 4.3, 4.24, 4.43 | 4.13, 4.34, 4.53 | 4.3, 4.31, 4.55 | |||
| 4.4, 4.25, 4.44 | 4.14, 4.35, 4.54 | 4.4, 4.32, 4.44 | |||
| 4.5, 4.26, 4.45 | 4.15, 4.36, 4.55 | 4.5, 4.33, 4.53 | |||
| 4.6, 4.27, 4.46 | 4.16, 4.37, 4.56 | 4.6, 4.34, 4.52 | |||
| 4.7, 4.28, 4.47 | 4.17, 4.38, 4.57 | 4.7, 4.35, 4.51 | |||
| 4.8, 4.29, 4.48 | 4.18, 4.39, 4.58 | 4.8, 4.36, 4.50 | |||
| 4.9, 4.30, 4.49 | 4.19, 4.40, 4.59 | 4.9, 4.37, 4.49 | |||
| , 10 | 4.10, 4.31, 4.50 | 4.20, 4.41, 4.58 | 4.10, 4.38, 4.48 |
Тема 5. Электромагнитная индукция.
Тема 6. Магнитные свойства вещества.
Тема 7. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля.
| , 1 | 5.1, 5.18, 5.35 | 5.11, 5.28, 6.8 | 5.4, 5.31, 6.5 | ||
| 5.2, 5.19, 5.36 | 5.12, 5.29, 7.1 | 5.5, 5.30, 6.4 | |||
| 5.3, 5.20, 5.37 | 5.13, 5.30, 7.2 | 5.6, 5.29, 6.3 | |||
| 5.4, 5.21, 6.1 | 5.14, 5.31, 7.3 | 5.7, 5.28, 6.2 | |||
| 5.5, 5.22, 6.2 | 5.15, 5.32, 7.4 | 5.8, 5.27, 6.1 | |||
| 5.6, 5.23, 6.3 | 5.16, 5.33, 7.5 | 5.9, 5.35, 7.1 | |||
| 5.7, 5.24, 6.4 | 5.17, 5.34, 7.6 | 5.10, 5.36, 7.2 | |||
| 5.8, 5.25, 6.5 | 5.1, 5.35, 6.8 | 5.11, 5.37, 7.3 | |||
| 5.9, 5.26, 6.7 | 5.2, 5.33, 6.7 | 5.12, 5.26, 7.4 | |||
| , 10 | 5.10, 5.27, 6.8 | 5.3, 5.32, 6.6 | 5.13, 5.25, 7.5 |
Тема 8. Электромагнитные колебания.
Тема 9. Электромагнитные волны.
| , 1 | 8.1, 8.15, 9.1 | 8.11, 8.25, 9.11 | 8.10, 8.23, 9.6 | ||
| 8.2, 8.16, 9.2 | 8.12, 8.26, 9.12 | 8.9, 8.22, 9.7 | |||
| 8.3, 8.17, 9.3 | 8.13, 8.27, 9.13 | 8.8, 8.21, 9.8 | |||
| 8.4, 8.18, 9.4 | 8.14, 8.28, 9.14 | 8.7, 8.20, 9.9 | |||
| 8.5, 8.19, 9.5 | 8.15, 8.29, 9.15 | 8.6, 8.19, 9.10 | |||
| 8.6, 8.20, 9.6 | 8.15, 8.28, 9.1 | 8.5, 8.18, 9.11 | |||
| 8.7, 8.21, 9.7 | 8.14, 8.27, 9.2 | 8.4, 8.17, 9.12 | |||
| 8.8, 8.22, 9.8 | 8.13, 8.26, 9.3 | 8.3, 8.16, 9.13 | |||
| 8.9, 8.23, 9.9 | 8.12, 8.25, 9.4 | 8.2, 8.15, 9.14 | |||
| , 10 | 8.10, 8.24, 9.10 | 8.11, 8.24, 9.5 | 8.1, 8.14, 9.15 |
Литература
1. Волькенштейн В.С. Сборник задач по курсу физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.
2. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики для втузов. – М.: «Оникс 21 век», «Мир и Образование», 2003.
3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. – М.: Интеграл-пресс, 1977.
ПРИЛОЖЕНИЕ