Система дифференциальных уравнений равновесия жидкости или система уравнений Эйлера

X – (1/ρ)*(∂р/∂х) = 0 *[dx]

Y - (1/ρ)*(∂р/∂y) = 0 *[dy] (2.5)

Z - (1/ρ)*(∂р/∂z) = 0 *[dz]

Умножим первое из уравнений (2.5) на dх, второе на dу третье dz и, сложив все три уравнения, получим

X*dх+У*dy+Z*dz - (1/ρ)*[(∂р/∂х)dx + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] = 0

Трехчлен, заключенный в скобках [(∂р/∂х)dx + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] , это полный дифференциал давления

dP = [(∂р/∂х)dx) + (∂р/∂y)dy+(∂р/∂z)dz] , (2.6)

Дифференциал давления может быть выражен через проекции ускорений на оси

dP=ρ(X*dх+У*dy+Z*dz) (2.6а.)

Уравнение (2.6а.) выражает изменение давления dP при изменении координат на dх, dу и dz в случае равновесия жидкости под действием поля сил тяжести и сил инерции переносного движения.

Если рассмотреть действие на жидкость только силы тяжести, и направить ось z вертикально вверх (рис.2.4), то Х = У = 0, Z = - g для этого случая равновесия жидкости получим

dP = - ρg*dz (2.7)

После интегрирования будем иметь

P = - ρg*z + C (2.8.)

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности для которой при Z = Z₀ , Р=Р₀ (см. рис.2.4). Получим

С= Р₀+ ρg*Z₀

Подставим в (2.8.), получим

P= Р₀+( Z₀ -Z) ρg (2.9)

Или

Z+P/( ρg) = Z₀ + P₀/( ρg)=const

Заменяя в уравнении (2.9) разность ( Z₀ -Z) на h — глубину расположения точки М (см.рис. 2.2.), найдем

Р = P₀ + ρgh

Получили то же основное уравнение гидростатики (2.1) или (2.2), которое было выведено иным путем.

Применение пьезометра для измерения давления.

Пьезометром называется прибор для измерения давления на основе прозрачной трубки, заполненной жидкостью, один конец которой соединен с измеряемой точкой, а второй соединен с атмосферой(рис.2.6.). Пьезо́метр (от греческого слова пьезо — сжимаю и метрео — измеряю).

По закону о сообщающихся сосудах в резервуаре и трубке, когда они открыты, жидкость одинаковой плотности под действием атмосферного давления устанавливается на одном горизонтальном уровне.

Свободной поверхностью называется поверхность раздела жидкости и газа.

Абсолютным давлением называется полное напряжение сжатия от действия всех внешних сил (поверхностных и массовых), приложенных к жидкости.

Избыточным давлением называется разность между абсолютным и атмосферным давлением.

Любая величина и давление измеряется от принятого уровня отсчета. За уровень отсчета абсолютного давления принимается условный абсолютный ноль напряжения от действия всех внешних сил. Жидкость при абсолютном нуле находится в ненапряженном состоянии, в ней отсутствуют напряжения сжатия.

Если над свободной поверхностью (рис.2.6) давление Р₀ равно атмосферному, это означает, что абсолютное давление над свободной поверхностью равно атмосферному

Р₀=Р_абс=Р_ат,

где Р₀ – давление над свободной поверхностью, Р_ат – атмосферное давление. Обозначение Р₀ принято, как обозначение абсолютного давления над свободной поверхностью. Если закрыть сосуд крышкой над свободной поверхностью можно создать абсолютное давление больше или меньше атмосферного.

Атмосферного давление вызывается силой тяжести воздуха. Нормальному атмосферному давлению на уровне моря соответствует h_рт.ст.=0,76 м ртутного столба или давление в Па

Р_ат= ρ_рт*g*h_рт.ст.=13600*9,81*0,76=101325 Па , около 100кПа.

При средней плотности воды ρ_вод=1000 кг/м³ этому давлению соответствует высота водяного столба

h_вод.ст. = Р_ат/(ρ_вод*g)=101325/1000*9,81=10,328 м.

При средней плотности воздуха ρ_в=1,25 кг/м³ высота воздушного столба

h_в.ст. = Р_ат/(ρ_в*g)=101325/1,25*9,81=8262 м.

При принятой средней плотности воздуха 1,25 кг/м³ отсчет абсолютного давления ведем от точки, расположенной приблизительно в 8-ми километрах над землей.

Вообще-то плотность воздуха по высоте атмосферы уменьшается по экспоненте и поэтому мы используем среднюю плотность воздуха, чтобы создать точку отсчета абсолютного давления.

Избыточным называется давление, измеренное от нуля, за который принято атмосферное давление, это ноль отсчета избыточного давления. Избыточное давление есть разность между абсолютным давлением и атмосферным давлением в данной точке, избыточное давление над свободной поверхностью равно нулю.

2.5.1. В открытом сосуде абсолютное давление над свободной поверхностью равно атмосферному Р₀ = Р_ат,

Рис.2.6 Использование пьезометра при Р₀=Ратм=Р_абс. h - высота точки измерения относительно свободной поверхности, пьезометрическая высота относительно пьезометрической поверхности (П.П.), Р₀ –абсолютное давление.