Подставив числовые значения, получим

Подставив числовые значения, получим - student2.ru

Ответ: Подставив числовые значения, получим - student2.ru

Пример 3. Электрон обладает кинетической энергией Подставив числовые значения, получим - student2.ru МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия электрона уменьшится вдвое?

Дано: Подставив числовые значения, получим - student2.ru МэВ = 1,63 Подставив числовые значения, получим - student2.ru Дж; Подставив числовые значения, получим - student2.ru МэВ =
= 8,16 Подставив числовые значения, получим - student2.ru Дж; Подставив числовые значения, получим - student2.ru кг; Подставив числовые значения, получим - student2.ru м/с.

Найти: Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Решение. Длина волны де Бройля для микрочастицы определяется по формуле

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где h – постоянная Планка; p – импульс микрочастицы.

Пусть р1 – импульс электрона в начальном состоянии, р2 – импульс электрона в конечном состоянии. Тогда

Подставив числовые значения, получим - student2.ru , Подставив числовые значения, получим - student2.ru , а Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Найдем энергию покоя электрона

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где m0 – масса покоя электрона; с – скорость света в вакууме.

Так как кинетическая энергия соизмерима с энергией покоя электрона, то при решении задачи необходимо учитывать релятивистские эффекты. В этом случае связь импульса с кинетической энергией частицы определяется формулой

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Импульсы электрона в начальном и конечном состояниях равны соответственно

Подставив числовые значения, получим - student2.ru и Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Вычисления показали, что практически Подставив числовые значения, получим - student2.ru . Учитывая это, найдем отношение длин волн де Бройля

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Анализ размерности полученного выражения показывает, что отношение Подставив числовые значения, получим - student2.ru величина безразмерная, и убеждает в правдоподобности ответа.

Выполним вычисления

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Ответ: Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Пример 4. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальную энергию электрона Подставив числовые значения, получим - student2.ru , находящегося в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l = 5 Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Дано: Подставив числовые значения, получим - student2.ru Подставив числовые значения, получим - student2.ru Подставив числовые значения, получим - student2.ru м; Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; Подставив числовые значения, получим - student2.ru кг.

Найти: Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Решение. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса в случае одномерной задачи Подставив числовые значения, получим - student2.ru позволяет оценить неопределенность импульса электрона

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,(1)

где Подставив числовые значения, получим - student2.ru неопределенность импульса; Подставив числовые значения, получим - student2.ru неопределенность координаты; Подставив числовые значения, получим - student2.ru постоянная Планка h, деленная на 2 Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Подставив числовые значения, получим - student2.ru Так как ширина «потенциальной ямы» равна l, и электрон находится в этой «яме», то неопределенность его координаты равна Подставив числовые значения, получим - student2.ru (рис. 2). Потенциальная энергия электрона Подставив числовые значения, получим - student2.ru внутри «ямы» равна нулю, следовательно, его полная механическая энергия Е равна кинетической Подставив числовые значения, получим - student2.ru . За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими «стенками», Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Связь импульса p с кинетической энергией электрона для нерелятивистского случая имеет вид (учитываем, что по условию задачи Подставив числовые значения, получим - student2.ru )

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где m0 – масса покоя электрона.

Выразим полную энергию Е в виде

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Из этого уравнения видно, что энергия электрона тем меньше, чем меньше его импульс. Неопределенность значения импульса равна Подставив числовые значения, получим - student2.ru . Минимальное значение импульса электрона Подставив числовые значения, получим - student2.ru должно быть не меньше Подставив числовые значения, получим - student2.ru , то есть Подставив числовые значения, получим - student2.ru . Учитывая это, можем записать

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Сделав подстановку Подставив числовые значения, получим - student2.ru из уравнения (1) с учетом того, что Подставив числовые значения, получим - student2.ru , придем к уравнению

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Следовательно, минимальная энергия электрона

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Анализ размерности убеждает, что ответ правдоподобен, так как энергия действительно измеряется в джоулях:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Подставим числовые значения в конечную формулу и выполним вычисления (оцениваем лишь порядок вычисляемой величины)

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Ответ: Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Пример 5. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с непроницаемыми «стенками». Ширина «ямы» l = 37,8 эВ. Определить, на каком энергетическом уровне находится электрон. Чему равна плотность вероятности обнаружения электрона в середине «ямы»?

Дано: Подставив числовые значения, получим - student2.ru; Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Найти: n; w.

Решение: Запишем уравнение Шредингера для стационарных состояний. Для рассматриваемой одномерной задачи это уравнение имеет вид

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где Подставив числовые значения, получим - student2.ru координатная часть волновой функции, зависящая только от x; Е – полная энергия электрона; U – потенциальная энергия электрона; Подставив числовые значения, получим - student2.ru постоянная Планка h, деленная на 2π.

Электрон находится в «яме», где его потенциальная энергия
Подставив числовые значения, получим - student2.ru (рис. 3). За пределами «ямы», ограниченной бесконечно высокими «стенками», Подставив числовые значения, получим - student2.ru . Электрон не может проникнуть за пределы «ямы», поэтому вероятность его обнаружения (а, следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. Из условия непрерывности волновой функции следует, что Подставив числовые значения, получим - student2.ru должна быть равна нулю и на границах «ямы»:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

В пределах «ямы» Подставив числовые значения, получим - student2.ru уравнение Шредингера имеет вид

Подставив числовые значения, получим - student2.ru Подставив числовые значения, получим - student2.ru . (1)

Это уравнение, описывающее дви-жение электрона в одномерной «потенциальной яме», удовлетворяется при ди-скретных значениях энергии электрона

Подставив числовые значения, получим - student2.ru Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где n – квантовые числа, определяющие энергетические уровни электрона.

Выразим из этой формулы n:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Анализ размерности правой части полученного выражения показывает, что n – величина безразмерная, и это соответствует действительности.

После подстановки числовых значений, данных в условии задачи, получим

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Решение дифференциального уравнения (1) для рассматриваемой задачи имеет вид

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Коэффициент А находим из условия нормировки

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

В результате интегрирования получаем Подставив числовые значения, получим - student2.ru , следовательно:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Плотность вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях x от стенок «ямы» для рассматриваемой задачи равна

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Выполним анализ размерности (выражение под знаком sin безразмерное):

Подставив числовые значения, получим - student2.ru Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Полученная единица соответствует искомой величине.

Вычислим значение w при n = 2 для
x = l/2:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Такой результат означает, что в состоянии с n = 2 электрон не может находиться в середине «ямы». Зависимость плотности вероятности обнаружения электрона на различных расстояниях от стенок «ямы» приведена на рис. 4.

Ответ: n = 2; w = 0.

Пример 5. Пси-функция некоторой частицы имеет вид Подставив числовые значения, получим - student2.ru , где r – расстояние частицы от силового центра, Подставив числовые значения, получим - student2.ru 0 Подставив числовые значения, получим - student2.ru м – константа. Найти значение коэффициента А и наиболее вероятное расстояние rвер частицы от центра.

Дано: Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; а = 1,0 Подставив числовые значения, получим - student2.ru м.

Найти: А; rвер.

Решение. Движение микрочастицы в центральном силовом поле (например, движение электрона в поле положительно заряженного ядра) описывается уравнением Шредингера в сферических координатах. По условию задачи функция Подставив числовые значения, получим - student2.ru Подставив числовые значения, получим - student2.ru зависит только от r и не зависит от углов Подставив числовые значения, получим - student2.ru и Подставив числовые значения, получим - student2.ru . В этом случае уравнение Шредингера для стационарных состояний принимает вид

Подставив числовые значения, получим - student2.ru

где r – расстояние микрочастицы от силового центра; m0 – масса покоя микрочастицы; Подставив числовые значения, получим - student2.ru – постоянная Планка h , деленная на 2 Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; Е – полная энергия микрочастицы; U – потенциальная энергия микрочастицы.

Перепишем уравнение Шредингера, выполнив дифференцирование в первом слагаемом:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Решение этого дифференциального уравнения по условию задачи имеет вид

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Коэффициент А найдем из условия нормировки пси-функции, которое для рассматриваемой задачи запишем в виде

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где dV - элемент объема в сферических координатах Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Интеграл в полученном выражении равен Подставив числовые значения, получим - student2.ru (табл. 6 приложения), следовательно:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru и Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Выполним анализ размерности полученного выражения

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Анализ размерности подтверждает правдоподобность ответа. Действительно, квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности обнаружения микрочастицы

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где dW – вероятность нахождения частицы в элементе объема Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Так как размерность Подставив числовые значения, получим - student2.ru , то размерность Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Выполним вычисления

Подставив числовые значения, получим - student2.ru

Вероятность нахождения микрочастицы на расстоянии между r и r+dr от силового центра в любом направлении определяется формулой

Подставив числовые значения, получим - student2.ru

Следовательно, плотность вероятности

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Из формулы видно, что плотность вероятности Подставив числовые значения, получим - student2.ru обращается в нуль при r = 0 и асимптотически стремится к нулю при Подставив числовые значения, получим - student2.ru . Наиболее вероятное расстояние rвер частицы от силового центра найдем из условия, что при r = rвер плотность вероятности должна быть максимальна. Для этого исследуем функцию Подставив числовые значения, получим - student2.ru на экстремум. Найдем первую производную Подставив числовые значения, получим - student2.ru и приравняем ее к нулю

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Это равенство выполняется при r = 0; Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; r = a. Первые два решения соответствуют минимумам функции Подставив числовые значения, получим - student2.ru . Следовательно, наиболее вероятное расстояние микрочастицы от силового центра Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Ответ: Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; rвер = 1,0 Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где dnE – количество свободных электронов в единице объема металла (концентрация электронов), энергии которых заключены в пределах от Е до E + dE; m0 – масса покоя электрона.

2. Энергия Ферми в металле при Т = 0 К

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где n – концентрация электронов проводимости в металле.

3. Температура вырождения (температура Ферми)

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где Подставив числовые значения, получим - student2.ru энергия Ферми при Т = 0 К; k – постоянная Больцмана.

Температурой вырождения ТF называют температуру, ниже которой проявляются квантовые свойства электронного газа. Если T >> Подставив числовые значения, получим - student2.ru , то поведение системы частиц подчиняется классической статистике.

4. Температурная зависимость удельной электрической проводимости собственных полупроводников

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где Подставив числовые значения, получим - student2.ru множитель, мало изменяющийся с изменением температуры; Подставив числовые значения, получим - student2.ru ширина запрещенной зоны.

Пример 7. Определить отношение концентраций свободных электронов при Т = 0 К в литии n1 и цезии n2 , если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны Подставив числовые значения, получим - student2.ru и Подставив числовые значения, получим - student2.ru

Дано: Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Найти: n1/n2.

Решение. Уровень Ферми при абсолютном нуле определяется выражением

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где Подставив числовые значения, получим - student2.ru постоянная Планка h, деленная на 2π ; Подставив числовые значения, получим - student2.ru масса покоя электрона; Подставив числовые значения, получим - student2.ru количество свободных электронов в единице объема металла.

Используя эту формулу, запишем соотношения, определяющие концентрации n1 и n2 свободных электронов в литии и цезии:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ; Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Выполним анализ размерности

Подставив числовые значения, получим - student2.ru

Полученный результат соответствует действительности.

Найдем отношение концентраций свободных электронов

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Подставим в это выражение числовые значения и выполним вычисления

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Ответ: Подставив числовые значения, получим - student2.ru

Пример 8. Найти относительное количество ΔN/N свободных электронов в металле, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на η = 2,0%. Температура металла Т = 0 К.

Дано: Т = 0 К; η = 0,02 (2,0%).

Найти: ∆N/N.

Решение. Распределение свободных электронов в металле по состояниям с различной энергией при Т = 0 К имеет вид

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где dnE – концентрация свободных электронов, энергии которых заключены в пределах от Е до Е + dE; m0 – масса покоя электрона; ħ – постоянная Планка h, деленная на 2π.

Концентрацию свободных электронов в металле найдем путем интегрирования

Подставив числовые значения, получим - student2.ru ,

где Подставив числовые значения, получим - student2.ru энергия Ферми при Т = 0 К; Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Если образец металла имеет объем Подставив числовые значения, получим - student2.ru , то количество свободных электронов в этом образце

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Концентрация свободных электронов, энергии которых отличаются от энергии Ферми не более, чем на 2%, равна

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Количество таких электронов в образце металла объемом Подставив числовые значения, получим - student2.ru

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Найдем относительное количество свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%:

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Произведя вычисления, получим

Подставив числовые значения, получим - student2.ru .

Ответ: Подставив числовые значения, получим - student2.ru (или 3%).

Наши рекомендации