Пространственная решетка кристалла

1. Координаты любого узла решетки записываются в виде

; ; и обозначаются: [[n₁n₂n₃]], где a_i– основные периоды решетки;n_i– целые числа, называемые индексами узла и обозначающие число периодов решетки, соответствующих данному узлу, .

Для описания направления в кристалле выбирают прямую, проходящую через начало координат. Ее направление однозначно определяется индексаминаправления[n₁n₂n₃], где n_i – индексы ближайшего к началу координат узла решетки.

2. Период идентичности вдоль прямой, заданной индексами [n₁n₂n₃], в кубической решетке выражается соотношением

,

где а – параметр решетки.

3. Кристаллографическиеплоскости определяются тремя взаимно простыми целыми числами (hkl), называемыми индексамиМиллера. Они определяют систему бесконечного числа параллельных между собой плоскостей, каждая из которых характеризуется определенным значением числа

q= 0, +1, +2,…

Таким образом, кристаллографическая плоскость однозначно задается совокупностью чисел {(hkl),q}. Для отрицательных индексов над (или под) буквой ставится знак минус, например h. Индексы [[n₁n₂n₃]] любого узла, лежащего в данной плоскости, удовлетворяют соотношению:

n₁h + n₂k + n₃l = q.

При q = 0 плоскость проходит через начало координат.

Если плоскость параллельна какой-либо оси координат, то соответствую-щий индекс Миллера равен нулю. Так, плоскость (110) параллельна оси z, а плоскость (100) параллельна плоскости (yz).

4. Расстояние Dплоскости от начала координат определяется числом q

D = q/b₀,

где

,

где – вектор обратной решетки; (i = 1,2,3) – базисные векторы обратной решетки

, , ;

V_c– объем элементарной ячейки кристалла.

Из выражения следует, что расстояние dмежду соседними плоскостями (Dq= 1) с индексами (hkl) равно:

.

5. Кристаллические плоскости отсекают на осях координат отрезки, равные

x_{q =} а₁q/h, y_q = a₂q/k, z_q = a₃q/l

Очевидно, что если q/h, q/kиq/l – целые числа, то плоскость пересекает соответствующую координатную ось в узловой точке.

6. Молярный объем кристалла

V_m = m/r,

где m –молярная масса;r – плотность кристалла.

7. Объем элементарной ячейки в случае кубической сингонии

V_эл = а³,

где а – параметр решетки.

8. Число элементарных ячеек в одном моле кристалла

Z_m = V_m/V_эл

Если кристалл состоит из одинаковых атомов, то

Z_m = N_A/n,

где N_A – число Авогадро;n – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

9. Число элементарных ячеек в единице объема кристалла

Z=Z_m/V_m.

Если кристалл состоит из одинаковых атомов, то

Z = rN_A/(nm)

10. Параметр решетки, состоящей из одинаковых атомов

a = (nm/rN_A)^1/3

Расстояние между соседними атомами в кубической решетке:

а) в простой d =a;

б) в гранецентрированной ;

в) в объемноцентрированной .

11. Число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку:

а) простая кубическая решетка n= 1;

б) гранецентрированная кубическая решетка n = 4;

в) объемноцентрированная кубическая решетка n = 2.

Примеры решения задач

Задача 1

Определить параметр решетки и плотность кристалла кальция, если расстояние между ближайшими соседними атомами равно 0,393 нм. Решетка кубическая, гранецентрированная.

Дано: NA = моль-1 m = кг/моль d = м n = 4	Решение: Параметр решеткиа и расстояние d между двумя ближайшими соседними атомами связаны соотношением: .
a =? r = ?

Подставляя в это выражение числовые значения, получим:

а = 5,56 10^-10 м.

Плотность кристалла

r = mn/(N_Aa³) = .

Задача 2

Вычислить период идентичностиlвдоль прямой [2 3 1] в решётке NaCl, если плотность кристалла равна 2,17 г/см³. Решётка гранецентрированная кубическая.

Дано: n1 = 2, n2 = 3, n3 = 1 r= кг/м3	Решение: Постоянная решетки кристалла NaClравна a = (nm/(rNA))1/3 (1) Число Авогадро NA =6,02 .
l = ?

Для гранецентрированной решетки число узлов в элементарной ячейке . Пользуясь таблицей Менделеева, находим: A(Na) = 23, A(Cl)=35. Следовательно, M(NaCl)=58, откуда молярная масса NACl:

.

Подставляя числа в формулу (1), получаем

а = 5,62 10^{-10 м.}

Период идентичности кристалла вдоль прямой [231]

l= a(n₁² + n₂² + n₃²)^1/2 = 10^-10 (4 + 9 + 1)^1/2 = 13,3 10^-10м

Задача 3

Написать индексы Миллера для плоскости, проходящей через узлы с индексами: [[010]], [[122]], [[132]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат.

Дано: Индексы узлов: [[010]], [[122]], [[132]].	Решение: Для любого узла с индексами [[n1n2n3]], лежащего в данной плоскости, индексы Миллера (hkl) удовлетворяют соотношению: n1h+ n2k + n3l = q, (1)
(hkl) =?, xq=?, yq=?, zq=?

где h,k,l,q – целые числа. Подставляя в уравнение (1) последовательно индексы всех трех узлов, получаем систему уравнений:

k=q

h + k – 2l = q

h + 3k + 2l =q

Решая эту систему в целых числах, получаем: h= -6, k=4, l =-1; q=4, т.е. данная плоскость задается индексами: {(641);4}. Она отсекает на осях координат отрезки, равные

x₀ = a₁q/h= -2/3 a₁; y₀ = a₂q/k = a₂; z₀ = -4a₃,

где а_i(i = 1,2,3) – основные периоды решетки. Плоскость пересекает оси у и zв узловых точках.