Физика атомного ядра. радиоактивность

1. Обозначение ядра химического элемента:

,

где Х – химический символ элемента;А– массовое число (число нуклонов в ядре)

А =(Z + N);

Z– зарядовое число (число протонов);N– число нейтронов.

2. Закон радиоактивного распада

N = N_oexp(– ),

где N – число ядер, нераспавшихся к моменту времени t; N_o– число ядер в начальный момент времени (t = 0); – постоянная распада.

3. Связь периода полураспада с постоянной распада

.

Число ядер, распавшихся за время t ,

.

4. В случае если интервал времени t, за который определяется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада , то

.

5. Среднее время жизни радиоактивного ядра, т.е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз,

6. Число атомов N, содержащихся в радиоактивном изотопе,

,

где m– масса изотопа; – молярная масса;N_A– постоянная Авогадро.

7. Активность А радиоактивного изотопа

,

где dN– число ядер, распавшихся за интервал времени dt;А_о– активность изотопа в начальный момент времени.

В системе СИ единица активности препарата –беккерель (Бк)

1 Бк = 1 распад/с.

Внесистемная единица активности –кюри (Ки)

1 Ки = 10¹⁰Бк.

1 Кюри– это активность препарата изотопа радия-226 массой 1 г.

8. Дефект массы ядра

m = Zm_p+ Nm_n- m_я,

где m_p– масса протона;m_n– масса нейтрона;m_я– масса ядра.

9. Энергия связи ядра

Е_св= ,

где Dm– дефект массы ядра;с– скорость света в вакууме.

Е_св= МэВ,

где дефект массы выражен в атомных единицах массы (а.е.м.), 931,5 – энергетический эквивалент 1 а.е.м.

10. Удельная энергия связи равна Е_св/ А [МэВ/нуклон].

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить дефект массы, энергию связи и удельную энергию связи ядра .

Решение:

Дефект массы

, где – масса протона; – масса нейтрона;Z– количество протонов;N– количество нейтронов в ядре;m_я – масса ядра атома.

Так как в справочной литературе всегда приводятся массы нейтральных атомовm, но не ядер, формулу для дефекта массы целесообразно преобразовать.

Масса нейтрального атома , где – масса электрона.

Откуда . Следовательно, дефект массы будет равен

.

Учитывая, что , где – масса атома водорода, для дефекта массы окончательно получим выражение:

.

В данной задаче для меди Z = 29, N = A–Z = 63 – 29 = 34

m = (29×1,00783 + 34×1,00867 – 62,92960) а.е.м. = 0,59191 а.е.м.

1 а.е.м. = 1,6605655 кг = 1,66×10^–27 кг

m = 0,59191а.е.м. = 0,98257 кг

Е_связи = = 0,98257 кг = 8,84314 Дж,

т.к. 1 эВ = 1,6 Дж

Е_св.= 5,527 эВ=552 МэВ.

Энергия связи, приходящаяся на 1 нуклон (удельная энергия связи),

.

Примечание

Ответ 552 МэВ можно было получить короче, если учесть, что энергетический эквивалент 1 а.е.м. равен 931,5 МэВ, тогда

Е_св.=0,59191а.е.м. МэВ = 552 МэВ.

1а.е.м. = 1,66 кг.

.

Задача 2

Определить начальную активность радиоактивного препарата магния-27 массой 0,2 мкг, а также его активность через 6 часов.

Дано:	Решение:
m = 0,2 мкг = кг t = 6 ч = с =10 мин = 600 с	Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу
Ао - ? A - ?

А = , (1)

знак "–" показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада

, (2)

где N– число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе в момент времени t;N_o– число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t=0); – постоянная распада.

Продифференцируем выражение (2) по времени

. (3)

Исключив из формул (1) и (3) dN/dt, находим активность препарата в момент времени t

. (4)

Начальную активность А_о препарата получим при t = 0

А_о = N_{o .} (5)

Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада Т_1/2 соотношением

. (6)

ЧислоN_o радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро N_A на количество вещества данного изотопа

N_o= N_A= N_A, (7)

где m – масса изотопа;m– молярная масса.

С учетом вырaжений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид:

, (8)

. (9)

Произведя вычисления и учитывая, что Т_1/2 = 600 с; ln2 = 0,693; t = 6 ч = с = с, получим:

Бк = Бк = Кu,

Кu.

Задача 3

Определить расход урана-235 в ядерном реакторе атомной электростанции за 1 сутки. Электрическая мощность электростанции равна 15 МВт, КПД электростанции составляет 20%. Считать, что при каждом акте деления ядра урана-235 выделяется энергия 200МэВ.

Дано:	Решение:
МВт = Вт МэВ = Дж t=1сутки = с	КПД электростанции определяется из соотношения: , откуда находим тепловую мощность станции: .
m-?

Выразим тепловую энергию электростанции, вырабатываемую за время t:

.

Исходя из этих данных, найдем число распавшихся атомов N за сутки:

N= .

Выразим массу урана, распавшегося за сутки

,

где N– количество атомов, распавшихся за сутки;m – молярная масса урана ( кг/моль);N_A – число Авогадро ( моль^-1).

.
Подставим числовые значения

.

Задание на контрольную работу № 5

501. Абсолютно черное тело имеет температуру 500К. Какова будет температура тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в 5 раз? Исходя из формулы Планка, изобразить графически начальный и конечный спектры излучения.

502. Температура абсолютно черного тела равна 2000К. Определить длину волны, на которую приходится максимум спектра энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости для этой длины волны.

503. Определить температуру и энергетическую светимость абсолютно черного тела, если максимум энергии спектра излучения приходится на длину волны 600 нм.

504. Из смотрового окошечка печи излучается поток 4 кДж/мин. Определить температуру печи, если площадь окошечка равна 8 см².

505. Поток излучения абсолютно черного тела равен 10 кВт, а максимум спектра излучения приходится на длину волны 0,8 мкм. Определить площадь излучающей поверхности.

506. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно черного тела, если максимум видимого спектра излучения переместится с красной границы спектра 780 нм на фиолетовую 390 нм?

507. Вычислить энергию (в кВт ), излучаемую за сутки с площади 0,5 м² нагревателя, температура которого 70 ^оС. Считать, что нагреватель излучает как серое тело с коэффициентом поглощения 0,3.

508. Печь, потребляющая мощность 1 кВт, имеет отверстие площадью 100 см². Определить долю мощности, рассеиваемую стенками печи, если температура ее внутренней поверхности равна 1000К.

509. При остывании абсолютно черного тела максимум его спектра излучения сместился на 500 нм. На сколько градусов остыло тело? Начальная температура тела 2000К.

510. Определить мощность, необходимую для накаливания вольфрамовой нити электролампы длиной 10 см и диаметром нити 1 мм до температуры 3000К. Коэффициент поглощения нити 0,34.

511. Красная граница фотоэффекта для цинка составляет 310 нм. Определить максимальную кинетическую энергию (в электрон-вольтах) фотоэлектронов и задерживающую разность потенциалов, если на цинк падает ультрафиолетовое излучение с длиной волны 200 нм.

512. Фотоэлектроны, вылетающие с поверхности серебряной пластины, полностью задерживаются при приложении задерживающей разности потенциалов, равной 8В. Найти длину волны излучения, падающего на фотокатод.

513. Фотон с энергией 10 эВ выбивает электроны из серебряной пластины. Определить импульс, полученный пластиной, если принять, что направления импульсов фотона и фотоэлектрона перпендикулярны поверхности пластины.

514.На поверхность фотокатода падает ультрафиолетовое излучение с длиной волны 0,3мкм. Задерживающая разность потенциалов, при которой фототок прекращается, равна 1,6 В. Определить красную границу фотоэффекта.

515. Какова должна быть длина волны излучения, падающего на платиновую пластину, если максимальная скорость фотоэлектронов равна 3 Мм/с?

516. Ультрафиолетовое излучение с длиной волны 0,25 мкм, направленное на металлическую пластину, вызывает фототок, который прекращается при минимальной задерживающей разности потенциалов 0,96 В. Определить работу выхода электрона из металла.

517. На поверхность металла падает ультрафиолетовое излучение с длиной волны 0,1 мкм. Красная граница фотоэффекта равна 0,3 мкм. Какая доля энергии фотона расходуется на сообщение электрону кинетической энергии?

518. На поверхность лития падает рентгеновское излучение с длиной волны 1 нм. Определить максимальную скорость фотоэлектронов. Можно ли пренебречь работой выхода электрона?

519. Две пластины, одна из которых медная, а другая из неизвестного материала, освещаются ультрафиолетовым излучением из одного и того же источника. Для фотоэлектронов из медной пластины задерживающая разность потенциалов равна 2,4 В, а для неизвестной пластины она равна 4,2В. Найти работу выхода электронов из неизвестного материала.

520. Красная граница фотоэффекта для вольфрама равна 275 нм. Определить задерживающую разность потенциалов для электронов, вырываемых из вольфрама светом с длиной волны 180 нм.

521. Фотон, соответствующий длине волны 0,020 мкм, выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Вычислить скорость электрона за пределами атома.

522. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в видимой области спектра излучения атома водорода.

523. Определить все возможные спектральные линии , возникающие при переходе атома водорода из возбужденного состояния с главным квантовым числом, равным 3, в основное.

524. Атом водорода в основном состоянии поглотил фотон с длиной волны 0,1215 мкм. Определить главное квантовое число возбужденного состояния атома водорода.

525. В водородоподобном ионе лития электрон перешел из состояния с главным квантовым числом, равным четырем, в состояние, характеризуемое главным квантовым числом, равным двум. Определить энергию кванта и длину волны излучения, испущенного ионом.

526. Какую наименьшую энергию должны иметь электроны, чтобы возбужденный этими электронами спектр водорода имел три спектральные линии?

527. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода из возбужденного состояния с главным квантовым числом, равным трём, в основное состояние.

528. Определить диапазон длин волн монохроматического излучения, чтобы при возбуждении атома водорода этим излучением наблюдались три спектральные линии?

529. Как изменилась энергия электрона в атоме водорода при испускании атомом фотона с частотой ?

530.Какой диапазон длин волн должно иметь монохроматическое излучение, чтобы при возбуждении атомов водорода этим излучением главное квантовое число возросло в 3 раза?

531. Определить неопределенность координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью 10⁶ м/сек, если относительная неопределенность скорости равна 0,1. Сравнить полученную неопределенность с диаметром атома водорода, вычисленным по теории Бора для основного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.

532. Электрон с кинетической энергией 10 эВ находится в металлической пылинке диаметром 1 мкм. Оценить (в процентах) относительную неопределенность скорости электрона.

533. Если допустить, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, то какова будет относительная неопределенность импульса этой частицы?

534. Диаметр пузырька в жидководородной пузырьковой камере составляет величину порядка . Рассчитать неопределенность в измерении скоростей электрона и -частицы в такой камере, если неопределенность координаты принять равной диаметру пузырька.

535. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшую ошибку в определении импульса электрона и протона, если координаты этих частиц определяются с точностью 50 мкм.

536. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет с. При переходе в основное состояние атом испустил фотон с длиной волны мкм. Оценить энергию фотона и неопределенность его длины волны.

537. Атом испустил фотон с длиной волны 700 нм. Найти наибольшую точность, с которой может быть измерена длина волны излучения, если продолжительность излучения равна 40 нс.

538. Оценить относительное уширение спектральной линии , если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (~ с) и длина волны излучаемого фотона, равная м.

539. Время жизни возбужденного ядра составляет величину порядка 0,5 нс, длина волны излучения равна 0,2 нм. С какой наибольшей точностью может быть определена энергия излучения?

540. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет примерно . При переходе атома в основное состояние испускается фотон, длина волны которого составляет 0,5 мкм. Оценить относительную ширину испускаемой спектральной линии.

541. Найти длину волны де Бройля для электрона, если его кинетическая энергия равна энергии покоя.

542. Определить длину волны де Бройля для протона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т = 300К.

543. -частица движется в однородном магнитном поле с индукцией 5 мТл по окружности радиусом 0,8 м. Определить длину волны де Бройля -частицы.

544. Длина волны де Бройля протона равна 2 нм. Какую ускоряющую разность потенциалов прошел протон?

545. Кинетическая энергия нейтрона равна 2 МэВ. Определить длину волны де Бройля нейтрона.

546. Кинетическая энергия протона равна его энергии покоя. Определить длину волны де Бройля для такого протона.

547. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 1,0 нм?

548. Найти длину волны де Бройля нейтрона, кинетическая энергия которого равна удвоенной энергии покоя.

549. Кинетическая энергия протона равна 1876 МэВ. Как и во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия уменьшится в два раза?

550. Определить длину волны де Бройля протона, движущегося в магнитном поле с индукцией 1мТл по окружности радиусом 10 см.

551. Как изменится удельное сопротивление чистого арсенид-галлиевого образца при нагреве его от комнатной температуры до 400 К?

552. Определить ширину запрещенной зоны полупроводниковой пластины, если при нагревании от 0 до 10 градусов Цельсия её удельное сопротивление уменьшилось в 2,28 раз. Из какого материала изготовлена пластина?

553. Перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 0,1 Тл, помещена тонкая пластинка из примесного кремния. Толщина пластинки соответствует 400 мкм. Определить плотность тока, при которой холловская разность потенциалов достигнет значения 0,5 В. Постоянную Холла для кремния принять равной 0,3 м³/Кл.

554. Удельное сопротивление кремния р-типа равно 10^–2 Ом . Определить концентрацию дырок и их подвижность. Принять постоянную Холла равной 10^–4 м³/Кл.

555. Тонкая пластинка из кремния р-типатолщиной 200мкм расположена перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля с индукцией 0,5 Тл. При плотности тока 2 мкА/мм², направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов оказалась равной 2,8 В. Определить концентрацию носителей тока.

556. Концентрация носителей тока в чистом кремнии равна 10¹⁰ см^–3.Определить сопротивление кремниевого стержня длиной 2 см и сечением 1 мм² при комнатной температуре.

557. Вычислить постоянную Холла для кремния р-типа, если его удельное сопротивление равно 0,2 Ом .

558. Кристалл из чистого германия, ширина запрещенной зоны кото­рого равна 0,72 эВ, нагревают от температуры 0 ^оС до температуры 15 ^оС. Во сколько раз возрастает его удельная проводимость?

559. При нагревании кристалла из чистого кремния от температуры 0 ^оС до температуры 10^оС его удельная проводимость возрастает в 2,28 раза. По этим данным определить ширину запрещенной зоны кристалла кремния.

560. Найти удельное сопротивление чистого германиевого образца при температуре 100 ^оС, если при 20 ^оС оно составляет величину 0,5 Ом .

561. Определить, какая доля радиоактивного изотопа распадается в течение 6 суток.

562. Активность некоторого изотопа за 10 суток уменьшилась на 20 %. Определить период полураспада этого изотопа.

563. Определить массу изотопа , имеющего активность, равную 37 ГБк.

564. Найти среднюю продолжительность жизни атома радиоактивного изотопа кобальт .

565. Счетчик a-частиц, установленный вблизи радиоактивного изотопа, при первом измерении регистрировал 1400 частиц в минуту, а через 4 часа только 400 частиц. Определить период полураспада изотопа.

566. Во сколько раз уменьшится активность изотопа через 20 суток?

567. На сколько процентов уменьшится активность изотопа за 7 минут?

568. Определить число ядер, распадающихся в течение времени: 1) t₁ = 1 мин; 2) t₂ = 5 сут, – в радиоактивном изотопе фосфора массой, равной 1 мг.

569. Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 200 атомов. Определить период полураспада изотопа.

570. Найти период полураспада радиоактивного изотопа, если его активность за 10 суток уменьшилась на 24% по сравнению с первоначальной.

571. Считая, что в одном акте деления ядра освобождается энергия 200 МэВ, определить энергию, выделяющуюся при делении одного килограмма изотопа , и массу каменного угля с удельной теплотой сгорания 30 кДж/г, эквивалентную в тепловом отношении одному килограмму .

572.При бомбардировке изотопа дейтронами образуются две
-частицы, при этом выделяется энергия 22,3 МэВ. Зная массы дейтрона и - частицы, найти массу изотопа в атомных единицах массы.

573. Найти дефект массы и энергию связи трития . Какой процент от энергии покоя ядра составляет его энергия связи?

574. Найти удельную энергию связи и . Какое из этих ядер более устойчиво?

575. Найти минимальную энергию - кванта, достаточную для осуществления реакции деления первоначально покоившегося дейтрона - лучами: .

576. Найти электрическую мощность атомной электростанции, расходующей 0,1 кг урана-235 в сутки, если КПД станции равен 30%. Считать энергию, выделяющуюся при одном акте деления ядра урана-235, равной 200 МэВ.

577. Найти тепловую мощность атомного реактора, расходующего 0,1 кг урана-235 в сутки. Считать энергию, выделяющуюся при одном акте деления ядра урана-235, равной 200 МэВ.

578. Найти электрическую мощность атомной электростанции при условии, что убыль массы ТВЭЛ-ов (стержней, содержащих ядерное горючее) составляет 100 г в сутки. КПД станции равен 31%.

579. Найти электрическую мощность атомного реактора, расходующего 0,1 кг урана-235 в сутки. КПД реактора составляет 18%. Считать энергию, выделяющуюся при одном акте деления ядра урана-235, равной 200 МэВ.

580. Определить КПД атомной станции мощностью 20 МВт, если суточный расход ядерного горючего при работе станции составляет 75 г урана-235. Считать, что при каждом акте деления ядра урана-235 выделяется энергия 200 МэВ.