Зависимость функции распределения Максвелла от температуры.
Хотя уравнение Мааксвелла дает распределение скоростей, или, другими словами, долю молекул, имеющих специфическую скорость, часто более интересны другие величины, такие как средние скорости частиц. В следующих подразделах мы определим и получим наиболее вероятную скорость, среднюю скорость и среднеквадратичную скорость.
Характерные скорости
Наиболее вероятная скорость
Наиболее вероятная скорость, — вероятность обладания которой любой молекулой системы максимальна, и которая соответствует максимальному значению f(
).
Чтобы найти её, необходимо вычислить , приравнять её нулю и решить
относительно :
=
[4
] = 0.
В итоге получим: =
=
, где R = 8,31
– универсальная газовая постоянная,
– молярная масса газа, k – постоянная Больцмана, mi – масса молекулы газа, Т – температура газа.
Средняя скорость
Подставляя f( и интегрируя, мы получим:
< =
=
=> <
=
.
Среднеквадратичная скорость
Подставляя f( и интегрируя, мы получим:
< =
=
.
Т.о., скорости, которые характеризуют состояние газа:
1) наиболее вероятная =
=
,
2) средняя < =
= 1,13
,
3)средняя квадратичная =
=1,22
Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла -– опыт Штерна
Вдоль оси внутреннего цилиндра с целью натянута платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается током. При нагревании серебро испаряется, атомы серебра вылетают через щель и попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если оба цилиндра неподвижны, то все атомы независимо от их скорости попадают в одно и то же место В (рис. 113).
Рис.113.
При вращении цилиндров с угловой скоростью ω атома серебра попадут в точки В’, B’’ и так далее. По величине ω, расстоянию l и смещению х = ВВ’ можно вычислить скорость атомов, попавших в точку В’.
x = RII;
=
RII.
Изображение щели получается размытым. Исследуя толщину осаждённого слоя, можно оценить распределение молекул по скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.
1.11. Основное уравнение молекулярно – кинетической теории (уравнение Клаузиуса[28])
Рассмотрим идеальный газ в равновесном состоянии, вне силовых полей внутри куба с ребром l. Давление газа на грани куба обусловлен6о ударами молекул.
Упрощённое доказательство уравнения
Молекулы движутся беспорядочно, поэтому все направления их движения равновероятны: N молекул из их общего числа N будет двигаться между каждыми двумя гранями куба.
Обозначим: mi –масса молекулы, -–скорость молекулы, ∆t – время удара молекулы о стенку, k – количество ударов i - той молекулы о стенку за некоторое время t;
- время между двумя последовательными соударениями молекулы со стенкой.
Считаем молекулы классическими частицами, удары молекул о стенку упругими. По второму закону Ньютона сила удара i – той молекулы о стенку (рис. 114): fi = . (1)
Рис. 114.
За время t молекула ударит о стенку k раз и передаст ей импульс (2mi k).
Средняя сила, действующая на стенку со стороны i - той молекулы:
<Fi > = k , (2)
где k = =
, т.к.
=
.
Получаем: <Fi > =
.
Средняя (за время t) сила давления i – той молекулы на стенку:
<Fi> = . (3)
Т.к. разные молекулы движутся с различными скоростями, то давление со стороны всей совокупности молекул, движущихся между двумя противоположными стенками:
<F> = +
+ … +
. (4)
Т.к. n = N – число молекул, движущихся между двумя противоположными гранями куба, то (4) примет вид:
<F> = = =
,
или <F> =
|:
(5)
Получим: =
(6)
где l2 – площадь грани куба, l3 - объём куба.
Тогда (6) примет вид: P = n0 mi
P =
n0
, (7)
где <Eк> = – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.
Тогда уравнение (7) примет вид:
P = n0 <Eк>. (8)
Уравнение (8) – основное уравнение МКТ (уравнение Клаузиуса):
давление идеального газа прямо пропорционально концентрации молекул и средней кинетической энергии их поступательного движения.
Учтём, что . (9)
Подставив (9) в (7), получим: P= n0
= n0kT,
т.е. в итоге получаем: P= n0 k T. (10)
Уравнение (10) – уравнение состояния идеального газа:
давление идеального газа пропорционально концентрации молекул газа и его абсолютной температуры.
Из уравнений (9) и (8) следует: n0 <Eк> = n0 k T => <Eк> =
k T,
т.е. абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии теплового поступательного движения молекул.
1.12. Уравнение Менделеева[29] - Клапейрона[30]
Уравнение Менделеева – Клапейрона -–уравнение состояния идеального газа, устанавливающее связь между его объемом V, давлением P и абсолютной температурой T.
Рассматриваем идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа:
P = n0 k T | V,
где V – объём газа.
Получаем: PV = n0V kT. Учтём, что N = n0V = Na – число частиц газа, где
-–число молей газа, Na – постоянная Авогадро.
Тогда получаем: PV = NkT = Na kT, где Na k = R = 8,31
– универсальная газовая постоянная.
Окончательно получаем: PV= RT.
Последнее уравнение является уравнением состояния идеального газа и называется уравнением Менделеева – Клапейрона.
Частные случаи уравнения Менделеева – Клапейрона
Рассматриваем идеальный газ постоянной массы (m = const):
Изотермический процесс – процесс, протекающий в системе постоянной массы при постоянной температуре (T=const).
Процесс описывается законом Бойля[31]- Мариотта[32]: произведение объёма данной массы газа на его давление постоянно при постоянной температуре: PV=const.
Изобарный процесс – процесс, протекающий в системе постоянной массы при постоянном давлении (P=const).
Процесс описывается законом Гей – Люссака[33]: отношение объёма данной массы газа его абсолютной температуре при постоянном давлении есть величина постоянная:
Изохорный процесс – процесс, протекающий в системе постоянной массы при постоянном объёме (V = const).
Процесс описывается законом Шарля[34] : отношение давление данной массы газа при постоянном объемё его абсолютной температуре есть величина постоянная:
Закон Дальтона[35]
В состоянии теплового равновесия давление в смеси идеальных газов равно сумме давлений каждой компоненты смеси:
P = P1 + P2 + … +Pn =