Вывод распределения по Максвеллу
Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл.
Рассмотрим пространство скоростных точек [каждую скорость молекулы представляем как точку (скоростную точку) в системе координат (
в стационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема (d
d
d
). Так как газ стационарный, количество скоростных точек в (d
d
d
) остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.
dP( ) =
(
) d
, dP(
) =
(
) d
, dP(
) =
(
) d
.
Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента скорости молекулы не зависит от y и z - компонент.
dP( ) =
(
)
(
)
(
) d
d
– фактическая вероятность нахождения скоростной точки в объёме (d
d
), где f(
) =
(
)
(
)
(
).
ln f( ) = ln
(
) + ln
(
) + ln
(
) |
.
=
,
=
,
=
.
Правая часть не зависит от и
, значит и левая от
и
не зависит. Однако
и
равноправны, следовательно, левая часть не зависит также и от
. Значит, данное выражение может лишь равняться некоторой константе.
=
=
= A
.
d
= 1
A
d
= A
= 1
=
.
Теперь нужно сделать принципиальный шаг — ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):
< > =
kT,
где k=1,38• 10-23 – постоянная Больцмана;
=
Ввиду равноправия всех направлений: <
= <
= <
=
<
=
.
Чтобы найти среднее значение , проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:
=
d
=
d
=
.
Отсюда найдём :
=
.
Функция распределения плотности вероятности для аналогично для
):
=
.
Теперь рассмотрим распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости лежат в шаровом слое радиуса
и толщины d
, и (d
d
d
) – объем этого шарового слоя.
dP ( ) =
(
)
(
)
(
) d
d
.
dP ( ) =
d
d
d
Учтём, что: dP ( ) = dP(
); d
d
d
= 4
d
, получим:
dP( ) = 4
d
,
где F( ) = 4
. Тогда окончательно получим: dP(
) = F(
) d
.
Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности F ( , которая и является распределением Максвелла.
Границы применимости
Условия применимости распределения Максвелла:
1. Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа частиц.
2. Изотропная система.
3. Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного положения частиц).
Относительное число молекул , со скоростями, лежащими в интервале от
до
+d
рассчитывается как площадь заштрихованной полоски на рис. 111. Площадь, которая ограничена кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция f(
) удовлетворяет условию нормировки :
d
= 1.
Вид функции распределения f ) (рис. 82):
Рис. 111.
На рис. 111: -–наиболее вероятная скорость молекул, соответствует максимуму кривой; <
- средняя скорость молекул газа; <
> - cредняя квадратичная скорость молекул газа.
С ростом температуры максимум кривой распределения смещается в сторону бо′льших температур (рис. 112).
Рис. 112.