Вывод распределения по Максвеллу
Получим теперь формулу распределения так, как это делал сам Джеймс Клерк Максвелл.
Рассмотрим пространство скоростных точек [каждую скорость молекулы представляем как точку (скоростную точку) в системе координат ( 
в стационарном состоянии газа. Выберем бесконечно малый элемент объема (d 
d 
d 
). Так как газ стационарный, количество скоростных точек в (d d d ) остается неизменным с течением времени. Пространство скоростей изотропно, поэтому функции плотности вероятности для всех направлений одинаковы.
dP( 
) = 
( ) d , dP( 
) = ( ) d , dP( 
) = ( ) d .
Максвелл предположил, что распределения скоростей по направлениям статистически независимы, то есть компонента скорости молекулы не зависит от y и z - компонент.
dP( 
) = ( ) 
( ) ( ) d d 
– фактическая вероятность нахождения скоростной точки в объёме (d d ), где f( 
) = ( ) ( ) ( ).
ln f( ) = ln ( ) + ln ( ) + ln ( ) | 
.
= 
,
= 
,
= 
.
Правая часть не зависит от и , значит и левая от и 
не зависит. Однако и равноправны, следовательно, левая часть не зависит также и от . Значит, данное выражение может лишь равняться некоторой константе.
= 
= 
= A 
.
d 
= 1 
A 
d = A 
= 1 = 
.
Теперь нужно сделать принципиальный шаг — ввести температуру. Кинетическое определение температуры (как меры средней кинетической энергии движения молекул):
< 
> = 
kT,
где k=1,38• 10-23 
– постоянная Больцмана; 
= 
Ввиду равноправия всех направлений: < 
= < 
= < 
= 
< 
= 
.
Чтобы найти среднее значение 
, проинтегрируем её вместе с функцией плотности вероятности от минус до плюс бесконечности:
= 
d = 
d = 
.
Отсюда найдём 
: = 
.
Функция распределения плотности вероятности для 
аналогично для 
): 
= 
.
Теперь рассмотрим распределение по величине скорости. Вернемся в пространство скоростных точек. Все точки с модулем скорости 
лежат в шаровом слое радиуса и толщины d , и (d 
d 
d ) – объем этого шарового слоя.
dP ( ) = ( ) ( ) ( ) d d .
dP ( ) = 
d d d 
Учтём, что: dP ( ) = dP( ); d d d = 4 
d , получим:
dP( ) = 4 
d ,
где F( ) = 4 . Тогда окончательно получим: dP( ) = F( ) d .
Таким образом, мы получили функцию плотности вероятности F ( 
, которая и является распределением Максвелла.
Границы применимости
Условия применимости распределения Максвелла:
1. Равновесное состояние системы, состоящей из большого числа частиц.
2. Изотропная система.
3. Классическая система. Это значит, что система должна быть не релятивистской и не квантовой (взаимодействие частиц допускается, но только зависящее от относительного положения частиц).
Относительное число молекул 
, со скоростями, лежащими в интервале от 
до 
+d 
рассчитывается как площадь заштрихованной полоски на рис. 111. Площадь, которая ограничена кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Это значит, что функция f( 
) удовлетворяет условию нормировки : 
d = 1.
Вид функции распределения f 
) (рис. 82):
Рис. 111.
На рис. 111: 
-–наиболее вероятная скорость молекул, соответствует максимуму кривой; < 
- средняя скорость молекул газа; < 
> - cредняя квадратичная скорость молекул газа.
С ростом температуры максимум кривой распределения смещается в сторону бо′льших температур (рис. 112).
Рис. 112.