Определение модуля юнга по изгибу балки

Цель работы: изучение упругой деформации твердого тела и овладение методом определения модуля Юнга по прогибу балки.

Приборы и принадлежности: установка для измерения стрелы прогиба металлического стержня, набор стержней, набор грузов, сигнальная лампочка, источник питания.

Теоретические сведения

На основании опытных данных было определено, что для большего количества материалов при достаточно малых растяжениях их удлинение пропорционально силе:

,

где F – сила, приложенная к телу; – удлинение тела; k – коэффициент упругости, зависящий (при неизменных внешних условиях) от свойств материала и геометрических характеристик деформируемого тела. На рис. 1, а показана зависимость удлинения тела от силы, приложенной к этому телу.

Можно найти связь коэффициента упругости k с геометрическими параметрами и упругими свойствами материала следующим путем.

1. Удлинение тела, обусловленное приложенной силой, пропорционально его первоначальной длине: ~ . Эту зависимость можно проверить, если взять два одинаковых бруска, скрепить их торцами и приложить растягивающие силы к их свободным концам. Тогда на каждый из брусков будет действовать одна и та же сила, которая вызовет удлинение , а общее удлинение будет равно 2 . Исходя из этого, можно заключить, что

F ~ .

а	б
Рис. 1

2. Удлинение зависит также от площади нормального сечения бруска. Действительно, если взять два одинаковых бруска и скрепить их параллельно, то удлинение будет в два раза меньше при одной и той же растягивающей силе. Это может быть выражено как

F ~ ,

где S – площадь нормального сечения бруска.

Из зависимости между действующей на брусок силой, его удлинением и площадью нормального сечения, можно получить выражение, которое называется законом Гука:

, (1)

где k = ; Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга) бруска, который был впервые введен Томасом Юнгом. Модуль Юнга Е является упругой постоянной материала, характеризующей жесткость материала при растяжении (сжатии).

Относительная линейная деформация бруска равна

. (2)

В нормальном сечении бруска при растяжении (сжатии) возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади сечения

. (3)

Из равенства (1) получаем

. (4)

Используя выражения (2) и (3), из (4) находим, что

. (5)

Выражение (5) является законом Гука в современной формулировке. Из него следует, что продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормальному напряжению

.

Томас Юнг указал, что закон Гука справедлив только в пределах упругих деформаций материала. На рис. 1, б представлена зависимость относительной линейной деформации бруска от нормального напряжения. Тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс характеризует модуль упругости материала

.

Значение модуля продольной упругости материала можно найти также из выражения (5)

В данной работе модуль Юнга определяется по величине прогиба балки. Для этого необходимо найти зависимость стрелы прогиба балки от модуля Юнга, геометрических параметров балки и нагрузки.

Рассмотрим изгиб балки прямоугольного сечения под действием силы, приложенной к центру балки (рис. 2). Внутренние силы, обусловленные взаимодействием частиц (атомов и молекул), сохраняют форму и целостность тела. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, т.е. деформировать это тело. При этом возникают дополнительные внутренние силы, препятствующие этой деформации.

Рис. 2

Обозначим стороны прямоугольника, лежащие в сечении, через а и b, длину балки - (рис. 2).

Пусть до деформации элемент балки имел форму прямоугольного параллелепипеда. Мысленно проведем два близких нормальных сечения, т.е. вырежем малый элемент АА¢ВВ¢, длину которого обозначим . В результате изгиба элемента АА¢ВВ¢ все прямые, параллельные АА¢ и ВВ¢, перейдут в дуги окружностей с центрами, лежащими на оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка (рис. 3).

При малых деформациях слои, лежащие выше линии NN¢, сжимаются, а слои, лежащие ниже линии NN¢, удлиняются. При этом длина нейтральной линии NN¢ остается неизменной. Пусть R – радиус кривизны нейтральной линии. Тогда , где a - угол, выраженный в радианах.

Рассмотрим слой балки, находящийся ниже линии NN¢ и имеющий толщину d (d<<R). Длина рассматриваемого слоя , а изменение длины .

Рис. 3

Используя выражение (4), можно записать

,

где DF – внутренняя сила, действующая на площадь DS нормального сечения рассматриваемого слоя.

Напряжение, обусловленное внутренней силы, равно:

Предположим, что при изгибе все нормальные сечения остаются плоскими (гипотеза Бернулли). Сумма напряжений, созданных внутренними силами и действующих на плоскость нормального сечения, равна нулю:

,

где интеграл берется по площади нормального сечения S. Это является результатом того, что слои, лежащие выше нейтральной линии, сжимаются, а слои, лежащие ниже этой линии, удлиняются. Таким образом, напряжения выше и ниже нейтральной линии имеют разные знаки.

Рассечем балку плоскостью AB, перпендикулярной нейтральной линии NN'. Установим систему координат X₁Y₁Z₁так, чтобы ее начало совпадало с центром тяжести C нормального сечения (рис. 4). Ось X₁проходит через нейтральную линию NN¢, а ось Y₁направлена вниз. Рассмотрим внутренние силовые факторы, действующие на эту отсеченную часть балки со стороны отброшенной ее части.

Рис. 4

Изгибающий момент M_x1 , созданный внутренними силами относительно оси X₁, равен

, (6)

где - момент инерции сечения относительно оси X₁:

. (7)

Выберем систему координат XYZ такую, чтобы ось ОZ была направлена вдоль нейтральной линии NN¢, а ось OY – перпендикулярно оси ОZ (рис. 5). Поместим начало координат в точку O, расположенную над левой опорой. Тогда уравнение для нейтральной линии изогнутой балки представится в виде у = у(z). Причем верхняя и нижняя линии балки смещены, соответственно, вверх и вниз на b/2 от нейтральной линии.

Воспользуемся формулой для радиуса кривизны нейтральной линии

,

где и .

Рис. 5

При малом изгибе << 1, пренебрегая у¢ и используя (6), получим

.

Определим стрелу прогиба балки l, равную максимальному значению функции у = у(z) при z = /2.

Если к середине балки приложить силу P (весом балки пренебрегаем - рис. 5), то вследствие симметрии сила P распределяется между опорами поровну и силы реакций опор будут равны N₁ = N₂ = P/2.

Верхняя линия балки описывается кривой, найденной для нейтральной линии у = у(z). Проведем мысленно сечение AB, параллельное оси OY и проходящее через произвольную точку С нейтральной линии с координатой z (z< /2) . На левую часть балки приложена сила реакции опоры N₁=P/2 и результирующая внутренних сил Q_y, действующая со стороны правой части балки. Поскольку левая часть балки неподвижна, то сумма всех сил, действующих на нее, равна нулю:

N₁ + Q_y = P/2 + Q_y = 0.

Сила реакции опоры N₁ создает изгибающий момент относительно оси CX₁, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку С:

.

В состоянии равновесия сумма всех моментов, созданных как внешними, так и внутренними силами, равна нулю:

.

Отсюда

. (8)

Ось OY направлена вниз, т.е. в сторону выпуклости балки (у'' > 0). Интегрируя (8) и учитывая, что y¢ = 0 при и y = 0 при z = 0, находим

.

Полагая и принимая во внимание (7), определим стрелу прогиба l

.

Отсюда выражаем модуль Юнга

, (9)

где P=mg – вес груза.

По формуле (9) рассчитывается модуль Юнга.

Описание установки

Рис. 6

На рис. 6 показана установка для измерения стрелы прогиба металлического стержня. На основании 1, имеющем три винтовые ножки 2, закреплены две колонны 3 и штанга 4. С помощью винтовых ножек 2 устанавливается горизонтальное положение основания 1. На опорных призмах 5, расположенных на колоннах 3, лежит металлический стержень 6, на которых опирается палец 7, проходящий через кронштейн 8, фиксируемый винтом 9 на штанге 4.

На пальце 7 подвешена чашка 10 посредством двух штанг 11 и коромысла 12. Микрометр 13 жестко соединен с кронштейном 14, фиксируемым винтом 15 на штанге 4. При соприкосновении микрометрического винта 16 с верхней плоскостью пальца 7 замыкается электрическая цепь и загорается сигнальная лампочка.

Микрометр (рис. 7) состоит из полого цилиндра 17, жестко соединенного с кронштейном 14. В полость цилиндра 17ввинчен микрометрический винт 16. На микрометрическом винте 16 закреплен барабан 18 с круговой шкалой, имеющей 50 делений. При вращении микроскопического винта 16 барабан 18 скользит по линейной шкале, нанесенной на полый цилиндр 17.

Рис. 7

Верхние и нижние риски этой шкалы сдвинуты относительно друг друга на 0,5 мм. Однако цифры проставлены только для нижних делений. Поэтому шкала представляет собой обычную миллиметровую шкалу. Шаг микрометрического винта равен 0,5 мм, т.е. при одном обороте барабана его край перемещается вдоль линейной шкалы на 0,5 мм. Тогда точность микрометра

,

где p – цена деления на стержне; m – число делений на барабане.

Отсчет производится следующим образом: по шкале стержня отсчитывают целое число полумиллиметров, а деление барабана, совпадающее с горизонтальной линией на стержне, дает число сотых долей миллиметра, которое надо прибавить к показаниям шкалы на стержне.

На рис. 7 отсчет по микрометру показывает

L = (3 + 0,103) = 3,103 мм.

С учетом ошибки для однократного измерения

L = (3,103 + 0,005) мм

Порядок выполнения работы

1. Измерить расстояние между вершинами опорных призм (рис. 6) и записать в табл.

2. С помощью штангенциркуля измерить геометрические параметры исследуемых стержней (сталь и алюминий): ширину а и толщину b стержней и занести в табл.

Таблица

Материал стержня	m, кг)	, м	a, м	b, м	n	L0, м	L, м	l, м	lср,м	Eср., Н/м2
Сталь
Алюминий

3. Установить один из исследуемых стержней симметрично на опорные призмы.

4. Определить положение верхней поверхности ненагруженного стержня. Для этого поворотом барабана микрометра и перемещением микроскопического винта добиться загорания сигнальной лампочки. Сделать отсчет L_o по микрометру и записать в табл.

5. Установить на чашку груз (массой 1900 г для стального стержня и массой 940 г для алюминиевого стержня).

6. Определить положение верхней поверхности нагруженного стержня. Для этого поворотом барабана микрометра и перемещением микроскопического винта добиться загорания сигнальной лампочки. Сделать отсчет L по микрометру и записать в табл.

7. Вычислить стрелу прогиба по формуле

l = ½L - L_o ½ мм.

Выразить стрелу прогиба в метрах и результат записать в табл.

8. Измерения по п.п. 4, 5, 6 и 7 провести 5 раз. Результаты занести в табл.

9. Вычислить среднюю стрелу прогиба l_ср..

10. Вычислить среднюю величину модуля Юнга по формуле (9).

11. Рассчитать абсолютную ошибку измерения модуля Юнга по формулам:

12. Записать окончательный результат в виде E = ( ± ΔE), при α=0,95.

Контрольные вопросы

1. Какие виды деформации вы знаете?

2. К каким более простым видам деформации можно свести прогиб балки? Как деформирован средний слой балки?

3. Сформулируйте закон Гука.

4. Что называют механическим напряжением и относительной деформацией?

5. Каков смысл модуля Юнга и коэффициента Пуассона?

6. Каковы формула размерности и единица измерения модуля Юнга?

7. В чем различие коэффициента жесткости и модуля Юнга? Как они связаны друг с другом?

8. Вывести формулу упругой энергии.

9. Что называют пределами пропорциональности, упругости, текучести и прочности?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5