Глава 5. Магнитное поле электрического тока

Контрольные вопросы

1. Что понимается под магнитным полем? Когда и кем было открыто магнитное поле проводника с током?

2. Как графически изображаются магнитные поля? Что такое силовая линия? Изобразите графически простейшие магнитные поля.

3. Какими силовыми величинами характеризуется магнитное поле? Почему их две? Как они связаны между собой?

4. Запишите закон Био – Саварра – Лапласа в дифференциальной форме и рассмотрите его частные случаи. В каких единицах измеряется напряженность магнитного поля в СИ?

5. Как определить величину и направление силы Ампера?

6. Как установить единицу измерения индукции магнитного поля в СИ? Найдите силу взаимодействия двух параллельных токов.

7. Чему равна индукция магнитного поля движущегося заряда?

8. Сформулируйте и поясните закон полного тока.

9. Что такое магнитный поток? В каких единицах он измеряется в СИ? Чему равна работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле?

10. Что понимается под силой Лоренца? Как определить ее величину и направление?

11. Рассмотрите некоторые частные случаи движения заряженных частиц в однородном магнитном поле.

12. В чем состоит эффект Холла и где он используется?

Основные формулы

Закон Био – Савара – Лапласа

; .

Напряженность магнитного поля:

а) в центре кругового тока

,

где R- радиус кругового контура.

б) от бесконечно длинного прямолинейного проводника

,

где r₀ - расстояние от проводника с током до точки, где ищется напряженность.

в) для проводника конечной длины

,

где j₁ и j₂ - углы, образованные радиусом вектором, проведенным из начала и конца проводника в точку, где ищется напряженность, и направлением тока в проводнике.

Связь между индукцией и напряженностью магнитного поля

,

где m- относительная магнитная проницаемость среды, m₀ - магнитная постоянная, равная 4p×10^-7 Гн/м.

Сила, действующая на элемент проводника dlс током Iв магнитном поле

; .

Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами I₁ и I₂

,

где r- расстояние между проводниками (токи одного направления притягиваются, противоположных направлений - отталкиваются).

Сила Лоренца

; .

Формула Лоренца

– сила действующая на движущийся заряд в электрическом и магнитном полях.

Механический момент, действующий на контур с током в магнитном поле

,

где - магнитный момент контура с током ( , где S - площадь контура).

Магнитный поток через площадку dS

,

где a- угол между вектором и нормалью к площадке dS, B_n- проекция вектора на нормаль.

Магнитный поток через произвольную поверхность S

.

Работа в магнитном поле:

а) по перемещению проводника с током

,

где dF - магнитный поток через поверхность, прочерченную проводником.

При конечном перемещении

.

б) по перемещению контура с током

,

где DF_m = F₂ - F₁ - изменение магнитного потока через контур.

Методические указания

1. Расчет напряженности ( индукции) магнитного поля при заданном распределении токов производится на основе закона Био – Савара – Лапласа и принципа суперпозиции магнитных полей, т.е. . Если магнитное поле создано несколькими проводниками с током, то , где - напряженность поля в данной точке i- того проводника.

2. Если проводники с током и точка, в которой находят вектор , лежат в одной плоскости, то все векторы направлены вдоль прямой и геометрическая сумма при расчете величины Hперейдет в алгебраическую. В общем же случае для расчета H используют теорему косинусов. Если все элементы и точка, где ищут , лежат в одной плоскости, то все направлены вдоль одной прямой и . Если этого нет, то вектор придется раскладывать по осям, брать интеграл и находить H_x и H_y, а затем .

3. Для нахождения силы, действующей на проводник с током в магнитном поле, сначала надо найти силу , действующую на произвольный элемент длины проводника, а затем взять интеграл по всей длине lпроводника, учитывая направление складываемых векторов.

4. При решении задач на силу Лоренца следует помнить, что вектор - вектору скорости заряженной частицы, а значит сила Лоренца не может изменять скорость частицы по величине, она может изменять только направление скорости. Если поле однородное ( ) и , то траекторией частицы будет окружность. Если заряд в однородное магнитное поле влетает под углом к линиям индукции, то он будет двигаться в таком поле по винтовой линии. Магнитное поле действует только на движущийся заряд. Если , то F_л = 0.

ЗАДАЧИ

80. По двум бесконечно длинным параллельным проводникам, находящихся на расстоянии AB =10 см, текут токи противоположного направления силой 20 А и 30 А. Найти напряженности магнитного поля в точках C, D, E, если CA = 2 см, AD = 4 см и BE = 3 см.

[120 А/м; 159 А/м; 135 А/м;]

81. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях. Найти напряженности магнитного поля в точках E и D, если I₁ = 2 A и I₂ = 3 A, а расстояния AE = AD = 1 см и CD = BЕ = 2см.

[8 А/м; 55,8 А/м]

82. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам текут токи силой 5 А в противоположных направлениях. Найти модуль и направление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника.

[8 А/м]

83. Ток силой 20 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от вершины угла на расстоянии 10 см.

[77,3 А/м]

84. Ток силой 20 А, протекая по кольцу из медной проволоки сечением 1,0 мм², создает в центре кольца напряженность магнитного поля 178 А/м. Какая разность потенциалов приложена к концам проволоки, образующей кольцо.

[0,12 В]

85. Найти напряженность магнитного поля на оси кругового контура на расстоянии 3 см от его плоскости. Радиус контура 4 см, ток в контуре 2 А..

[12,7 А/м]

86. Два круговых витка радиусом 4 см каждый расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 5 см друг от друга. По виткам текут токи силой 4 А. найти напряженность магнитного поля в центре одного из витков. Задачу решить, когда: а) токи в витках текут в одном направлении; б) токи в витках текут в противоположных направлениях.

[62,2 А/м; 38,2 А/м]

87. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, так что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка 2 см, токи в витках 5А. Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков.

[177 А/м]

88. Из проволоки длиной 1 м сделана квадратная рамка. По рамке течет ток силой 10 А. найти напряженность магнитного поля в центре рамки.

[35,8 А/м]

89. В центре кругового проволочного витка создается магнитное поле H при разности потенциалов U₁ на концах витка. Какую разность потенциалов U₂, надо приложить к витку вдвое большего радиуса, сделанного из той же проволоки, чтобы получить такую же напряженность.

[U₂=4U₁]

90. Бесконечно длинный провод образует круговой виток, касательный к проводу. По проводу идет ток силой 5 А. Найти радиус витка, если напряженность магнитного поля в центре витка 41 А/м.

[8 см]

91. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром 0,8 мм. Витки плотно прилегают друг к другу. Считая катушку достаточно длиной, найти напряженность магнитного поля внутри катушки при силе тока в 1 А.

[1,25 кА/м]

92. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид, внутри которого должна быть напряженность магнитного поля 24 кА/м. По проволоке можно пропускать предельный ток силой 6 А. Из какого числа слоев будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с ее длиной.

[4]

93. Требуется получить напряженность магнитного поля 1 кА/м в соленоиде длиной 20 см и диаметром 5 см. Найти число ампер-витков, необходимое для этого соленоида, и разность потенциалов, которую надо приложить к концам обмотки из медной проволоки диаметром 0,5 мм. Считать поле соленоида однородным.

[200 А×в; 2,7 В]

94. В однородном магнитном поле напряженностью 79,6 кА/м помещена квадратная рамка, плоскость которой составляет с направлением магнитного поля угол 45^о. Сторона рамки 4 см. Найти магнитный поток, пронизывающий рамку.

[113 мкВб]

95. В магнитном поле, индукция которого 0,05 Тл, вращается стержень длиной 1 м. Ось вращения, проходящая через один из концов стержня, параллельна направлению магнитного поля. Найти магнитный поток, пересекаемый стержнем при каждом обороте.

[157 мВб]

96. Рамка, площадь которой 16 см², вращается в однородном магнитном поле с частотой 2 с^-1. Ось вращения находится в плоскости рамки и перпендикулярна к направлению магнитного поля. Напряженность магнитного поля 79.6 кА/м. Найти зависимость магнитного потока, пронизывающего рамку, от времени и наибольшее значение магнитного потока.

[ Вб; 160 мВб]

97. Между полюсами электромагнита создается однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. По проводу длиной 70 см, помещенному перпендикулярно направлению магнитного поля, течет ток силой 70 А. Найти силу, действующую на провод.

[4,9 Н]

98. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии 10 см друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи силой 20 А и 30 А. Какую работу необходимо совершить (на ед. длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники на расстояние 20 см?

[83 мкДж/м]

99. Из проволоки длиной 20 см сделаны квадратный и круговой контуры. Найти вращающие моменты сил, действующие на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл. Плоскость каждого контура составляет угол 45^о с направлением поля.

[3,53×10^-4 Н×м; 4,5×10^-4 Н×м]

100. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле напряженностью 150 кА/м так, что плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля. По контуру течет ток силой 2 А. Радиус контура 2 см. Какую работу надо совершить, чтобы повернуть контур на угол 90^о вокруг оси, совпадающей с диаметром контура?

[0,5 мДж]

101. В однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл движется равномерно проводник длиной 10 см. По проводнику течет ток силой 2 А. Скорость движения проводника 20 см/с и направлена перпендикулярно к направлению магнитного поля. Найти работу перемещения проводника за 10 с и мощность, затрачиваемую на это перемещение.

[0,2 Дж; 20 мВт]

102. Однородный медный диск радиусом 5 см помещен в магнитное поле с индукцией 0,2 Тл так, что плоскость диска перпендикулярна к направлению магнитного поля. Ток силой 5 А проходит по радиусу диска ab (a и b - скользящие контакты). Диск вращается с частотой 3 с^-1. Найти: а) мощность такого двигателя; б) направление вращения диска при условии, что магнитное поле направлено от чертежа к нам; в) вращающий момент, действующий на диск.

[23,6 мВт; 12,5×10^-4 Н×м]

103. Однородный медный диск массой 0,35 кг помещен в магнитное поле с индукцией 24 мТл так, что плоскость диска перпендикулярна к направлению магнитного поля. При замыкании цепи aba (см. пред. задачу) диск начинает вращаться и через 30 с после начала вращения достигает частоты вращения 5 с^-1. Найти силу тока в цепи.

[15,3 А]

104. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 кВ, влетает в однородное магнитное поле, направление которого перпендикулярно к направлению его движения. Индукция магнитного поля 1,19 мТл. Найти радиус окружности, по которой движется электрон, период обращения и момент импульса электрона.

[9 см; 30 нс; 1,5×10^-24 кг×м²/с]

105. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 300 В, движется параллельно прямолинейному длинному проводу на расстоянии 4 мм от него. Какая сила действует на электрон, если по проводнику течет ток силой 5 А.

[4×10^-16 Н]

106. Электрон влетает в однородное магнитное поле, направление которого перпендикулярно к направлению его движения. Скорость электрона 4×10⁷ м/с. Индукция магнитного поля 1 мТл. Найти тангенциальное и нормальное ускорения электрона в магнитном поле.

[0; 7×10¹⁵ м/с²]

107. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью 10⁶ м/с. Индукция магнитного поля 0,3 Тл. Радиус окружности 4 см. Найти заряд частицы, если известно, что ее энергия 12 кэВ.

[3,2×10^-19 Кл]

108. a-частица, кинетическая энергия которой 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное к направлению ее движения. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найти силу, действующую на a-частицу, радиус окружности по которой движется a-частица, и период обращения a-частицы.

[5×10^-15 Н; 3,2 см; 1,3 мкс]