Глава 2. Проводники и диэлектрики в электрическом поле

Контрольные вопросы

1. По какому признаку все вещества делятся на проводники, полупроводники и диэлектрики?

2. Что представляет собой поверхность заряженного проводника? Одинакова ли будет поверхностная плотность зарядов на эквипотенциальной поверхности?

3. Какие способы электризации проводников Вы знаете?

4. Что такое электроемкость? В каких единицах в СИ она измеряется?

5. Что представляет собой конденсатор? Вспомните формулы емкости плоского и сферического конденсаторов.

6. Какие способы соединения конденсаторов Вы знаете? Как при этом вычислить емкость батареи конденсаторов?

7. Чему равна потенциальная энергия системы зарядов, заряженного проводника и конденсатора?

8. Чему равна объемная плотность энергии электростатического поля?

9. Что такое диэлектрик? Какие типы диэлектриков Вы знаете?

10. Что означает поляризация диэлектрика? В чем она состоит для полярных и неполярных диэлектриков?

11. Как найти напряженность поля в диэлектрике с макроскопической точки зрения и с точки зрения поляризации?

Основные формулы

Емкость плоского конденсатора

,

где S- площадь каждой пластины конденсатора.

Емкость сферического конденсатора

,

где r₁ и r₂ - радиусы внутренней и внешней сфер.

Если r₁ << r₂ , то - емкость уединенной сферы

.

Емкость системы конденсаторов:

а) при параллельном соединении

б) при последовательном соединении

Энергия уединенного заряженного проводника

.

Энергия заряженного конденсатора

.

Сила притяжения между пластинами плоского конденсатора

.

Объемная плотность энергии электрического поля

.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов

,

где j_i -потенциал точки поля, где находится заряд q_i, создаваемый всеми зарядами, кроме i-го.

Методические указания

1. Если однородный и изотропный диэлектрик вносится в поле, то электрическое смещение D остается без изменения (оно одно и тоже внутри и вне диэлектрика).

2. Напряженность E поля в диэлек­трике в e раз меньше напряженности поля вне диэлектрика.

3. Формулы для расчета емкости батарей конденсаторов применяют и для определения емкости многослойных конденсаторов. Если слои диэлектрика расположены параллельно пластинам конден­сатора, то это равносильно последовательному соединению одно­слойных конденсаторов; если же границы слоев перпендикулярны пластинам, то это соответствует параллельному соединению од­нослойных конденсаторов.

ЗАДАЧИ

18. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора 90 В. Площадь каждой пластины 60 см², ее заряд 1 нКл. На каком расстоянии друг от друга находятся пластины?

[4,8 мм]

19. Плоский конденсатор можно применить в качестве чувствительных микровесов. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами которого 3,84 мм, находится заряженная частица с зарядом 0,48×10^-18 Кл. Для того чтобы частица находилась в равновесии, между пластинами конденсатора нужно было приложить разность потенциалов 40В. Найти массу частицы.

[5,1×10^-16 кг]

20. Между двумя вертикальными пластинами на одинаковом расстоянии от них падает пылинка. Вследствие сопротивления воздуха пылинка падает с постоянной скоростью 2 м/с. Через какое время после подачи на пластины разности потенциалов 3 кВ пылинка достигнет одной из пластин? Какое расстояние по вертикали пылинка пролетит до попадания на пластину? Расстояние между пластинами 2 см, масса пылинки 2×10^-9 г, ее заряд 6,5×10^-17Кл.

[1 с; 2 см]

21. Электрон летит от одной пластины плоского конденсатора до другой. Разность потенциалов между пластинами 3 кВ; расстояние между пластинами 5 мм. Найти силу, действующую на электрон, ускорение электрона, скорость, с которой электрон приходит ко второй пластине, и поверхностную плотность заряда на пластинах.

[9,6×10^-14 Н; 1,05×10¹⁷ м/с²; 3,24×10⁷ м/с; 5,3 мКл/м²]

22. Электрон с некоторой начальной скоростью влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам на равном расстоянии от них. Разность потенциалов между пластинами конденсатора 300 В; расстояние между пластинами 2 см; длина конденсатора 10 см. Какова должна быть предельная начальная скорость электрона, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? Решить эту же задачу для a-частицы.

[3,64×10⁷ м/с; 6×10⁵ м/с]

23. Электрон влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор параллельно пластинам со скоростью 9×10⁶ м/с. Разность потенциалов между пластинами 100 В; расстояние между пластинами 1 см. Найти полное, нормальное и тангенциальное ускорения электрона через 10 нс после начала его движения в конденсаторе.

[17,6×10¹⁴ м/с²; 8×10¹⁴ м/с² ; 15,7×10¹⁴ м/с²;]

24. Электрон, со скоростью 10⁷ м/с, влетает в плоский горизонтально расположенный конденсатор, параллельно его пластинам. Напряженность поля в конденсаторе 10 кВ/м. Длина пластин конденсатора 5 см. Найти модуль и направление скорости электрона при вылете из конденсатора.

[1,33×10⁷ м/с; 41⁰20’]

25. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 1м² , расстояние между пластинами 1,5 мм. Найти электроемкость этого конденсатора.

[5,9 нФ]

26. Конденсатор предыдущей задачи заряжен до разности потенциалов 300 В. Найти поверхностную плотность заряда на его пластинах.

[1,77 мкКл/м²]

27. Между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, приложена разность потенциалов 150 В. К одной из пластин прилегает плоскопараллельная пластинка фарфора толщиной 3 мм. Найти напряженности электрического поля в воздухе и фарфоре.

[60 кВ/м; 10 кВ/м]

28. Площадь пластин плоского конденсатора 0,01 м², расстояние между ними 1 см. К пластинам приложена разность потенциалов 300 В. В пространстве между пластинами находятся плоскопараллельная пластинка стекла толщиной 0,5 см и плоскопараллельная пластинка парафина толщиной 0,5 см. Найти напряженности электрического поля и падение потенциала в каждом слое. Каковы будут при этом электроемкость конденсатора и поверхностная плотность заряда на пластинах?

[15 кВ/м; 45 кВ/м; 75 В; 225 В; 26,6 пФ; 0,8 мкКл/м²]

29. Найти емкость земного шара. Считать радиус земного шара 6400 км. На сколько изменится потенциал земного шара, если ему сообщить заряд 1 Кл?

[710 мкФ; 1400 В]

30. Восемь заряженных водяных капель радиусом 1 мм и зарядом 0,1 нКл. каждая сливаются в одну общую водяную каплю. Найти потенциал большой капли.

[3,6 кВ]

31. Шарик, заряженный до потенциала 792 В, имеет поверхностную плотность заряда 333 нКл/м². Найти радиус шарика.

[2,1 см]

32. Каким будет потенциал шара радиусом 3 см, если: а) сообщить ему заряд 1 нКл, б) окружить его концентрическим шаром радиусом 4 см, соединенным с землей?

[а) 300 В; б) 75 В]

33. Найти емкость сферического конденсатора, состоящего из двух концентрических сфер с радиусом r = 10 см и R = 10,5 см. Пространство между сферами заполнено маслом. Какой радиус должен иметь шар, помещенный в масло, чтобы иметь такую же емкость?

[1,17 нФ; 2,1 м]

34. Радиус внутреннего шара вакуумного сферического конденсатора r = 1 см, радиус внешнего шара R = 4 см. Между шарами приложена разность потенциалов 3 кВ. Какую скорость получит электрон, приблизившись к центру шаров с расстояния х₁ = 3 см до расстояния х₂ = 2 см?

[1,54×10⁷ м/с;]

35. Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора 280 В. Площадь пластин конденсатора 0,01 м²; поверхностная плотность заряда на пластинах 495 нКл/м². Найти: а) напряженность поля внутри конденсатора; б) расстояние между пластинами; в) скорость, которую получит электрон, пройдя в конденсаторе путь от одной пластины до другой; г) энергию конденсатора; д) емкость конденсатора; е) силу притяжения пластин конденсатора.

[а) 56 кВ/м; б) 5 мм; в) 10⁷ м/с; г) 695нДж; д) 1,77 пФ; е) 139мкН ]

36. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора 0,01 м², расстояние между ними 2 см. К пластинам конденсатора приложена разность потенциалов 3 кВ. Какова будет напряженность поля конденсатора, если, не отключая его от источника напряжения, пластины раздвинуть до расстояния 5 см? Найти энергии конденсатора до и после раздвижения пластин.

[60 кВ/м; 20 мкДж; 8 мкДж]

37. Решить предыдущую задачу при условии, что сначала конденсатор отключается от источника напряжения, а затем раздвигаются пластины конденсатора.

[150 кВ/м; 20 мкДж; 50 мкДж]

Глава 3. Постоянный ток

Контрольные вопросы

1. Что такое электрический ток? Что такое сила тока? Какой ток называется постоянным?

2. Что такое плотность тока? Как по плотности тока в общем случае вычислить ток через данное сечение?

3. Запишите закон Ома для однородного участка цепи. Что такое сопротивление и удельное сопротивление? Как они зависят для металлов от температуры?

4. Выведите формулы для расчета сопротивления батарей при последовательном и параллельном соединении сопротивлений.

5. Что такое ЭДС? Чему равна ЭДС разомкнутой и замкнутой цепи?

6. Запишите закон Ома для неоднородного участка цепи.

7. Запишите закон Ома в дифференциальной форме.

8. Сформулируйте правила Кирхгофа и поясните их на конкретном примере.

9. Запишите закон Джоуля – Ленца в интегральной и дифференциальной формах.

10. Сформулируйте основные положения классической теории электропроводности металлов. Охарактеризуйте ее успехи и трудности.

Основные формулы

Сила тока .

Если ток постоянный .

Плотность тока .

В случае постоянного тока и его равномерного распределения по сечению S проводника

.

Плотность тока в проводнике

,

где n - концентрация носителей, e - элементарный заряд, - средняя скорость упорядоченного движения зарядов.

Закон Ома для однородного участка электрической цепи

.

Сопротивление проводника

,

где r - удельное сопротивление, l- длина, S - площадь поперечного сечения проводника.

Зависимость сопротивления металлов от температуры

,

где r₀ - удельное сопротивление при 0^oC , r_t - удельное сопротивление при t ^oC, t - температура в ^oC , a- температурный коэффициент сопротивления.

Закон Ома для замкнутой цепи постоянного тока

,

где E - ЭДС источника тока, R- внешнее сопротивление цепи, r - внутреннее сопротивление источника.

Сопротивление цепи при последовательном соединении сопротивлений

;

при параллельном соединении сопротивлений

.

Эквивалентная ЭДС (E_э) и эквивалентное внутреннее сопротивление (r_э) батареи источников тока:

a) при последовательном соединении

; ; ;

b) при параллельном соединении

; ; ;

Работа тока за время t

.

Мощность тока

.

Закон Джоуля -Ленца

.

Правила Кирхгофа

; .

Методические указания

1. Ток во всех последовательно соединенных элементах электрической цепи один и тот же; общее напряжение равно сумме напряжений на всех участках. При параллельном соединении элементов электрической цепи напряжение на всех участках будет одно и тоже; общий ток будет равен сумме токов всех участков.

2. Следует помнить, что напряжение между двумя любыми точками электрической цепи складывается, в общем случае, из разности потенциалов между ними и ЭДС, находящейся на этом участке цепи, т.е. . Знак «+» у ЭДС ставиться в том случае, если она повышает потенциал в указанном или выбранном направлении тока; в противном случае - ставится знак «-». Или по другому: при мысленном движении вдоль тока у ЭДС ставится знак того полюса источника, который оказывается последним.

3. Если заданное сложное соединение проводников нельзя разложить на последовательные и параллельные участки необходимо заменить его другим соединением, эквивалентным данному в отношении сопротивления. такие замены основаны на том, что точки, имеющие равные потенциалы можно соединять и разъединять.

4. Сопротивление любой сложной цепи можно рассчитать по правилам Кирхгофа.

5. Работа электрических сил (электрического тока) на участке цепи с разностью потенциалов Dj равна DjIt. Количество выделяющегося тепла на участке цепи сопротивлениемR :Q = I²Rt. Если на участке нет ЭДС, то Dj = U = IR, т.е. обе формулы совпадают. Это значит, что вся работа электрических сил идет на выделение тепла. Если на участке есть ЭДС, то работа электрических сил находится также, а количество выделившегося тепла по формулеQ=IUt, где U = (j₁ - j₂) ± E. .

6. Работа, совершаемая источником тока, в замкнутой цепи

.

ЗАДАЧИ

38. Ток в проводнике меняется со временем по уравнению
I = 4+2t, где I — в амперах и t — в секундах. Какое количество электричества проходит через поперечное сечение проводника за время от t₁ = 2 c до t₂ = 6 c? При каком постоянном токе через поперечное сечение проводника за то же время проходит такое же количество электричества?

[48 Кл; 12А]

39. Вольфрамовая нить электрической лампочки при 20^oС имеет сопротивление 35,8 Ом. Какова будет температура нити лампочки, если при включении в сеть напряжением 120 В по нити идет ток 0,33 А? Температурный коэффициент сопротивления вольфрама a = 4,6×10^-3 К^-1 .

[2200^oС]

40. Обмотка катушки из медной проволоки при 14^oС имеет сопротивление 10 Ом. После пропускания тока сопротивление обмотки стало равным 12,2 Ом. До какой температуры нагрелась обмотка? Температурный коэффициент сопротивления меди a = 4,15×10^-3К^-1.

[70 ⁰С]

41. Найдите падения потенциала в сопротивлениях 4 Ом, 2 Ом, и 4 Ом, соединенных как показано на рисунке, если амперметр показывает ток 3 А. Найти токи в сопротивлениях.

[12 В; 4 В; 4 В; 2А; 1 А]

42. Элемент, имеющий ЭДС 1,1 В и внутреннее сопротивление 1 Ом, замкнут на внешнее сопротивление 9 Ом. Найти ток в цепи, падение потенциала во внешней цепи и падение потенциала внутри элемента. С каким к.п.д. работает элемент?

[0,11 А; 0,99 В; 0,11 В; 0,9]

43. Элемент с ЭДС 2 В имеет внутреннее сопротивление 0,5 Ом. Найти падение потенциала внутри элемента при токе в цепи 0,25 А. Каково внешнее сопротивление при этих условиях?

[0,125 В; 7,5 Ом]

44. Элемент с ЭДС 1,6 В имеет внутреннее сопротивление 0,5 Ом. Найти к.п.д. элемента при токе в цепи 2,4 А.

[25 %]

45. ЭДС элемента 6 В. При внешнем сопротивлении 1,1 Ом ток в цепи 3 А. Найти падение потенциала внутри элемента и его сопротивление.

[ 2,7 В; 0,9 Ом]

46. Имеются два одинаковых элемента с ЭДС 2 В и внутренним сопротивлением 0,3 Ом. Как надо соединить эти элементы (последовательно или параллельно), чтобы получить наибольший ток, если внешнее сопротивление: а) 0,2 Ом; б) 16 Ом.? Найти ток в каждом из этих случаев.

[а) 5 А; 5,7 А: б) 0,24 А; 0,124 А]

47. Два параллельно соединенных элемента с одинаковыми ЭДС 2 В и внутренними сопротивлениями 1 Ом и 1,5 Ом замкнуты на внешнее сопротивление 1,4 Ом. Найти ток в каждом из элементов и во всей цепи.

[0,6 А; 0,4 А; 1 А]

48. Два последовательно соединенных элемента с одинаковыми ЭДС 2 В и внутренними сопротивлениями 1 Ом и 1,5 Ом замкнуты на внешнее сопротивление 0,5 Ом. Найти разность потенциалов на зажимах каждого элемента.

[0,66 В; 0 В]

49. Батарея с ЭДС 20 В, амперметр и реостаты с сопротивлениями R₁ и R₂ соединены последовательно. При выведенном реостате R₁ амперметр показывает ток 8 A, при введенном реостате R₁ - ток 5 A. Найти сопротивления R₁ и R₂ реостатов и падение потенциала на них, когда реостат R₁ полностью включен.

[1,5 Ом; 2,5 Ом; 7,5 В; 12,5 В]

50. Напряжение на зажимах элемента в замкнутой цепи 2,1 В, сопротивления 5 Ом, 6 Ом и 3 Ом. Какой ток показывает амперметр?

[0,2 А]

51. Сопротивления R₂=20 Ом и R₃=15 Ом. Через сопротивление R₂ течет ток 0,3А. Амперметр показывает ток 0,8 А. Найти сопротивление R₁.

[60 Ом]

52. ЭДС батареи 100 В, сопротивления R₁ = R₃ = 40 Ом, R₂ = 80 Ом и R₄ = 34 Ом. Найти ток, текущий через сопротивление R₂, и падение потенциала на нем.

[0,4 А; 32 В]

53. ЭДС батареи 120 В, сопротивления R₃ = 20 Ом и R₄ = 25 Ом. Падение потенциала на сопротивлении R₁ равно 40В. Амперметр показывает ток 2 А. Найти сопротивление R₂.

[60 Ом]

54. Батарея с ЭДС 10 В и внутренним сопротивлением 1 Ом имеет к.п.д. 0,8. Падения потенциала на сопротивлениях R₁ и R₄ равны 4 В и 2 В. Какой ток показывает амперметр? Найти падение потенциала на сопротивление R₂.

[2 А; 2 В]

55. ЭДС батареи 100 В, сопротивление R₁ = 100 Ом, R₂= 200 Ом и R₃= 300 Ом, сопротивление вольтметра 2 кОм. Какую разность потенциалов показывает вольтметр?

[80 В]

56. Сопротивление R₁ = R ₂ = R ₃ = 200 Ом, сопротивление вольтметра 1 кОм. Вольтметр показывает разность потенциалов 100 В. Найти ЭДС батареи.

[170 В]

57. Имеется 120-вольтовая электрическая лампочка мощностью 40 Вт. Какое добавочное сопротивление надо включить последовательно с лампочкой, чтобы она давала нормальный накал при напряжении в сети 220 В? Какую длину нихромовой проволоки диаметром 0,3 мм надо взять, чтобы получить такое сопротивление?

[300 Ом; 21,2 м]

58. От батареи с ЭДС 500 В требуется передать энергию на расстояние 2,5 км. Потребляемая мощность 10 кВт. Найти минимальные потери мощности в сети, если диаметр медных подводящих проводов 1,5 см.

[212 Вт]

59. Медная и стальная проволоки, имеющие одинаковую длину и диаметр, включены в цепь последовательно. Найти: а) отношение количеств теплоты, выделяющихся в этих проволоках; б) отношение падений напряжения на этих поволоках.

[0,17; 0,17]

60. Решить предыдущую задачу для случая, когда проволоки включены параллельно.

[5,9; 1]

61. Батарея с ЭДС 240 В и внутренним сопротивлением 1 Ом замкнута на внешнее сопротивление 23 Ом. Найти полную мощность, полезную мощность и к.п.д. батареи.

[2,4 кВт; 2,3 кВт; 96 %]

62. ЭДС батареи 120 В, сопротивления R₃ = 30 Ом, R₂ = 60 Ом. Амперметр показывает ток 2 А. Найти мощность, выделяющуюся в сопротивлении R₁.

[60 Вт]

63. ЭДС элементов 2,1 В и 1,9 В, сопротивления R₁ = 45 Ом, R₂=10 Ом и R₃=10 Ом. Найти токи во всех участках цепи.

[0,04 А; 0,01 А; 0,03 А]

64. Батареи имеют ЭДС 110 В и 220 В, сопротивления R₁ = R₂ = 100 Ом, R₃ = 500 Ом. Найти показание амперметра.

[0,4 А]