Магнитное взаимодействие токов

Предисловие

Учебное пособие разработано для того, чтобы помочь студентам при подготовке к защите лабораторных работ, при выполнении домашних заданий после практических занятий и, наконец, для успешной сдачи зачета или экзамена по разделу «Электромагнетизм» в курсе общей физики. Теоретический материал изложен в сжатой, доступной форме, что позволяет быстро и качественно выполнить необходимую работу.

Учитывая, что «Электромагнетизм» не является первым разделом физики, необходимо знать предыдущий материал, который можно найти в учебных пособиях: «Основы механики», «Колебания и волны», «Молекулярная физика и термодинамика», «Электричество и постоянный ток», которые имеются в наличии в лабораториях кафедры, в читальном зале библиотеки ДГТУ и на сайте: http: ntb. donstu.ru.

Пособие содержит пять больших разделов. Приведены формулы и обозначения физических величин. Основные понятия выделены курсивом, на них следует обратить внимание, так как вводится новый термин или рассматривается новое явление, не описанное ранее.

Изучение магнитных явлений чрезвычайно важно как с теоретической, так и с практической стороны. Современная электротехника весьма широко использует магнитные свойства вещества для получения электрической энергии, для ее превращения в различные другие виды энергии. В аппаратах проволочной и беспроволочной связи, в телевидении, автоматике и телемеханике используются материалы с определенными магнитными свойствами. Магнитные явления играют существенную роль также и в живой природе. Необычайная общность магнитных явлений, их огромная практическая значимость, естественно, приводят к тому, что учение о магнетизме является одним из важнейших разделов современной физики.

Магнитное поле в вакууме

Магнитное взаимодействие токов

В XIX в. экспериментальным путем были исследованы законы взаимодействия постоянных магнитов и проводников, по которым пропускался электрический ток. В 1820 г. практически одновременно с открытием действия тока на магнитные стрелки открыто и подробно изучено Ампером взаимодействие токов. В опытах Ампера было установлено, что сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из параллельных проводников, прямо пропорциональна силе тока в них и и обратно пропорциональна расстоянию между ними:

, (1.1)

где ; – магнитная постоянная.

Магнитное поле. Основные свойства.

Вектор магнитной индукции

Пространство вблизи магнита или проводника с током находится в особом состоянии, которое будем называть магнитным полем.

Были установлены два экспериментальных факта:

- движущиеся заряды создают магнитное поле;

- магнитное поле действует на движущиеся заряды и не действует на неподвижные заряды.

Этим магнитное поле существенно отличается от электростатического, которое действует как на неподвижные, так и на движущиеся заряды.

Как показывает опыт, магнитное поле имеет направленный характер и характеризуется векторной величиной . По аналогии с напряженностью электрического поля логично было бы назвать напряженностью магнитного поля. Однако по историческим причинам основную характеристику магнитного поля называют магнитной индукцией. Напряженностью магнитного поля называют вспомогательную величину , аналогичную вспомогательной характеристике электрического поля – вектору электрического смещения .

Подобно тому, как при исследовании электростатического поля использовали точечный пробный заряд, для исследования магнитного поля будем использовать пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень малых размеров. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали к контуру, связанной с направлением силы тока правилом правого винта (рис. 1.1, а). Такую нормаль назовем положительной.

Опыт показывает, что если поместить пробный контур в магнитное поле, то поле установит контур положительной нормалью в определенном направлении (рис. 1.1, б). Примем это направление за направление индукции магнитного поля в данной точке. Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля не совпадали, возникает вращающий момент силы , стремящийся вернуть контур в равновесное положение. Модуль момента зависит от угла между нормалью и направлением поля, достигая наибольшего значения при (при момент равен нулю). Вращающий момент зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств контура и определяется формулой:

,

где – вектор магнитного момента контура с током.

Для плоского контура с током :

, (1.2)

где – площадь поверхности контура.

Таким образом, направление совпадает с направлением положительной нормали . Единицей магнитного момента является ампер-квадратный метр .

На пробные контуры, различающиеся значением , действуют в данной точке разные по модулю вращающие моменты. Однако отношение оказывается при фиксированном одним и тем же. Поэтому в качестве модуля магнитной индукции можно принять соотношение:

.

Итак, магнитная индукция в данной точке магнитного поля есть векторная величина, модуль которой определяется максимальным вращающим моментом, действующим на контур с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Направление магнитной индукции совпадает с положением положительной нормали к контуру с током.

Единица измерения величины – тесла (Тл) и равна магнитной индукции однородного поля, в котором на плоский контур с током, имеющий магнитный момент , действует максимальный вращающий момент, равный .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция поля, порождаемого несколькими движущимися зарядами (токами), равна сумме магнитных индукций полей, порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности:

.

Закон Био–Савара–Лапласа

Французские физики Ж. Био и Ф. Савар провели в 1820 г. исследование магнитных полей, создаваемых токами, текущими по тонким проводам различной формы. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и установил зависимость, которая получила название закона Био–Савара–Лапласа.

Согласно этому закону, индукция магнитного поля любого тока может быть вычислена как векторная сумма (суперпозиция) индукций магнитных полей, создаваемых отдельными элементарными участками тока. Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длиной , Лаплас получил формулу:

, (1.3)

где – вектор, по модулю равный длине элемента проводника и совпадающий по направлению с током (рис. 1.3); – радиус-вектор, проведенный от элемента в ту точку, в которой определяется ; – модуль радиуса-вектора .

Модуль выражения (1.3) определяется формулой:

, (1.4)

где – угол между векторами и .

Магнитное поле прямого тока

Применим формулу (1.4) для вычисления магнитной индукции поля прямого тока, т.е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому отрезку провода (рис. 1.4). В произвольной точке , удаленной от оси проводника на расстояние , векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление («на читателя»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Из рис. 1.4 видно, что

, .

Подставив эти выражения в формулу (1.4), получим:

Угол для всех элементов отрезка прямого тока изменяется в пределах от до , поэтому

.

Для случая прямого провода бесконечной длины , и, согласно последнему выражению, магнитная индукция определяется формулой:

.

Закон Ампера

Действие магнитного поля на рамку с током – это пример воздействия магнитного поля на проводник с током. Ампер установил, что сила , с которой магнитное поле действует на элемент проводника с током, находящегося в магнитном поле, равна:

, (1.5)

где – вектор по модулю равный и совпадающий по направлению с током; – вектор магнитной индукции.

Силу (1.5) называют силой Ампера, ее модуль вычисляется по формуле:

, (1.6)

где – угол между векторами и .

Направление силы Ампера перпендикулярно направлению тока (направлению ) и направлению индукции и подчиняется правилу буравчика. Можно также пользоваться правилом левой руки (рис. 1.6): если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы Ампера.

Сила Лоренца

Сила, действующая на электрический заряд, движущийся в магнитном поле со скоростью , называется силой Лоренца:

или , (1.10)

где – угол между векторами и .

Из выражения (1.10) вытекает, что заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля, не испытывает действия силы Лоренца.

Направление силы Лоренца так же, как и силы Ампера, определяется по правилу левой руки. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы. Поэтому она изменяет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает.

Постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, сила, действующая на заряженную частицу

(1.11)

Это выражение называется формулой Лоренца. Оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей.

Магнитный поток

Рассмотрим плоскую площадку , находящуюся в однородном магнитном поле с индукцией . Магнитным потоком или потоком вектора магнитной индукции сквозь площадку называют величину

,

где – угол между направлением нормали к площадке и направлением индукции ; – проекция вектора на нормаль .

Магнитный поток – скалярная знакопеременная величина. Если угол острый, то поток положительный, если угол тупой, то поток отрицательный, при поток равен нулю.

Поскольку – число линий магнитной индукции, проходящих через единицу поверхности рассматриваемой площадки, то магнитный поток равен полному числу линий магнитной индукции, проходящих через данную поверхность.

Если магнитное поле неоднородно, а рассматриваемая поверхность не плоская, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы . Каждый элемент поверхности можно рассматривать как плоскую площадку, а любое поле на протяжении этого элемента – как однородное. Поэтому магнитный поток через элемент поверхности

,

а полный поток через всю поверхность

.

В единицах СИ поток измеряется в веберах (Вб).

1.11. Работа, совершаемая при перемещении проводника
с током в магнитном поле

I

Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длиной (рис. 1.9). Пусть этот контур находится во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. На проводник с током в магнитном поле действует сила, определяемая законом Ампера (см. подп. 1.5).

Сила , действующая на перемычку

При перемещении из положения 1 в положение 2 на расстояние перемычка под действием силы совершит работу , где – заштрихованная площадь, – поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь.

В итоге получим:

,

т.е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора .

Магнитное поле прямого тока

Пусть постоянный ток течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найти индукцию поля снаружи и внутри провода.

Линии вектора имеют вид окружностей с центром на оси провода. Причем модуль вектора должен быть одинаков во всех точках на расстоянии от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора для круглого контура (рис. 1.11, а) , следовательно, вне провода

, ( ). (1.13)

Решение этой задачи с помощью закона Био–Савара–Лапласа оказывается гораздо более сложным.

Из соображений симметрии следует, что линии вектора внутри провода являются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора для круглого контура (рис. 1.11, а) , где – ток, охватываемый данным контуром. Отсюда находим, что внутри провода

, .

Зависимость показана на рис. 1.11, б.

Если провод имеет вид трубки, то снаружи индукция определяется формулой (1.13), а внутри – магнитное поле отсутствует. Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора .

Магнитное поле соленоида

l

Пусть ток течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем также полагать, что сечение проводника настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности.

Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида – неоднородным и очень слабым.

Чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции выберем замкнутый прямоугольный контур (рис. 1.12). Циркуляция вектора по данному контуру равна , и контур охватывает ток , где – число витков на единицу длины соленоида. Согласно теореме о циркуляции (1.12) , откуда следует, что внутри длинного соленоида

,

т.е. поле внутри длинного соленоида однородно.

Магнитное поле тороида

Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис. 1.13).

Как показывает опыт, магнитное поле сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае представляют собой окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиусом . Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток , где – число витков тороида, – ток в проводе. По теореме о циркуляции (1.12) , следовательно, магнитная индукция внутри тороида .

Учитывая, что , где – число витков на единицу длины тороида, – внешний радиус тора, получаем:

.

Магнитное поле в веществе

Магнитомеханические явления

До сих пор мы рассматривали магнитное поле в вакууме. Если проводники с током находятся не в вакууме, а в другой среде, то магнитное поле изменяется.

Различные вещества в магнитном поле намагничиваются, т.е. сами становятся источником магнитного поля. Результирующее магнитное поле в среде является векторной суммой полей, создаваемых проводниками с током и намагниченной средой, и поэтому не равно полю в вакууме. Вещества, способные намагничиваться, называются магнетиками.

Причина намагничивания заключается в том, что во всех веществах существуют мельчайшие электрические токи – молекулярные токи. В пределах каждого атома эти токи ориентированы хаотично. Если вблизи какого-то тела поместить проводник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнитное поле. Вектор магнитной индукции характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т.е. при одном и том же токе и при прочих равных условиях вектор в различных средах будет иметь разные значения.

Чтобы разобраться в магнитных свойствах сред и их влиянии на магнитную индукцию, необходимо рассмотреть действие магнитного поля на атомы и молекулы вещества.

Пусть электрон движется со скоростью в атоме по круговой орбите радиусом . Электрон, движущийся по одной из таких орбит, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом [см. формулу (1.2)], модуль которого:

, (2.1)

где – сила тока; – частота вращения электрона по орбите; – площадь орбиты.

Учитывая, что , получаем:

.

Направление вектора образует с направлением тока правовинтовую, а с направлением движения электрона левовинтовую систему (см. рис. 2.1).

Движущийся по орбите электрон обладает моментом импульса

, (2.2)

где – масса электрона.

Вектор называют орбитальным механическим моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему. Следовательно, направления векторов и противоположны. Учитывая формулы (2.1) и (2.2), получаем:

,

где – гиромагнитное отношение орбитальных моментов.

Вследствие вращения вокруг ядра электрон оказывается подобным волчку. Это обстоятельство лежит в основе так называемых магнитомеханических явлений, заключающихся в том, что намагничивание магнетика приводит к его вращению, и наоборот, вращение магнетика вызывает его намагничивание.

Экспериментально было доказано, что кроме орбитальных моментов (2.1) и (2.2) электрон обладает собственным механическим моментом импульса , называемым спином. Считается, что спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе.

Спином обладают не только электроны, но и другие элементарные частицы. Спин элементарных частиц оказывается целым или полуцелым кратным величины , где – постоянная Планка.

Спину электрона соответствует собственный (спиновый) магнитный момент , пропорциональный и направленный в противоположную сторону:

,

где – гиромагнитное отношение спиновых моментов.

Проекция собственного магнитного момента на направление вектора может принимать только одно из двух значений:

,

где – магнетон Бора, являющийся единицей магнитного момента электрона.

Общий момент атома равен векторной сумме магнитных моментов (орбитальных и спиновых), входящих в атом электронов:

.

Намагниченность магнетика

В дальнейшем будем различать макроскопические токи, т.е. электрические токи, протекающие по проводникам в электрических цепях, и микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.

Намагничивание постоянных магнитов является следствием существования в них микротоков.

Для количественного описания магнитных свойств вещества ввели векторную величину – намагниченность, равную векторной сумме магнитных моментов атомов, которые находятся в единице объема вещества:

где – число атомов, находящихся в объеме .

Вектор индукции магнитного поля характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей:

,

где – индукция магнитного поля, создаваемого макроскопическими токами, без учета свойств вещества (например, в вакууме); – индукция магнитного поля, создаваемого микроскопическими токами.

Магнитное поле макроскопических токов описывается вектором напряженности магнитного поля . Вектор связан с вектором следующим соотношением:

.

Для описания магнитного поля микротоков рассмотрим вещество (магнетик) в виде цилиндра площадью сечения и длиною находящегося в однородном магнитном поле, вектор индукции которого (рис. 2.2, а). Вектор индукции направлен вдоль оси цилиндра от нас.

Если рассматривать любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси (рис. 2.2, б), то во внутренних участках сечения магнетика микротоки атомов направлены навстречу друг другу и взаимно компенсируются. Нескомпенсированными остаются лишь микротоки, выходящие на боковую поверхность цилиндра.

Ток, текущий по боковой поверхности цилиндра, создает магнитное поле, индукцию которого можно определить по формуле для соленоида, полагая, что он состоит из одного витка:

, (2.3)

где – микротоки, протекающие по боковой поверхности цилиндра; – длина соленоида.

Магнитный момент, создаваемый всеми микротоками соленоида

,

где – объем соленоида.

Выражая магнитный момент через намагниченность, получаем или после подстановки значения в формулу (2.3) получим:

или в векторной форме

Учитывая значения и , индукцию поля, создаваемого макро- и микротоками, можно записать в таком виде:

. (2.4)

Экспериментально установлено, что намагниченность пропорциональна напряженности поля, которое ее вызывает, т.е.

, (2.5)

где – коэффициент пропорциональности, называемый магнитной восприимчивостью.

Используя выражение (2.5), результирующую индукцию поля в веществе (2.4) можно записать в виде:

. (2.6)

Безразмерная величина называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества.

Формула (2.6) устанавливает связь между индукцией магнитного поля внутри вещества и напряженностью внешнего поля .

2.3. Теоремы о циркуляции векторов и

В случае определения индукции магнитного поля в вакууме было получено выражение циркуляции вектора в таком виде:

. (2.7)

Микротоки в вакууме равны нулю. В случае определения индукции поля в веществе может быть использовано выражение (2.6). С учетом того, что кроме макро- присутствуют и микроскопические токи, выражение (2.7) принимает вид:

.

Вектор характеризует поле макро- и микроскопических токов.

Определим циркуляцию вектора . Для этого проведем замкнутый контур прямоугольной формы, одна из сторон которого находится внутри вещества (рис. 2.2., б):

.

Мы учли выражение .

Таким образом, . Источником вектора являются микротоки.

Для определения циркуляции вектора воспользуемся взаимосвязью между векторами и

, откуда .

В таком случае

,

т.е. источником вектора являются макроскопические токи.

Виды магнетиков

Формула (2.5) определяет магнитную восприимчивость единицы объема вещества. В зависимости от знака и величины все магнетики подразделяются на следующие виды.

1) Диамагнетики, у которых магнитная восприимчивость отрицательна и мала по абсолютной величине, а магнитная проницаемость меньше единицы.

2) Парамагнетики, у которых магнитная восприимчивость положительна, а магнитная проницаемость несколько больше единицы.

3) Ферромагнетики, у которых магнитная восприимчивость положительна, магнитная проницаемость может принимать аномально большие значения. Кроме того, в отличие от диамагнетиков и парамагнетиков, для которых и не зависят от , для ферромагнетиков они являются сложной функцией напряженности магнитного поля.

Диамагнетики

К диамагнетикам относятся инертные газы, металлы (Bi, Zn, Cu, Au и др.), стекло, различные смолы и другие вещества.

Рассмотрим, что происходит с атомами диамагнетика во внешнем магнитном поле на примере атома гелия. Атом гелия состоит из ядра и двух электронов (рис. 2.3). Будем считать, что электроны движутся по круговым орбитам с одинаковой по величине скоростью, но в противоположных направлениях, поэтому суммарный орбитальный магнитный момент электронов равен нулю. Спиновые магнитные моменты электронов направлены в противоположные стороны и их сумма также равна нулю. Следовательно, равен нулю магнитный момент всего атома. (Магнитный момент ядра значительно меньше электронного.)

При включении внешнего магнитного поля