Точечное оценивание параметров.
Пример решения лабораторной работы.
Задан ряд невязок (в секундах) в треугольниках триангуляции II класса общим объемом 50:
| - 1,81; | - 1,82; | + 2,32; | 0,00; | - 0,70; |
| + 1,51; | + 0,61; | - 1,29; | - 2,64; | + 0,04; |
| + 0,01; | + 0,11; | +1,56; | - 1,09; | + 2,78; |
| - 0,35; | - 0,01; | + 1,64; | - 0,77; | - 1,26; |
| - 0,52; | - 0,69; | + 1,02; | - 1,58; | + 1,78; |
| + 0,16; | + 0,64; | + 0,42; | + 0,99; | - 2,08; |
| - 0,55; | + 0,64; | - 0,09; | + 0,56; | - 0,35; |
| - 2,55; | - 0,76; | + 1,05; | - 1,51; | +2,71; |
| + 0,70; | - 0,40; | + 2,22; | - 1,14; | - 0,17; |
| - 0,31; | - 0,01; | + 0,21; | + 1,32; | - 0,85. |
Рассматривая этот ряд невязок как выборку из некоторой генеральной совокупности ошибок суммы измеренных углов треугольников триангуляции, необходимо рассчитать точечные оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, асимметрии и эксцесса. Решение выполнить по предварительно группированным данным.
Решение.
В качестве границ интервалов групп здесь принимают следующие значения: - 3,5"; - 2,5"; -1,5"; - 0,5"; + 0,5"; + 1,5"; + 2,5"; + 3,5". Тогда центрами интервалов будут значения: - 3,0"; -2,0";
- 1,0"; -0,0"; + 1,0"; + 2,0"; + 3,0". Все расчеты сведены в табл. 1.
После заполнения таблицы вычислены оценки по формулам:
1. Математического ожидания
M(х) = a = 
2. Дисперсии
D(x) = 
3. Среднего квадратического отклонения
σ = 
4. Третьего центрального момента
5. Асимметрии
6. Четвертого центрального момента
7. Эксцесса
Таблица 1
| № | Грани-цы интер-валов | Сорти-ровка | ni | Центры интер-валов zi | zini |  |  |  |  |  | |
| - 3,5 | |||||||||||
| - 3,0 | - 6,0 | -2,92 | -5,84 | 17,05 | -49,8 | 145,0 | |||||
| - 2,5 | |||||||||||
| - 2,0 | -12,0 | -1,92 | -11,52 | 22,12 | -42,5 | 81,5 | |||||
| - 1,5 | |||||||||||
| - 1,0 | -11,0 | -0,92 | -10,12 | 9,31 | -8,6 | 7,9 | |||||
| - 0,5 | |||||||||||
| 0,0 | 0,0 | +0,08 | +1,20 | 0,10 | -0,1 | 0,0 | |||||
| + 0,5 | |||||||||||
| + 1,0 | +9,0 | +1,08 | +9,72 | 10,50 | +11,3 | 12,2 | |||||
| + 1,5 | |||||||||||
| + 2,0 | +10,0 | +2,08 | +10,40 | 21,63 | +45,0 | 94,6 | |||||
| + 2,5 | |||||||||||
| + 3,0 | +6,0 | +3,08 | +6,16 | 18,97 | +58,4 | 180,0 | |||||
| + 3,5 | |||||||||||
| Σ | - 4,0 | 99,68 | +13,7 | 521,2 |
Доверительное оценивание параметров.
По данным приведенного выше примера построить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения при уровне значимости
α = 0,05.
Решение.
Из решения, приведенного выше, имеем 
= - 0,08, 
= 2,03 и m = 1,42.
Для расчета доверительных границ математического ожидания из таблиц распределения Стьюдента найден tq. При этом учтено, что число степеней свободы ν = n – 1 = 49, а уровень значимости
α задан равным 0,05. Выбор tq произведен по данным таблицы распределения Стьюдента (Приложение 3) по двухсторонней критической области tq= 2,01. Доверительные границы найдены по формулам:
Доверительный интервал математического ожидания имеет вид:
- 0,48 < M(X) < + 0,32.
Для нахождения доверительных границ дисперсии по вероятностям Р2 = 1 - 
/2 = 0,975 и Р1 = /2 = 0,025 и числу степеней свободы ν = n – 1 = 49, использованы таблицы критических точек распределения χ2 величины 
и 
, которые оказываются равными 31,6 и 70,2. Расчет границ доверительного интервала дисперсии произведен по формулам:
Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:
1,42 < D(X) < 315.
Используя данные расчетов п.2, по формулам:
получены доверительные границы среднего квадратического отклонения.
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид:
.
Проверка статистических гипотез.
По данным приведенного выше примера проверить гипотезу о нормальном распределении невязок в треугольниках триангуляции II класса.
Решение.
Первым шагом решения задачи по проверке статистических гипотез о законе распределения является группировка исходных данных. Рекомендуется так подбирать границы интервалов, чтобы число попаданий в каждый интервал было не менее 5.
Руководствуясь этим правилом и используя результаты группировки, выполненные при решении приведенного выше примера, в качестве границ интервалов выбраны следующие значения: - ∞ ;- 1,5; - 0,5; + 0,5; + 1,5; + ∞ .Тогда число попаданий в каждый интервал соответственно равны 8, 11, 15, 9, 7. Для расчета теоретического числа попаданий в каждый обозначенный интервал, соответствующих нормальному распределению, рассчитаны центрированные, нормированные границы интервалов. Центрирование границ произведены с помощью оценки математического ожидания
= - 0,08, а нормирование – с помощью оценки среднего квадратического отклонения т = 1,42. Окончательный расчет центрированных, нормированных значений границ интервалов произведен по формуле:
где zi – выбранное значение границы интервала; ti - центрированное, нормированное значение той же границы интервала.
По центрированным, нормированным значениям границ интервалов из таблиц распределения функции Лапласа (Приложение 1) найдены значения функции нормального распределения. Затем по формуле 
найдены вероятность попадания в i – ый интервал, а по формуле 
- теоретическое число попаданий в тот же интервал.
Контроль вычислений - 
.
Для подсчета меры расхождения практического и теоретического числа попаданий вычислены для каждого интервала величины 
. Их сумма дает величину меры расхождения 
где l – число групп. Все вычисления проведены в табл. 2.
В результате проведенных вычислений получена общая расчетная мера расхождения практического и теоретического числа попаданий χ2расч, которая оказалась равной 0,298. Окончательное решение вопроса о согласованности опытных данных с выдвигаемой гипотезой нормального распределении угловых невязок принимается по результатам сравнения расчетной меры расхождения с предельно возможной. Предельно возможное значение меры расхождения (критическое значение) χ2кр находят по таблицам распределения χ2 по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы ν = l – c – 1 (Приложение 2). В приведенной формуле l – число интервалов группировки, в данном случае равное 5, c – число ранее определенных параметров, которые использовались при расчетах, проводимых в табл. 1. При расчетах центрированных, нормированных значений границ интервалов были использованы ранее вычисленные значения оценок математического ожидания и среднего квадратического отклонения т. Следовательно, в данном случае c = 2. Тогда число степеней свободы также равно 2.
Значение χ2кр , выбранное из таблиц, равно 6,0. В этом случае χ2расч < χ2кр , что дает право делать вывод о хорошем согласовании результатов опыта с выдвинутой гипотезой о нормальном распределении невязок в треугольниках триангуляции II класса.
Таблица 2
| № | Границы интервалов | Центр. норм. границы интерв. | F(ti) | pi |  |  |  | |
| - ∞ | - ∞ | 0,0000 | ||||||
| 0,1587 | 7,9350 | 0,003 | ||||||
| - 1,5 | - 1,00 | 0,1587 | ||||||
| 0,2234 | 11,1700 | 0,003 | ||||||
| - 0,5 | - 0,30 | 0,3821 | ||||||
| 0,2770 | 13,8500 | 0,095 | ||||||
| + 0,5 | + 0,41 | 0,6591 | ||||||
| 0,2074 | 10,3700 | 0,181 | ||||||
| + 1,5 | + 1,11 | 0,8665 | ||||||
| 0,1335 | 6,6750 | 0,016 | ||||||
| + ∞ | + ∞ | 1,0000 | ||||||
| 1,0000 | 50,0000 | 0,298 |
Контрольная задача 1
Для исследования точности измерения линий светодальномером тахеометра 2ТА-5М было проведено 120 измерений на эталонном полигоне. Линии полигона ранее были измерены со значительно более высокой точностью, поэтому их значения можно принять за точные. Расхождения между эталонными значениями и значениями измерений линий светодальномером представляют собой ошибки светодальномерных измерений. Необходимо:
1. Построить гистограмму.
2. Вычислить оценки математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения, асимметрии и эксцесса.
3. Построить доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
4. Проверить гипотезу о нормальном распределении ошибок светодальномерных измерений.
В табл. 3 приведены ошибки светодальномерных измерений. Значения ошибок даны в миллиметрах.
Таблица 3
| № |  | № | | № | | № | | № | | № | |
| + 14 | + 5 | - 1 | + 2 | + 12 | |||||||
| + 3 | - 2 | + 2 | + 9 | - 3 | + 6 | ||||||
| - 4 | + 14 | + 14 | - 1 | + 5 | - 5 | ||||||
| - 4 | + 11 | - 6 | - 6 | + 6 | - 7 | ||||||
| + 4 | + 2 | - 4 | + 14 | - 9 | + 4 | ||||||
| - 10 | + 6 | - 8 | - 2 | + 9 | + 3 | ||||||
| - 11 | - 1 | + 2 | + 7 | - 2 | + 4 | ||||||
| + 6 | - 12 | + 2 | + 3 | - 11 | + 13 | ||||||
| - 4 | - 2 | + 5 | + 2 | + 8 | + 3 | ||||||
| - 3 | + 4 | + 10 | - 5 | + 6 | |||||||
| - 1 | + 8 | + 5 | - 9 | - 2 | - 4 | ||||||
| + 1 | + 10 | - 4 | + 3 | - 7 | |||||||
| + 6 | - 10 | - 2 | - 1 | + 1 | + 14 | ||||||
| + 5 | - 4 | + 5 | - 9 | - 14 | + 3 | ||||||
| - 13 | + 10 | - 1 | - 4 | + 7 | + 3 | ||||||
| + 4 | + 2 | + 9 | - 3 | - 11 | + 6 | ||||||
| +3 | - 10 | +19 | - 9 | + 8 | + 11 | ||||||
| + 4 | - 13 | + 6 | - 6 | + 9 | + 2 | ||||||
| - 1 | - 2 | - 10 | - 4 | - 5 | + 2 | ||||||
| + 5 | - 8 | + 12 | - 9 | + 4 |
Варианты для контрольной задачи 1
В каждом варианте необходимо вычеркнуть 20 элементов с соответствующими номерами:
| №№ варианта | №№ вычеркиваемых элементов | №№ варианта | №№ вычеркиваемых элементов |
| 1-10; 21-30 | 21-30; 81-90 | ||
| 1-10; 31-40 | 21-30; 91-100 | ||
| 1-10; 41-60 | 21-30; 101-110 | ||
| 1-10; 51-60 | 21-30; 111-120 | ||
| 1-10; 61-70 | 31-40; 41-50 | ||
| 1-10; 71-80 | 31-40; 51-60 | ||
| 1-10; 81-90 | 31-40; 61-70 | ||
| 1-10; 91-100 | 31-40; 71-80 | ||
| 1-10; 101-110 | 31-40; 81-90 | ||
| 1-10; 111-120 | 31-40; 91-100 | ||
| 11-20; 21-30 | 31-40; 101-110 | ||
| 11-20; 31-40 | 31-40; 111-120 | ||
| 11-20; 41-50 | 41-50; 51-60 | ||
| 11-20; 51-60 | 41-50; 61-70 | ||
| 11-20; 61-70 | 41-50; 71-80 | ||
| 11-20; 71-80 | 41-50; 81-90 | ||
| 11-20; 81-90 | 41-50; 91-100 | ||
| 11-20; 91-100 | 41-50; 101-110 | ||
| 11-20; 101-110 | 41-50; 111-120 | ||
| 11-20; 111-120 | 51-60; 61-70 | ||
| 21-30; 31-40 | 51-60; 71-80 | ||
| 21-30; 41-50 | 51-60; 81-90 | ||
| 21-30; 51-60 | 51-60; 91-100 | ||
| 21-30; 61-70 | 51-60; 101-110 | ||
| 21-30; 71-80 | 51-60; 111-120 |
Лабораторная работа № 2