Математическая теория пространства

В поисках преодоления недостатков СТО А. Эйнштейн обратился к результатам исследования пространства математиками. Первой математической теорией пространства является евклидова геометрия. До начала XIX в. она имела авторитет абсолютной истины математических знаний о пространстве. К этой системе знаний, как полагал немецкий философ И. Кант, нельзя ничего добавить, как в равной степени, чего-то отнять. Со времени возникновения этой геометрии было много попыток ее опровергнуть. Математиков интересовал в этой геометрии знаменитый пятый постулат: «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну прямую, параллельную первой». Было предпринято множество атак против этого постулата, и все они вплоть до первых десятилетий XIX в. были безуспешными.

Главная причина этих неудач заключается в том, что все опровержения пятого постулата исходили из геометрий, которые строились также на аксиомах, постулатах и определениях, как и геометрия Евклида. Лишь в самом конце XVIII

в. и начале XIX в. была построена новая геометрия на основе понятия

«бесконечно малого масштаба измерения» в качестве образца, эталона измерения

в геометрии. Эта геометрия была названа неевклидовой геометрией. Ее разработали следующие математики.

1. К. Гаусс (1777—1855)— великий немецкий математик. Еще в конце XVIII в.

он провел исследования по созданию новой геометрии, которую он назвал

неевклидовой, но не посмел опублико-

вать полученные результаты, поскольку авторитет геометрии Евклида считался большинством ученых того времени непоколебимым.

2. Н. Лобачевский (1792—1856) создал в 1826 г. новую геометрию и назвал ее воображаемой. В 1840 г. его работа под названием «Геометрические исследования

по теории параллельных линий» была опубликована при большом содействии со стороны К. Гаусса в Германии. Н. Лобачевский был ректором Казанского университета, свои геометрические исследования он обобщил в труде «Пан- геометрия» (1856).

3. Я. Больяй (1802—1860) — сын известного венгерского математика Ф. Больяй. Отец Я. Больяй умолял его не заниматься пятым постулатом, поскольку считал это занятие пустой тратой сил. В 1832 г. Ф. Больяй опубликовал в созданном им руководстве по математике в качестве приложения работу своего сына под названием «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности и ложности XI аксиомы Евклида». Я Больяй пытался опубликовать свою работу в Германии, послав ее К. Гауссу. Однако он не получил никакого ответа на свою работу. В результате у него сложилось впечатление, что никакого Н.Лобачевского вообще нет, идеи которого были схожи с идеями Я. Больяй, и вообще его идеи новой геометрии были украдены.

4. Б. Риман (1826—1866) — немецкий математик, последователь К. Гаусса. В

1854 г. в докладе под названием «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» он изложил свои идеи о создании n-мерной геометрии. Идея К. Гаусса о неевклидовой геометрии пространства с двумя измерениями была обобщена на пространство с неограниченным числом измерений (3 — ширина, длина, высота,

4 — здесь уже число измерений приобретает исключительно математический смысл). Работы по неевклидовой геометрии не вызвали должного оживленного интереса у физиков и астрономов. И лишь в 1912—1915 гг. А. Эйнштейн, работая

на общей теорией относительности, обратился, по совету своего друга Гроссмана,

к работам по неевклидовой геометрии. В результате изучения этих работ он обнаружил математический аппарат и идеи новой геометрии, которые были созвучны с духом его исследований в области общей теории относительности.

Кратко о сути неевклидовойгеометрии. Выше уже говорилось, что геометрия

Евклида строилась на определениях, аксиомах и по-

стулатах. В этой геометрии нет масштаба измерения как средства, позволяющего переходить от одной точки пространства (плоскости) к другой. Пятый постулат Евклида утверждает, что в пространстве, соответствующем определениям, аксиомам и постулатам Евклида, сумма углов треугольника всегда равна 180° и это означает, что в подобном пространстве его структура (отношение между длиной, высотой, шириной, точками, линиями, углами и плоскостями) является постоянной. Например, если на плоском листе зафиксировать расстояние между любыми произвольными точками А и В, то при сворачивании этого листа в фигуру цилиндра расстояние между точками А и В также не изменится. Однако если этот лист растянуть или сжать, то расстояние между точками А и В будет меняться.

Гаусс поставил перед собой задачу: могут ли существа, живущие на поверхности шара, т. е. на сфере, имеющие только два измерения, не обращаясь к третьему измерению, установить геометрию пространства, в котором они живут? Сфера представляет поверхность, на которой постулат Евклида сталкивается с затруднением? На сфере кратчайшим расстоянием между двумя произвольными

ее точками будет не прямая, а геодезическая линия. Сумма углов треугольника, образованного геодезическими линиями, будет всегда больше 180°. И все меридианы будут пересекаться в двух точках сферы, ее полюсах, а каждой геодезической параллели, широте, будет параллельна не одна линия, как утверждает пятый постулат Евклида, а множество геодезических параллелей.

Для того чтобы построить свою геометрию, этим существам, как рассуждал К.

Гаусс, надо вместо постулата Евклида ввести некоторый эталон масштаба измерения, который бы позволил определять изменения расстояния между точками на сфере. Поверхность сферы невозможно представить в форме плоскости без разрезания ее на мельчайшие кусочки и затем склеивания их на плоской поверхности. Объясняется это тем, что сфера, как двумерная поверхность, имеет такую геометрическую структуру между своими составными частями, которая меняется в зависимости от направления и места на ней. Это свойство, изменение структуры, получило название кривизны пространства. Кривизной называется величина, обратная величине радиуса окружности, касательной в точке, где измеряется кривизна линии, плоскости (1/R, где R — радиус окружности) (рис. 2).

Рис. 2

Точка M' приближается к точке М прямой L при увеличения радиуса R и отдаляется от прямой L при уменьшении радиуса R окружности, касательной в точке О прямой L. Величина 1/Ä — кривизна прямой ОМ в точке О

Согласно К. Гауссу, существа на поверхности шара (сфере), не прибегая к

третьему измерению, построили бы свою геометрию, опираясь на понятие

«бесконечно малого масштаба измерения» (рис. 3).

Рис. 3

Линия R лежит на поверхности сферы (ее участка S), линия Q находится на плоскости под участком поверхности сферы — S. Отрезок РР' (на лини R) — расстояние между точками Р и Р' на поверхности сферы. При бесконечном сближении точки Р и Р' на линии R получится отрезок РР' на поверхности сферы, которому будет соответствовать отрезок РР' на линии Q как кратчайшее расстояние между точками на

плоскости

Понятие «бесконечно малого масштаба измерения», являясь высокого уровня

абстракцией, позволяет рассматривать не только свойства пространства,

удовлетворяющие постулату Евклида, но

и выйти на исследования геометрий неевклидового типа. Для этой цели К. Гаусс ввел понятие нежестких координат в отличие от жестких координат Р. Декарта (рис. 4).