Теория катастроф — математическое обобщение анализа сложных процессов

Теория катастроф (ТК) — теория особенностей гладких отображений, сформулирована на стыке топологии и математического анализа. Первые результаты качественного изучения поведения решений систем дифференциальных уравнений получены А. Пуанкаре, А.М. Ляпуновым  100 лет тому назад. Вклад в развитие их идей внесли А.А. Андронов и Л.С. Понтрягин (понятие грубости — структурной устойчивости системы). Интенсивное развитие Т.К. началось с 50-х годов после работ Р. Тома. Математически теория катастроф является обобщением исследований функций на максимумы и минимумы. Точки “особенностей” функций, где наблюдаются “катастрофы” — резкие изменения режима функционирования систем, где она перестает подчиняться линейным законам и проявляется связь с параметрами (условиями внешней среды и пр.). Некоторые выводы теории катастроф можно сформулировать в виде универсальных законов, пригодных для анализа любых явлений нашего мира.

ТК исследует динамические системы, составляющие широкий класс нелинейных систем, описываемых уравнением вида:

где x_i – переменные, характеризующие состояние системы, c_ набор параметров задачи (управляющие параметры)

В элементарной теории катастроф рассматривается частный случай динамических систем: предполагается , что существует потенциальная функция – аналог потенциала электрического поля f_i = и что система находится в состоянии равновесия (x_i=0).

Задача заключается в исследовании изменений состояний равновесия x_i(c_) функции U(x_i,c_) при изменении управляющих параметров c_.

Элементарная Т.К. является в известной степени обобщением задач на экстремум в математическом анализе.

В случае одной переменной поведение функции определяется невырожденными критическими точками max и min при равенстве нулю первой производной и второй производной отличается от нуля. Сама функция в окрестности невырожденной критической точки может быть приведена к виду U= подходящей гладкой (имеющей производные любого порядка) заменой переменных .

Аналогично в многомерном случае для критических точек, определяемых обращением в нуль первой производной и отличным от нуля аналогом второй производной, гессианом (детерминантом набора величин , det U_ij  0), существует гладкая замена переменных , в результате которой в окрестности невырожденной l переменных соответствующих нулевым собственным значениям матрицы U_ij являются аргументами функции катастрофы Cat(x_l,c_), зависящий также от  управляющих параметров. Зависимость потенциальной функции от оптимальных n-1 переменных, соответствует отличными от нуля собственным значениям, представляется, как и раньше, квадратичной формой.

Функции Cat(x_l,c_) можно привести к определенному каноническому виду. Классификация особенностей потенциальных функций (катастроф) была проведена В. И. Арнольдом. (Удивительно, что она совпала с классификацией точечных групп первого рода, характеризующих симметрию молекул; оказалась связанной с правильными многогранниками в эвклидовом пространстве и простыми группами. причины связи не понятны)

Для одной или двух переменных и числа управляющих параметров, не превышающего 5, имеется 7 типов элементарных катастроф. Для каждого типа катастроф рассматривается поверхность, зависящая от n_i переменных состояния и n_x числа управляющих параметров в пространстве n_i+n_ измерений Cat(x,c).

Поверхность простейшей катастрофы с одной переменной и одним управляющим параметром.

C>0 C=0

C<0

C

Она имеет вид складки на ткани и называется катастрофой складки. Каноническая форма Cat(x,c)=1/х³+сх. При с0 все кривые качественно подобны: не имеют критических точек. Кривые с0 — подобны тем, что имеют две критические точки. Точка с=0 в пространстве управляющих параметров сепаратрисой.

Катастрофа сборки Cat(x,a,b)= . Одна переменная состояния и две управляющих параметра.