Вынужденные колебания. Резонанс. Резонансные кривые.

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:

F = F_m cos wt,

где w - циклическая частота вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение для вынужденных колебаний имеет вид

. (1)

Здесь x – смещение колеблющейся точки относительно положения равновесия, b- коэффициент затухания, w₀ - циклическая частота собственных колебаний.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими. Решение уравнения (1) для установившегося режима имеет вид

. (2)

Причем амплитуда A и фаза j зависят от w, w₀, b, x₀

, . (3)

Амплитудные резонансные кривые построенные на основе (3), приведены на рис.1.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний на некоторой частоте, называемой резонансной (которая для малого затухания совпадает с частотой собственных колебаний w₀) называется резонансом .

Рис.1.

Чем больше коэффициент затухания, тем ниже амплитуда при резонансе.

Амплитуда при резонансе A_res связана со статическим отклонением (при w стремящейся к нулю) через добротность Q:

A_res=QA_st, где .

Чем выше добротность контура, тем выше амплитуда при резонансе.

Фазовая резонансные кривые построенные на основе (3), приведены на рис.2.

Рис.2.

Видно, что только в случае когда затухания нет (b=0), вынуждающая сила и колебания совпадают по фазе.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных, колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, оборудование, воспринимающее электрические колебания, основаны на явлении резонанс.

Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Фазовая скорость волны. Групповая скорость

Волна — процесс колебаний, распространяющийся в пространстве. При этом частицы среды, в которой распространяется волна, не перемещаюся вместе с волной, а лишь колеблются около положений равновесия. Если эти колебания проходят вдоль направления распространения волны, то волна называется продольной, если перпендикулярно – поперечной.

Уравнение плоской бегущей волны

,

где x — смещение из положения равновесия любой из точек среды с координатой х в момент t, v — (фазовая) скорость распространения колебаний в среде, j — начальная фаза.

Стоячие волны.

Стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Уравнение стоячей волны:

,где l- длина волны.

Из уравнения стоячей волны вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты с амплитудой , зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна, называются пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю, называются узлами стоячей волны.

21. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия, теплота.

Первое начало термодинамики:Теплота сообщенная системе расходуется на изменение ее внутренней энергии и работу, совершенную этой системой против внешних сил:

,

где Q—теплота, сообщенная системе (газу); DU — изменение внутренней энергии системы; А — работа, совершенная системой против внешних сил.

Внутренняя энергия системы состоит из кинетической энергии молекул, составляющих систему, потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом, внутримолекулярной энергии (т.е. энергии взаимодействия атомов или ионов в молекулах, энергии электронных оболочек атомов и ионов, внутриядерной энергии) и энергии электромагнитного излучения в системе.

Теплота и работа - две формы изменения внутренней энергии системы

Теплота представляет собой энергию, которая передается от одного тела к другому при их контакте или путем излучения нагретого тела, т.е. по существу мы имеем дело с работой, которую совершают хаотически движущиеся микрочастицы. Необходимым условием совершения системой работы является перемещение взаимодействующих с ней внешних тел.

Работа газа при расширении.

Работа расширения газа:

- элементарная работа,

- работа в общем случае, может быть вычислена как площадь под зависимостью p от V на графике в координатах p,V.

23. Теплоемкость и внутренняя энергия идеального газа.

Теплоемкостью какого-либо тела называется величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин. Если сообщение телу количества тепла dQ повышает его температуру на dT, то теплоемкость по определению равна:

(1).

Молярной теплоемкостью (С) называют теплоемкость одного моля газа, а удельной теплоемкостью (c) — теплоемкость единицы массы газа. Связь между удельной с и молярной С теплоемкостями .

Теплоемкость газа, находящегося в постоянном объеме, называется теплоемкостью при постоянном объеме (C_v), а газа, находящегося при постоянном давлении — теплоемкостью при постоянном давлении (C_p). Уравнение Майера (связь между молярными теплоемкостями C_v и C_p) — .

Молярные теплоемкости газа C_v и C_p равны и , где i – количество степеней свободы молекул газа.