Основы равновесной термодинамики

· Удельная теплоёмкость вещества:

.

· Молярная теплоёмкость вещества:

.

· Молярные теплоёмкости при постоянном объёме ( ) и постоянном давлении ( ):

,

где - число степеней свободы; .

· Связь между удельной и молярной теплоёмкостями:

,

где – молярная масса.

· Внутренняя энергия идеального газа:

.

· Полная работа при изменении объема газа:

,

где V₁ и V₂ - соответственно начальный и конечный объемы газа.

· Работа газа:

при изобарном процессе

, или ;

при изотермическом процессе

, или ;

при адиабатном процессе

,

где .

· Первое начало термодинамики:

,

где – количество теплоты, сообщённое системе; - изменение внутренней энергии системы; – работа, совершённая системой против внешних сил.

Если над системой совершается работа ( ), то первое начало термодинамики:

, причём .

· Первое начало термодинамики применительно к изопроцессам:

1) изотермический ( ): ( );

2) изохорный ( ): ( );

3) изобарный ( ): ;

4) адиабатный ( ): или .

· Уравнение Пуассона для адиабатного процесса:

, , ,

где .

· Коэффициент полезного действия цикла Карно (рис.13), который состоит из двух изотерм и двух адиабат:

,

где – количество теплоты, полученное от нагревателя; – количество теплоты, переданное холодильнику; – температура нагревателя; – температура холодильника; А - работа совершаемая за цикл.

На рис. 13 изотермические расширение (1-2) и сжатие (3-4), адиабатические расширение (2-3) и сжатие (4-1).

· Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2:

.

Энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).

ОСНОВЫ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ.

ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

,

где – средняя арифметическая скорость; – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными за единицу времени; – эффективный диаметр молекулы; – число молекул в единице объема (концентрация).

· Средняя продолжительность свободного пробега

.

· Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени

.

· Явления переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость) возникают в термодинамически неравновесных системах.

· Диффузия – возникает при градиенте плотности (концентрации) и обусловлена переносом массы.

Коэффициент диффузии

.

Масса, перенесенная за время при диффузии через площадку , расположенную перпендикулярно направлению, вдоль которого происходит диффузия

,

где – градиент плотности, знак «минус» показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.

· Внутреннее трение (вязкость) – возникает при движении слоёв жидкости или газа относительно друг друга и обусловлено переносом импульса молекул из слоя в слой.

Динамический коэффициент внутреннего трения (вязкости)

,

где – плотность вещества.

Сила внутреннего трения, действующая на элемент поверхности слоя с площадью

,

где - градиент скорости, знак «минус» указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости.

· Теплопроводность – возникает при градиенте температуры и обусловлена переносом средней кинетической энергии молекул.

Коэффициент теплопроводности

,

где – удельная теплоемкость газа в изохорном процессе.

Количество теплоты, перенесенное через поверхность , перпендикулярную направлению теплового потока за время

,

где – градиент температуры, знак «минус» показывает, что энергия переносится в направлении убывания температуры.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

· Закон Кулона

где – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов и в вакууме; – расстояние между зарядами; – электрическая постоянная; - диэлектрическая проницаемость вещества (для вакуума )

· Напряженность и потенциал электростатического поля

; , или ,

где - сила, действующая на точечный положительный заряд , помещенный в данную точку поля; - потенциальная энергия заряда в электростатическом поле; - работа по перемещению заряда из данной точки поля за пределы поля.

· Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии от заряда

; .

· Поток вектора напряженности через площадку

,

где - вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с нормалью к площадке; – составляющая вектора по направлению нормали к площадке ( ); -угол между векторами и .

· Поток вектора напряженности через произвольную поверхность

.

· Поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность (рис. 14)

.

Рис.14.

· Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей

; ,

где , - соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом .

· Направление вектора напряжённости , создаваемого точечным зарядом (рис. 15):

Рис.15

Напряженность электрического поля, созданного двумя разноимёнными зарядами в точках А, В и С (рис. 16):

Рис.16.

В точке А: .

В точке В: .

В точке С: .

· Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

, или ,

где , , - единичные векторы координатных осей. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала (рис. 17).

Рис.17.

· Направление вектора градиента потенциала в точке А (рис.18):

Рис.18.

· В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией

.

· Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Вектор напряжённости направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности.

· Электрический момент диполя (дипольный момент)

,

где - плечо диполя (рис. 19).

Рис.19.

Напряженность поля на продолжении оси диполя на расстоянии от центра диполя

,

Напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из ее середины на расстоянии

.

· Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов, т.е. заряд, приходящийся соответственно на единицу длины, поверхности и объема:

; ; .

· Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

,

где - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности ; – число зарядов.

Если заряд распределён внутри замкнутой поверхности непрерывно с объёмной плотностью , то

Примеры. 1. Определить поток вектора напряженности электростатического поля через сферическую поверхность, охватывающую точечный заряд (рис. 20).

Рис.20.

По теореме Гаусса

.

2. Как изменится поток через ту же поверхность, если внутрь поместить ещё один заряд (рис. 21)?

Рис.21.

По теореме Гаусса

,

т.е. поток уменьшится вдвое и станет отрицательным.

3. Как изменится поток через данную поверхность, если около неё поместить любой заряд на расстоянии (рис. 22)?

Рис.22.

Поток не изменится, так как заряд находится вне поверхности.

· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,

.

· Напряжённость поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноимённо заряженными плоскостями:

– между плоскостями;

– вне плоскостей.

· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом с общим зарядом на расстоянии от центра сферы,

при (внутри сферы);

при (вне сферы).

· Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом q на расстоянии r от центра шара,

при (внутри шара);

при (вне шара).

· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным проводящим бесконечнодлинным цилиндром (нитью) радиусом на расстоянии от оси цилиндра,

при (внутри цилиндра);

при (вне цилиндра).

· Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2,

, или ,

где – проекция вектора на направление элементарного перемещения ; и – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2.

· Работа сил электростатического поля не зависит от вида траектории, а определяется только начальным и конечным положениями точки, по замкнутому пути работа равна нулю.

· Циркуляция вектора напряжённости электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, следовательно, это поле потенциальное

.

Линии напряжённости электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.

· Вектор поляризации диэлектрика:

,

где - объем диэлектрика; - дипольный момент -й молекулы; - число молекул диэлектрика в объеме .

· Связь между векторами поляризации и напряженности электростатического поля внутри диэлектрика

æ ,

где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества.

· Связь диэлектрической проницаемости e с диэлектрической восприимчивостью æ

= 1+æ.

· Связь между напряженностью поля в диэлектрике и напряженностью внешнего поля

, или .

· Связь между векторами электрического смещения ( ) и напряжённостью электростатического поля ( ):

· Связь между , и :

.

· Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике

,

где – алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности ; – составляющая вектора по направлению нормали к площадке ; – вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с нормалью к площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности.

· Электроемкость уединенного проводника и конденсатора:

, ,

где – заряд, сообщенный проводнику; – потенциал проводника; , – разность потенциалов между пластинами.

· Электроемкость шара

,

где r – радиус шара.

· Электроемкость плоского конденсатора

,

где – площадь пластины конденсатора; – расстояние между пластинами.

· Электроемкость цилиндрического конденсатора

,

где – длина обкладок конденсатора; и - радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора.

· Электроемкость сферического конденсатора

,

где и - радиусы сферических обкладок конденсатора.

· Электроемкость системы конденсаторов соответственно при последовательном (а) и параллельном (б) соединениях:

а) ;

б) ,

где – электроемкость – го конденсатора; - число конденсаторов.

· Энергия уединенного заряженного проводника

.

· Потенциальная энергия системы точечных зарядов

,

где – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд всеми зарядами, кроме -го.

· Энергия заряженного конденсатора

,

где – заряд конденсатора; – его емкость; – разность потенциалов между обкладками.

· Сила притяжения между обкладками плоского конденсатора

.

· Энергия электростатического поля плоского конденсатора

,

где – площадь одной пластины; – разность потенциалов между пластинами; – объем области между пластинами конденсатора.

· Объемная плотность энергии электростатического поля

,

где – электрическое смещение; - напряжённость поля.

· Если конденсатор заряжен до разности потенциалов ( ) и отключенот источника тока, то при изменении расстояния между пластинами заряд на них неизменен,т.е. .

Если конденсатор не отключен от источника тока, то при изменении расстояния между пластинами неизменнаразность потенциалов, т.е. .