Основы равновесной термодинамики
· Удельная теплоёмкость вещества:
.
· Молярная теплоёмкость вещества:
.
· Молярные теплоёмкости при постоянном объёме ( ) и постоянном давлении ( ):
,
где - число степеней свободы; .
· Связь между удельной и молярной теплоёмкостями:
,
где – молярная масса.
· Внутренняя энергия идеального газа:
.
· Полная работа при изменении объема газа:
,
где V1 и V2 - соответственно начальный и конечный объемы газа.
· Работа газа:
при изобарном процессе
, или ;
при изотермическом процессе
, или ;
при адиабатном процессе
,
где .
· Первое начало термодинамики:
,
где – количество теплоты, сообщённое системе; - изменение внутренней энергии системы; – работа, совершённая системой против внешних сил.
Если над системой совершается работа ( ), то первое начало термодинамики:
, причём .
· Первое начало термодинамики применительно к изопроцессам:
1) изотермический ( ): ( );
2) изохорный ( ): ( );
3) изобарный ( ): ;
4) адиабатный ( ): или .
· Уравнение Пуассона для адиабатного процесса:
, , ,
где .
· Коэффициент полезного действия цикла Карно (рис.13), который состоит из двух изотерм и двух адиабат:
,
где – количество теплоты, полученное от нагревателя; – количество теплоты, переданное холодильнику; – температура нагревателя; – температура холодильника; А - работа совершаемая за цикл.
На рис. 13 изотермические расширение (1-2) и сжатие (3-4), адиабатические расширение (2-3) и сжатие (4-1).
· Изменение энтропии при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2:
.
Энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов).
ОСНОВЫ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
· Средняя длина свободного пробега молекул газа
,
где – средняя арифметическая скорость; – среднее число столкновений каждой молекулы с остальными за единицу времени; – эффективный диаметр молекулы; – число молекул в единице объема (концентрация).
· Средняя продолжительность свободного пробега
.
· Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени
.
· Явления переноса (диффузия, теплопроводность, вязкость) возникают в термодинамически неравновесных системах.
· Диффузия – возникает при градиенте плотности (концентрации) и обусловлена переносом массы.
Коэффициент диффузии
.
Масса, перенесенная за время при диффузии через площадку , расположенную перпендикулярно направлению, вдоль которого происходит диффузия
,
где – градиент плотности, знак «минус» показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности.
· Внутреннее трение (вязкость) – возникает при движении слоёв жидкости или газа относительно друг друга и обусловлено переносом импульса молекул из слоя в слой.
Динамический коэффициент внутреннего трения (вязкости)
,
где – плотность вещества.
Сила внутреннего трения, действующая на элемент поверхности слоя с площадью
,
где - градиент скорости, знак «минус» указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости.
· Теплопроводность – возникает при градиенте температуры и обусловлена переносом средней кинетической энергии молекул.
Коэффициент теплопроводности
,
где – удельная теплоемкость газа в изохорном процессе.
Количество теплоты, перенесенное через поверхность , перпендикулярную направлению теплового потока за время
,
где – градиент температуры, знак «минус» показывает, что энергия переносится в направлении убывания температуры.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
· Закон Кулона
где – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов и в вакууме; – расстояние между зарядами; – электрическая постоянная; - диэлектрическая проницаемость вещества (для вакуума )
· Напряженность и потенциал электростатического поля
; , или ,
где - сила, действующая на точечный положительный заряд , помещенный в данную точку поля; - потенциальная энергия заряда в электростатическом поле; - работа по перемещению заряда из данной точки поля за пределы поля.
· Напряженность и потенциал электростатического поля точечного заряда на расстоянии от заряда
; .
· Поток вектора напряженности через площадку
,
где - вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с нормалью к площадке; – составляющая вектора по направлению нормали к площадке ( ); -угол между векторами и .
· Поток вектора напряженности через произвольную поверхность
.
· Поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность (рис. 14)
.
Рис.14.
· Принцип суперпозиции (наложения) электростатических полей
; ,
где , - соответственно напряженность и потенциал поля, создаваемого зарядом .
· Направление вектора напряжённости , создаваемого точечным зарядом (рис. 15):
Рис.15
Напряженность электрического поля, созданного двумя разноимёнными зарядами в точках А, В и С (рис. 16):
Рис.16.
В точке А: .
В точке В: .
В точке С: .
· Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
, или ,
где , , - единичные векторы координатных осей. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности поля направлен в сторону убывания потенциала (рис. 17).
Рис.17.
· Направление вектора градиента потенциала в точке А (рис.18):
Рис.18.
· В случае поля, обладающего центральной или осевой симметрией
.
· Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Вектор напряжённости направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности.
· Электрический момент диполя (дипольный момент)
,
где - плечо диполя (рис. 19).
Рис.19.
Напряженность поля на продолжении оси диполя на расстоянии от центра диполя
,
Напряженность поля на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из ее середины на расстоянии
.
· Линейная, поверхностная и объемная плотности зарядов, т.е. заряд, приходящийся соответственно на единицу длины, поверхности и объема:
; ; .
· Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме
,
где - алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности ; – число зарядов.
Если заряд распределён внутри замкнутой поверхности непрерывно с объёмной плотностью , то
Примеры. 1. Определить поток вектора напряженности электростатического поля через сферическую поверхность, охватывающую точечный заряд (рис. 20).
Рис.20.
По теореме Гаусса
.
2. Как изменится поток через ту же поверхность, если внутрь поместить ещё один заряд (рис. 21)?
Рис.21.
По теореме Гаусса
,
т.е. поток уменьшится вдвое и станет отрицательным.
3. Как изменится поток через данную поверхность, если около неё поместить любой заряд на расстоянии (рис. 22)?
Рис.22.
Поток не изменится, так как заряд находится вне поверхности.
· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,
.
· Напряжённость поля, создаваемого двумя бесконечными параллельными разноимённо заряженными плоскостями:
– между плоскостями;
– вне плоскостей.
· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом с общим зарядом на расстоянии от центра сферы,
при (внутри сферы);
при (вне сферы).
· Напряженность поля, создаваемого объемно заряженным шаром радиусом R с общим зарядом q на расстоянии r от центра шара,
при (внутри шара);
при (вне шара).
· Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным проводящим бесконечнодлинным цилиндром (нитью) радиусом на расстоянии от оси цилиндра,
при (внутри цилиндра);
при (вне цилиндра).
· Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2,
, или ,
где – проекция вектора на направление элементарного перемещения ; и – потенциалы электростатического поля в точках 1 и 2.
· Работа сил электростатического поля не зависит от вида траектории, а определяется только начальным и конечным положениями точки, по замкнутому пути работа равна нулю.
· Циркуляция вектора напряжённости электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, следовательно, это поле потенциальное
.
Линии напряжённости электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах.
· Вектор поляризации диэлектрика:
,
где - объем диэлектрика; - дипольный момент -й молекулы; - число молекул диэлектрика в объеме .
· Связь между векторами поляризации и напряженности электростатического поля внутри диэлектрика
æ ,
где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества.
· Связь диэлектрической проницаемости e с диэлектрической восприимчивостью æ
= 1+æ.
· Связь между напряженностью поля в диэлектрике и напряженностью внешнего поля
, или .
· Связь между векторами электрического смещения ( ) и напряжённостью электростатического поля ( ):
· Связь между , и :
.
· Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике
,
где – алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности ; – составляющая вектора по направлению нормали к площадке ; – вектор, модуль которого равен , а направление совпадает с нормалью к площадке. Интегрирование ведется по всей поверхности.
· Электроемкость уединенного проводника и конденсатора:
, ,
где – заряд, сообщенный проводнику; – потенциал проводника; , – разность потенциалов между пластинами.
· Электроемкость шара
,
где r – радиус шара.
· Электроемкость плоского конденсатора
,
где – площадь пластины конденсатора; – расстояние между пластинами.
· Электроемкость цилиндрического конденсатора
,
где – длина обкладок конденсатора; и - радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора.
· Электроемкость сферического конденсатора
,
где и - радиусы сферических обкладок конденсатора.
· Электроемкость системы конденсаторов соответственно при последовательном (а) и параллельном (б) соединениях:
а) ;
б) ,
где – электроемкость – го конденсатора; - число конденсаторов.
· Энергия уединенного заряженного проводника
.
· Потенциальная энергия системы точечных зарядов
,
где – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд всеми зарядами, кроме -го.
· Энергия заряженного конденсатора
,
где – заряд конденсатора; – его емкость; – разность потенциалов между обкладками.
· Сила притяжения между обкладками плоского конденсатора
.
· Энергия электростатического поля плоского конденсатора
,
где – площадь одной пластины; – разность потенциалов между пластинами; – объем области между пластинами конденсатора.
· Объемная плотность энергии электростатического поля
,
где – электрическое смещение; - напряжённость поля.
· Если конденсатор заряжен до разности потенциалов ( ) и отключенот источника тока, то при изменении расстояния между пластинами заряд на них неизменен,т.е. .
Если конденсатор не отключен от источника тока, то при изменении расстояния между пластинами неизменнаразность потенциалов, т.е. .