Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости

В форме Эйлера.

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку с координатами x, y, z и выделим элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его вершин. Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям и соответственно равны dx, dy, dz. Составим уравнения движения выделенного элемента жидкости, масса которого равна в проекции на оси координат. При этом используем принцип Д'Аламбера: силы, действующие на элемент жидкости в каждый момент времени, уравновешиваются силами инерции. На элемент жидкости действуют массовые и поверхностные силы. Положительное направление сил совпадает с положительным направлением осей координат. На выделенный элементарный объем жидкости действует результирующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y, Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направления координатных осей, будут равны: ; ; . Из поверхностных сил, которые заменяет собой действие окружающей среды на выделенный элемент, нужно учитывать только нормальные силы давления, так как жидкость идеальная. При вычислении сил давления, действующих на отдельные грани параллелепипеда, следует иметь в виду, что давления по трем взаимно ортогональным бесконечно малым площадкам, проходящим через одну и ту же точку М равны . Тогда на противоположные грани действуют давления, отличающиеся на величину приращения давления вдоль соответствующей координатной оси. Так, например, поскольку

,

тогда разность сил давления на левую и правую грань (вдоль оси ОХ) равна

.

Аналогично находим результирующие давления на оси Y и Z. Они будут соответственно равны

и .

Скорость движения жидкости в точке М и ее компоненты изменяется с изменением координат и времени. Тогда проекции ускорения выделенного объема жидкости равны:

,

а силы инерции определятся как произведения этих ускорений на массу параллелепипеда:

.

Уравнения движения выделенного объема жидкости в проекциях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде:

; ;

.

Разделив эти уравнения почленно на массу элемента , получим уравнения движения жидкости, отнесенные к единице массы:

; ; . (1)

Полученная система дифференциальных уравнений носит название уравнений движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения. Смысл каждого из уравнений заключается в следующем − полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления. Уравнения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, т.е. газа, а также для случая установившегося движения. Уравнения движения в форме Эйлера недостаточны для решения гидродинамических задач, так как число уравнений 3, а число неизвестных 5 ( ). К этим уравнениям необходимо добавить уравнение неразрывности движения

и так называемое характеристическое уравнение, которое устанавливает зависимость между плотностью жидкости, давлением и температурой: . Для случая несжимаемой жидкости . Для случая газообразной идеальной жидкости характеристическим уравнением является уравнение , где Т − абсолютная температура газа, Р − абсолютное давление газа, R − газовая постоянная. Для некоторых случаев движения предполагают, что плотность рассматриваемой среда зависит только от давленая и не зависит от температуры . Такая среда называется баротропной.