Исследование движения жидкости методами Лагранжа и Эйлера.

Изучение движения жидкости можно вести двумя методами: методом Эйлера и методом Лагранжа. В обоих методах жидкость рассматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая рассматриваемое пространство. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается "частица" бесконечно малых размеров, но не отождествляемая с молекулой или атомом. Вследствие этого рассматриваемая схема, неприменима к изучению молекулярных движений.

Метод Эйлера применяется для плотных жидкостей. Объектом изучения является, строго говоря, не сама жидкость, а неподвижное пространство, заполненное движущейся жидкостью; изучается изменение различных параметров, характеризующих движение в фиксированных точках пространства с течением времени, а также изменение этих параметров при переходе к другим точкам пространства. Таким образом, параметры, характеризующие движение, рассматриваются как функции координат точки и времени х, у, z, t, называемых переменными Эйлера. Например, рассматривается скорость в точке пространства, занятого движущейся жидкостью. Обозначим проекции скорости на оси координат, и для неустановившегося движения будем иметь:

Если движение жидкости непрерывное, то для нахождения траектории жидкой частицы следует иметь в виду:

, , .

− проекции элементарного перемещения на соответствующие оси координат. Проинтегрировав эти уравнения, получим уравнения траектории

и т.д., где а, b, с − начальные координаты частицы.

При неустановившемся движения все поле скоростей изменяется во времени.

Таким образом, в методе Эйлера объектами изучения являются поля, характеризующие движение (поле скоростей, поле ускорений, поле плотностей и др.).

По методу Лагранжа объектом изучения является сама движущаяся жидкость, т.е. отдельные ее частицы, рассматриваемые как материальные точки, которые сплошь заполнят некоторый движущийся объем, и изучается движение отдельных частиц жидкости вдоль их траекторий. Пусть в начальный момент координаты некоторой частицы жидкости a, b, c. У других частиц начальные координаты другие. Затем каждая частица движется по своей траектории. Текущие координаты х, у, z некоторой частицы являются функциями четырех переменных: времени t, и начальных координат a, b, c. Эти переменные называются переменными Лагранжа. Тогда:

Движение жидкости вполне определено, если эта система уравнений известна. Задаваясь начальными координатами a, b, c, получим текущие координаты для выбранной частицы. Скорости частицы определяются как первые производные координаты по времени от координат х, у, z. Проекции скорости находятся из условия:

, , .

Ускорения определяются как вторые производные по времени. Направления векторов скорости и ускорения находятся при помощи направляющих косинусов. Траектория любой частицы определяется непосредственно из системы уравнений путем вычисления координат х, у, z выбранной частицы для ряда моментов времени. Итак, по методу Лагранжа берется частица жидкости и исследуется движение этой частицы за промежуток времени , .

Метод Лагранжа применяется в динамике разряженных сред, например, в космическом пространстве, где расстояние между молекулами газа соизмеримо с размерами летательных аппаратов и необходимо изучать движение каждое частицы в отдельности.

В ГГД плотных сред в большинстве случаев применяется более простой метод Эйлера.