Раздел 3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА И ПОСТОЯННЫЙ ТОК

Электростатика

· Закон Кулона. Сила F взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов q₁ и q₂ прямо пропорциональна величине каждого заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

, или , или .

Здесь k – постоянная, равная ; ε₀ – электрическая постоянная; e – диэлектрическая проницаемость среды. Для вакуума по определению .

· Диэлектрическая проницаемость среды e показывает, во сколько раз взаимодействие зарядов в среде ослабляется по сравнению с вакуумом:

, или ,

где F – сила взаимодействия зарядов в среде, F₀ – в вакууме; E – напряжённость поля в среде, E₀ – в вакууме.

· Закон сохранения заряда.В замкнутой (точнее, электрически изолированной, то есть не обменивающейся зарядами с окружающей средой) системе алгебраическая сумма электрических зарядов сохраняется:

.

· Напряжённость электростатического поля в данной точке:

,

где – сила, действующая на пробный точечный заряд q, помещённый в данную точку поля.

· Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в точку электрического поля с напряжённостью :

.

· Принцип суперпозиции. Напряжённость поля, созданного в данной точке системой зарядов, равна векторной сумме напряжённостей полей, созданных в этой точке каждым зарядом: . В случае непрерывного распределения зарядов: . Интегрирование ведётся по всему объёму, в котором расположены заряды.

В случае двух электрических полей с напряженностями и модуль результирующего вектора напряженности:

,

где – угол между векторами и (рис. 3.1).

· Линейная плотность заряда, распределенного по нити (цилиндру) есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу её длины:

.

· Поверхностная плотность заряда, распределённого по поверхности, есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу площади этой поверхности:

.

· Объёмная плотность заряда – это заряд единицы объёма:

.

· Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда

.

· Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:

а) внутри сферы (r<R) E=0;

б) на поверхности сферы (r=R) ;

в) вне сферы (r>R) .

· Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью

,

где s – поверхностная плотность заряда.

· Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда (поле плоского конденсатора)

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

· Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром при r>R, R – радиус цилиндра) нарасстоянии r от нити (или оси цилиндра):

,

где t – линейная плотность заряда.

· Поток вектора напряженности электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное поле:

, или ,

где – площадь элемента поверхности; E_n – проекция вектора напряженности на нормаль (рис. 3.2); – элементарный поток, пронизывающий малую площадку; – угол между вектором напряженности и нормалью к элементу поверхности;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле:

.

· Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность:

,

где интегрирование ведётся по всей поверхности.

· Вектор электрического смещения– вспомогательная характеристика электрического поля, равная

,

где e – диэлектрическая проницаемость, ε₀ – электрическая постоянная, – напряжённость поля. Вектор описывает поле только свободных зарядов (в отличие от напряжённости поля , описывающей суммарное поле свободных и связанных, индуцированных зарядов). Соотношение справедливо только дляизотропных диэлектриков.

· Теорема Остроградского – Гаусса. Поток Ф_E вектора напряженности через любую замкнутую поверхность:

,

где – алгебраическая сумма зарядов (свободных и связанных), заключенных внутри замкнутой поверхности; п – число зарядов.

· Теорема Остроградского – Гаусса для электрического смещения . Поток Ф_D вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен

,

где – алгебраическая сумма свободных зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности; п – число зарядов.

· Циркуляция векторного поля–это интеграл по замкнутому контуру вектора напряжённости поля. Для электростатического поля циркуляция напряжённости:

, или ,

где – проекция вектора напряженности в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке, a – угол между вектором напряженности и элементом контура (рис. 3.3).

· Теорема о циркуляции:циркуляция вектора напряжённости электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю:

.

· Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии r друг от друга:

,

где e – диэлектрическая проницаемость среды; ε₀ – электрическая постоянная.

· Потенциал данной точки поля – это энергия единичного положительного точечного пробного заряда, помещённого в данную точку поля:

.

Потенциал данной точки поля численно равен работе по перемещению единичного точечного пробного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность: . Потенциал бесконечно удалённой точки считается равным нулю. Если точечный заряд q поместить в точку поля, имеющую потенциал φ, то энергия заряда равна .

· Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии r от заряда:

.

· Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы

- внутри и на поверхности сферы ( ): ;

- вне сферы (r>R): .

Здесь e – диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.

· Принцип суперпозиции. Потенциал, созданный в данной точке системой зарядов q_i, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных в данной точке каждым зарядом системы в отдельности:

.

В случае непрерывно распределённых зарядов: . Здесь интеграл берётся по всей области, где локализованы заряды, а потенциал dφ создаётся зарядом , локализованным в элементарном малом объёме dV; ρ – объёмная плотность заряда.

· Потенциал электрического поля, созданного системой пточечных зарядов в данной точке, равен алгебраическойсуммепотенциалов j₁, j₂, ... , j_n полей, создаваемых отдельными точечными зарядами q₁, q₂, ..., q_n:

.

· Потенциальная энергия W взаимодействия системы точечных зарядов q₁, q₂, ..., q_n:

,

где – потенциал поля, создаваемого всеми (п–1) зарядами (за исключением i-го) в точке, где расположен заряд q_i. Энергия системы зарядов равна работе, которую эта система зарядов совершает при удаленииих относительно друг друга в бесконечность: .

· Связь потенциала и напряженности электрического поля:

, или .

Здесь . Интегрирование производится по любому контуру, соединяющему точки 1 и 2; – проекция вектора напряженности в данной точке контура на направление касательной к контуру в той же точке. В проекциях на любую ось:

.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией:

, или .

В случае однородного поля (когда напряженность в каждой точке поля одинакова как по модулю, так и по направлению:

,

где j₁ и j₂ – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль силовой линии поля.

· Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал j₁, в другую, имеющую потенциал j₂, равна

, или ,

где – проекция вектора напряженности на направление перемещения; dl – перемещение. В случае однородного поля:

,

где l – перемещение; – угол между векторами напряжённости поля и перемещения .

· Диполь (электрический диполь) – система двух одинаковых по величине противоположных по знаку точечных зарядов q и –q (рис. 3.4). Плечо диполя – вектор, начинающийся на отрицательном заряде и оканчивающийся на положительном. Диполь называетсяточечным, если его плечо l много меньше расстояния r до точек наблюдения (l<<r).

· Дипольный момент электрического диполя – вектор, равный произведению модуля заряда диполя на плечо диполя:

.

· Напряженность поля точечного диполя в точке А (рис. 3.4) с радиус-вектором , образующим угол α с вектором дипольного момента:

, или .

· Потенциал поля точечного диполя в точке А (рис. 3.4) с радиус-вектором , образующим угол α с вектором дипольного момента:

, или .

· Механический момент сил, действующий на диполь в электрическом поле:

; или ,

где – электрический дипольный момент, – напряжённость поля, α – угол между ними.

· Сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле. В неоднородном электрическом поле, кроме механического момента (пары сил), на диполь действует сила, проекция которой на произвольную ось OX равна:

,

где p_e – дипольный момент, – быстрота изменения поля вдоль оси OX, α – угол между дипольным моментом и вектором напряжённости. Если угол α острый, диполь втягивается в область сильного поля, если тупой – выталкивается.

· Потенциальная энергия диполя в электрическом поле:

,

где – электрический дипольный момент, – напряжённость поля, – угол между ними.

· Электрическая ёмкость проводника:

,

где – заряд, сообщенный проводнику; – изменение потенциала проводника , вызванное этим зарядом. Или: ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу: . (Считается, что потенциал бесконечно удалённой точки равен нулю.)

· Электрическая ёмкость уединенной проводящей сферы (шара) радиусом R,находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε:

.

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость её от этого не изменяется.

· Электрическая ёмкость конденсатора:

,

где – заряд конденсатора; – разность потенциалов обкладок конденсатора.

· Связь между напряженностью поля плоского конденсатора и напряжением на нём:

,

где d – расстояние между обкладками.

· Электрическая ёмкость:

- плоского конденсатора (рис. 3.5):

,

где S – площадь пластин (каждой пластины); d – расстояние между ними (d много меньше размера пластин); ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами;

- плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектрика толщиной каждый с диэлектрическими проницаемостями , (слоистый конденсатор, рис. 3.6):

;

- сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусами R₁и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, рис. 3.7):

;

- цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной l и радиусами R₁и R₂, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, рис. 3.8) при условии l >>R:

.

· Общая ёмкость при параллельном соединении конденсаторов:

,

где п – число конденсаторов. Для двух конденсаторов: . Для п одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С₁ каждый: .

· Общая ёмкость при последовательном соединении конденсаторов:

,

где п – число конденсаторов. Для двух конденсаторов: . Для п одинаковых конденсаторов с электроёмкостью С₁ каждый: .

· Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал φ и электрическую ёмкость С проводника следующими соотношениями:

.

· Энергия заряженного конденсатора

где С – электрическая ёмкость конденсатора, q – его заряд, U – разность потенциалов на его пластинах.

· Объёмная плотность энергии – это энергия единицы объёма:

, или .

· Объёмная плотность энергии электростатического поля:

, или ,

где Е – напряжённость поля, D – электрическое смещение.

Электрический ток

· Сила тока – отношение заряда , прошедшего через сечение проводника, к промежутку времени , за которое заряд был перенесён:

.

Сила тока – производная заряда по времени. Только в случае, когда ток постоянный, можно использовать формулу

,

где – заряд, прошедший через сечение проводника за время .

· Плотность электрического тока – это сила тока , приходящаяся на единицу площади сечения проводника :

, или, точнее, .

· Плотность электрического тока – это вектор, равный:

;

,

Здесь – концентрация свободных носителей заряда в проводнике, – заряд каждой частицы, – средняя скорость их направленного движения, – единичный вектор, сонаправленный с направлением движения положительных носителей заряда.

· Сопротивление однородного проводника

,

где ρ – удельное сопротивление вещества проводника; l – его длина; S – его сечение.

· Проводимость G проводника и удельная проводимость γ вещества

; .

· Зависимость сопротивления R и удельного сопротивления ρот температуры:

; ,

где ρ₀ (R₀) – удельное сопротивление (сопротивление) при температуре 0⁰С; t –температура (по шкале Цельсия); – температурный коэффициент сопротивления.

· Сопротивление при последовательном соединении проводников:

· Сопротивление при параллельном соединении проводников:

.

Здесь R_k – сопротивление k-го проводника; N – число проводников.

· Электродвижущая сила (ЭДС) численно равна работе сторонних сил по перемещению единичного заряда по замкнутой цепи. Или: ЭДС равна работе сторонних сил по перемещению точечного заряда по замкнутой цепи, отнесённой к величине этого заряда:

.

· Закон Ома:

- для неоднородного участка цепи (участка, содержащего ЭДС):

;

- для однородного (не содержащего ЭДС) участка цепи:

;

- для замкнутой цепи: .

Здесь (φ₁–φ₂) – разность потенциалов на концах участка цепи; ε – ЭДС источника тока, U – напряжение на участке цепи; R – сопротивление цепи (участка цепи); r – внутреннее сопротивление источника тока.

· Первое правило Кирхгофа.Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

,

причём токи, заходящие в узел, надо брать в этой сумме с положительным знаком, выходящие из узла – с отрицательным. Здесь N – число токов, сходящихся в узле.

· Второе правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений на всех участках любого замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в данный контур:

.

Здесь – сила тока на i-мучастке; – сопротивление i-тогоучастка; – ЭДС источников тока на i-мучастке; п – число участков, содержащих сопротивления; k – число участков, содержащих источники тока. Правило знаков: если направление тока на данном участке совпадает с направлением обхода контура, то произведение надо брать с положительным знаком; иначе – с минусом. Если ЭДС при обходе контура проходим от минуса к плюсу, то надо брать с плюсом; иначе – с минусом.

· Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами на участке цепи постоянного тока за время t:

.

В случае непостоянного тока работа равна:

.

· Мощность тока

.

· Закон Джоуля-Ленца для постоянного тока:

,

где Q – количество теплоты, выделяющееся в участке цепи при протекании постоянного тока за время t. В случае непостоянного тока:

; .

Здесь – мгновенная сила тока. Закон Джоуля-Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нём не совершаются химические превращения

· Коэффициент полезного действия источника тока (см.рис. 3.9):

.

Задачи к разделу 3

161. Три одинаковых точечных заряда нКл находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а=10 см. Определить модуль и направление силы, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

162. Два положительных точечных заряда и закреплены на расстоянии d=100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

163. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол . Шарики погружают в масло. Какова плотность масла ρ, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается тем же? Плотность материала шариков кг/м³, диэлектрическая проницаемость масла ε=2,2.

164. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Кл. Какой отрицательный заряд нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрицательного заряда?

165. Тонкий стержень длиной l=10 см заряжен равномерно зарядом q=100 нКл. На продолжении оси стержня на расстоянии d=20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

166. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ=10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии d=20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

167. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ=10 мкКл/м. На перпендикуляре к оси стержня, идущем из его середины, находится точечный заряд нКл. Расстояние от стержня до заряда d=20 см. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

168. Тонкая нить длиной l=20 см заряжена равномерно зарядом q=2 нКл. На расстоянии d=10 см от нити против ее середины находится точечный заряд нКл. Определить силу, действующую на этот заряд со стороны нити.

169. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен. Сила, действующая со стороны стержня на точечный заряд нКл, находящийся на расстоянии d=20 см от стержня вблизи его середины, равна 9 мН. Каковалинейная плотность заряда стержня?

170. Тонкое кольцо радиусом см несет равномерно распределенный заряд мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном из его середины, находится точечный заряд нКл. Какова сила, действующая со стороны заряженного кольца на заряд , если он удален от центра на расстояние: 1) d₁=20 см; 2) d₂=2 м?

171. Тонкий стержень длиной l=12 см заряжен с линейной плотностью τ=200 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии d=5 см от стержня, напротив его середины.

172. Тонкий стержень длиной l=12 см заряжен с линейной плотностью τ=400 нКл/м. Найти напряженность электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, проведенному через один из его концов на расстоянии d=8 см.

173. Определить напряженность поля, создаваемого зарядом, равномерно распределенным по тонкому прямому стержню длиной l=40 см с линейной плотностью τ=200 нКл/м в точке, лежащей на продолжении оси стержня на расстоянии d=20 см от ближайшего конца.

174. Напряженность нормального электрического поля земной атмосферы в среднем равна Е=130 В/м и направлена вертикально вниз. Какое ускорение сообщает поле пылинке массой m=100 нг, несущей положительный заряд Q=16 аКл? (а – атто=10^-18.)

175. Заряд Q=20 нКл равномерно распределен на металлической нити длиной l=1 м. Определить напряженность поля в точке, находящейся на расстоянии d=10 см от нити и равноудаленной от её концов.

176. По тонкому кольцу радиусом см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=0,2 мкКл/м. Определить напряженность электрического поля, создаваемого распределенным зарядом на оси кольца в точке, находящейся на расстоянии d=2R от его центра.

177. По тонкому полукольцу равномерно распределен заряд Q=31.4 нКл с линейной плотностью τ=0,1 мкКл/м. Определить напряженность электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кривизны полукольца.

178. По четверти тонкого кольца радиусом см равномерно распределен заряд Q=0,05 мкКл. Определить напряженность электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кольца.

179. По тонкому кольцу радиусом R равномерно распределен заряд Q=10 нКл с линейной плотностью τ=0,01 мкКл/м. Определить напряженность электрического поля, создаваемого распределенным зарядом на оси кольца в точке, находящейся на расстоянии d=R от его центра.

180. По двум третям тонкого кольца радиусом см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=0,2 мкКл/м. Определить напряженность электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке, совпадающей с центром кольца.

181. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ и σ₂. Требуется: 1) используя теорему Остроградского-Гаусса, найти зависимость напряженности электрического поля от расстояния для областей: I, II и III (рис. 3.10). Принять σ₁=4σ, σ₂=σ; 2) вычислить напряженность поля в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора напряженности. Принять σ=30 нКл/м², r=1,5R; 3) построить график .

182. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ и σ₂. Требуется: 1) используя теорему Остроградского-Гаусса, найти зависимость напряженности электрического поля от расстояния для областей: I, II и III (рис. 3.10). Принять σ₁=σ, σ₂=–σ; 2) вычислить напряженность поля в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора напряженности. Принять σ=0,1 мкКл/м², r=3R; 3) построить график .

183. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ и σ₂. Требуется: 1) используя теорему Остроградского-Гаусса, найти зависимость напряженности электрического поля от расстояния для областей: I, II и III (рис. 3.10). Принять σ₁= –4σ, σ₂=σ; 2) вычислить напряженность поля в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора напряженности. Принять σ=50 нКл/м², r=1,5R; 3) построить график .

184. На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями σ₁ и σ₂. Требуется: 1) используя теорему Остроградского-Гаусса, найти зависимость напряженности электрического поля от расстояния для областей: I, II и III (рис. 3.10). Принять σ₁= –2σ, σ₂=σ; 2) вычислить напряженность поля в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора напряженности. Принять σ=0,1 мкКл/м², r=3R; 3) построить график .

1