Основы теории максвелла дляэлектромагнитногополя

§137.Вихревое электрическое поле

Из закона Фарадея [см. (123.2)] следует, что любое измене-

ние сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к воз- никновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляет- ся индукционный ток. Следовательно, возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Однако ЭДС в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторон- ние силы — силы неэлектростатическо- го происхождения (см. § 97). Поэтому в данном случае встает вопрос о приро- де сторонних сил.

Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре. Их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они не дей- ствуют на неподвижные заряды. Макс- велл высказал гипотезу, что всякое пе-

ременное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электричес- кое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появля- ется ЭДС, играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле.

Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле циркуляция ко- торого, по (123.3),

(137.1)

где — проекция вектора на на- правление

и е [ с м

Подставив в формулу (137.1) выра- ж е н . (120.2)], полу- чим

Если поверхность и контур непод- вижны, то операции дифференцирова-

ния и интегрирования можно поменять местами. Следовательно,

(137.2)

Рис. 198

где символ частной производной под- черкивает тот факт, что интеграл

является функцией только времени.

Согласно (83.3), циркуляция векто- ра напряженности электростатическо- го поля (обозначим его ВДОЛЬ лю- бого замкнутого контура равна нулю:

(137.3)

Сравнивая выражения (137.1) и (137.3), видим, что между рассматрива- емыми полями EQ) имеется прин- ципиальное различие: циркуляция век- тора в отличие от циркуляции век- тора не равна пулю. Следовательно, электрическое поле возбуждаемое магнитным полем, как и само магнит- ное поле (см. § является вихревым.

§ 138. Ток смещения

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбужда- ет в окружающем пространстве вихре- вое электрическое поле, то должно су- ществовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля долж- но вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного по- ля. Для установления количественных отношений между изменяющимся элек- трическим полем и вызываемым им маг- нитным полем Максвелл ввел в рассмот- рение так называемый ток смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 198). Между обкладками заряжающегося и

разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэто- му, согласно Максвеллу, через конден- сатор «протекают» токи смещения, при- чем в тех участках, где отсутствуют про- водники.

Найдем количественную связь меж- ду изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полями. По Максвеллу, переменное электриче- ское поле в конденсаторе в каждый мо- мент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора ток смеще- ния, равный току в подводящих прово- дах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (/) и смещения рав- ны:

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

(138.1)

(поверхностная плотность заряда а на обкладках равна электрическому сме- щению D в конденсаторе [см. Подынтегральное выражение в (138.1) можно рассматривать как частный слу- чай скалярного произведения

когда и взаимно параллельны. Поэтому для общего случая можно за- писать

Сравнивая это выражение с I= [см. (96.2)], имеем

(138.2)

Выражение (138.2) и было названо Мак- свеллом плотностью тока смещения. Рассмотрим, каково же направление векторов плотностей токов проводимо- сти и смещения (j При зарядке конденсатора (рис. 199, а) через провод- ник, соединяющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой, поле в кон- денсаторе усиливается, следовательно, т. е. вектор направлен в ту же сторону, что и D. Из рисунка видно,

что направления векторов падают.

При разрядке конденсатора (рис.

199, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой, поле в конденсаторе ослабля- ется; следовательно, т. е. вектор направлен противоположно векто-

ру Однако вектор направлен опять так же, как и вектор

Изразобранных примеров следует,

что направление вектора j, аследова-

телыю, и совпадает с направ-

лением вектора , как это и следует из формулы (138.2).

Подчеркнем, что из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окру- жающем пространстве магнитное поле. Таким образом, ток смещения (в ваку- уме или веществе) создает в окружаю- щем пространстве магнитное поле (ли- нии индукции магнитных полей токов смещения при зарядке и разрядке кон- денсатора показаны на рис. 199 штри- ховыми линиями).

В диэлектриках ток смещения состо- ит из двух слагаемых. Так как, соглас- но (89.2), = + где - напря- женность электростатического поля, поляризованность(см. § 88), то

плотность тока смещения

где — плотность тока смеще- ния в вакууме; — плотность тока

поляризации — тока, обусловленного упорядоченным движением электри- ческих зарядов в диэлектрике (смеще- ние зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных мо- лекулах).

Возбуждение магнитного поля тока- ми поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости. Однако то, что и другая часть плотнос- ти тока смещения не связан- ная с движением зарядов, а обусловлен- ная только изменением электрическо- го поля во времени, также возбуждает

магнитное поле, является принципиаль- но новым утверждением Максвелла. Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля приводит к возникновению в окружающем про- странстве магнитного поля.

Следует отметить, что название «ток смещения» является условным, а точ- нее исторически сложившимся, так как ток смещения по своей сути — это из- меняющееся со временем электричес- кое поле. Ток смещения поэтому суще- ствует не только в вакууме или диэлек- триках, но и внутри проводников, по ко- торым проходит переменный ток. Од- нако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимос- ти. Наличие токов смещения подтверж- дено экспериментально А.А.Эйхен- вальдом, изучавшим магнитное поле тока поляризации, который, как следу- ет из (138.3), является частью тока сме- щения.

Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимо- сти (а также конвекционных токов) и смещения. Плотность полного тока

Введя понятия тока смещения и пол- ного тока, Максвелл по-новому подо- шел к рассмотрению замкнутости цепей переменного тока. Полный ток в них всегда замкнут, т.е. наконцах провод- ника обрывается лишь ток проводимо- сти, ав диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток сме- щения, который замыкает ток проводи- мости.

Максвелл обобщил оцир- куляции вектора Н [см. (133.10)], вве- дя в ее правую часть полный ток =

=сквозь поверхность S, на-

тянутую на замкнутый контур L. Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора Н запишется в виде

Выражение (138.4) справедливо все- гда, свидетельством чего является пол- ное соответствие теории и опыта.

§139.УравненияМаксвелла для электромагнитного поля

Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической тео- рии электромагнитного поля, позво- лившей с единой точки зрения не толь- ко объяснить электрические и магнит- ные явления, но и предсказать новые, существование которых было впослед- ствии подтверждено.

В основе теории Максвелла лежат рассмотренные выше четыре уравне- ния:

1. Электрическое поле (см. § 137) может быть как потенциальным (EQ), так и вихревым поэтому напря- женность суммарного поля Е-— + Так как циркуляция вектора равна нулю [см. (137.3)], а циркуляция век- тора определяется выражением (137.2), то циркуляция вектора напря- женности суммарного поля

Это уравнение показывает, что ис- точниками электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнит- ные ноля.

2. Обобщенная теорема о циркуля- ции вектора Н [см. (138.4)]:

Это уравнение показывает, что маг- нитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электриче- скими токами), либо переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для поля D [см. (89.3)]:

(139.1)

Если заряд распределен внутри зам- кнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью р, то формула (139.1) запишется в виде

4. Теорема Гаусса для поля [см. (120.3)]:

Итак, полная система уравнений Максвелла в интегральной форме.

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегтетоэлектри- ческие и неферромагпитпые среды):

где и — соответственно электриче- ская и магнитная постоянные; и — соответственно диэлектрическая и маг- нитная проницаемости; — удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо изменяющиеся во времени маг- нитные поля, а магнитные поля могут возбуждаться либо движущимися элек- трическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электри- ческими полями. Уравнения Максвел- ла не симметричны относительно элек- трического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существу- ют электрические заряды, по отсутству- ют магнитные.

Для стационарных полей (Е — const и В — const) уравнения Максвелла при- мут вид

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только элек- трические заряды, а источниками маг- нитного — только токи проводимости. В данном случае электрические и маг- нитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно посто- янные электрическое и магнитное поля. Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса

и Гаусса

можно представить полную систему уравнений Максвелла в дифференци- альной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе фор- мы уравнений Максвелла — интеграль- ная идифференциальная — эквивален- тны. Однако если имеются поверхнос- тиразрыва — поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифферен- циальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы дос- тичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, диф- ференциальную форму дополняют гра- ничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред. Интег- ральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия. Они были рас- смотрены раньше (см. § 90, 134):

(первое и последнее уравнения отвеча- ют случаям, когда па границе раздела нет ни свободных зарядов, ни токов проводимости).

Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Они играют в учении об электромагне- тизме такую же роль, как законы Нью- тона в механике. Из уравнений Макс- велла следует, что переменное магнит- ное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с по- рождаемым им магнитным, т.е. элект- рическое и магнитное поля неразрыв-

но связаны друг с другом — они обра- зуют единое электромагнитное поле. Теория Максвелла, являясь обобще- нием основных законов электрических и магнитных явлений, не только смог- ла объяснить уже известные экспери- ментальные факты, что также являет- ся важным ее следствием, но и предска- зала новые явления. Одним из важных выводов этой теории явилось существо- вание магнитного поля токов смещения (см. § 138), что позволило Максвеллу предсказать существование электро- магнитных волн — переменного элек- тромагнитного ноля, распространяю- щегося в пространстве с конечной ско-

ростью.

В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанно- го с зарядами и токами) в вакууме рав- на скорости света с = 3 * 108 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн приве- ли Максвелла к созданию электромаг- нитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электро- магнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немец- ким физиком (1857—1894), доказавшим, что законы их возбужде- ния и распространения полностью опи- сываются уравнениями Максвелла. Та- ким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.

К электромагнитному полю приме- ним только принцип относительности Эйнштейна, так как факт распростране- ния волн в вакууме

во всех системах отсчета с одинаковой скоростью с не совместим с относительности Галилея.

Согласно принципу относитель- ностиЭйнштейна,механические,оп- тические и электромагнитные явления во всех системах отсче-

та протекают одинаково, т. е. описыва- ются одинаковыми уравнениями. Урав- нения Максвелла инвариантны относи- тельно преобразований Лоренца: их вид не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к дру- гой, хотя величины Е, В, D, H в них пре- образуются по определенным прави- лам.

Из принципа относительности выте- кает, что отдельное рассмотрение элек- трического и магнитного полей имеет относительный смысл. Так, если элек- трическое поле создается системой не- подвижных зарядов, то эти заряды, яв- ляясь неподвижными относительно одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, сле-

довательно, будут порождать не толь- ко электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный относитель- но одной инерциальной системы отсче- та проводник с постоянным током, воз- буждая в каждой точке пространства постоянное магнитное поле, движется относительно других инерциальных систем, и создаваемое им переменное магнитное поле возбуждает вихревое электрическое поле.

Таким образом, теория Максвелла, ее экспериментальное подтверждение, а также принцип относительности Эй- нштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптиче- ских явлений, базирующейся на пред- ставлении об электромагнитном поле.

Контрольные вопросы

Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отли- чается от электростатического поля?

Чему равна циркуляция вихревого электрического поля?

Почему вводится понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет? Выведите и объясните выражение для плотности тока смещения.

Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме и объясните их физический смысл.

Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособлен- но друг от друга? Запишите для них уравнения Максвелла в обеих формах.

Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими? Какие основные выводы можно сделать па основе теории Максвелла?

ЧАСТЬ 4 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Глава 18