Кинетическая энергия вращения
Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвиж- ной оси z, проходящей через него. Мыс- ленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами
находящиеся расстоянии
..., от оси. При вращениитвер- дого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объе- мы массами опишут окружности раз- личных радиусов и будут иметь раз- личные линейные скорости 
26). Но так как мы рассматриваем абсолют-
Рис.26
Используя выражение (17.1), полу- чим
где 
—момент инерции тела относи- тельно z.
Таким образом, кинетическая энер- гия вращающегося тела
(17.2)
Из сравнения формулы (17.2) с вы- ражением (12.1) для кинетической энергии тела, движущегося поступа- тельно ( Т = ), следует, что, как
уже указывалось (см. § 16), момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении. Формула (17.2) справедлива для тела, вращаю- щегося вокруг неподвижной оси.
В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:
где — масса катящегося тела; — скорость центра масс тела; 
момент инерции тела относительно оси, прохо- 
через его центр масс; -- угло- вая скорость тела.
Рис. 29
§ 18. Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Для характеристики вращательного эффекта силы при действии ее на твер- дое тело вводят понятие момента силы. Различаютмоментысилыотноситель- но неподвижнойточкииотносительно неподвижнойоси.
Моментом силы относительно неподвижнойточки Оназываетсяфи- зическая величина М, определяемая век- торным произведением радиуса-векто- ра г, проведенного из точки О в точку Л приложения силы, на силу 
27):
где М— псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступатель- ного движения правого винта при его вращении от к F.
Модуль момента силы
(18.1)
где а — угол между 
= / — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.
 |
Рис.27 Рис.28
Моментом силы относительно неподвижнойосиzназываетсяскаляр- пая величина 
равная проекции на эту ось вектора Л/момента силы, опре- деленного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 28). Значе- ние момента 
не зависит от выбора положения точки О на оси z.
Если ось z совпадает с направлени- ем вектора М, то момент силы представ- ляется в виде вектора, совпадающего с осью:
Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 29). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии а — угол между направлением силы и радиусом-векто- ром Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, за- траченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения В проходит путь — работа равна произве- дению проекции силы на направление смещения на величину смещения:
(18.2)
Учитывая (18.1), можем записать
где 
— момент силы
относительно оси z. Таким образом, ра- бота при вращении тела равна произве- дению момента действующей силы на угол поворота.
Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:
Рис. 30
(18.3)
Уравнение (18.3) представляет со- бой уравнение динамики вращатель- ного движения твердого тела отно- сительнонеподвижнойоси.
Можно показать, что если ось z со- впадает с главной осью инерции (см.
§ 20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство
(18.4)
где J — главный момент инерции тела (момент инерции относительно глав- ной 
§ 19. Момент импульса и закон его сохранения
При сравнении законов вращатель- ного и поступательного движений про- сматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вме- сто силы «выступает» ее момент, а роль массы «выполняет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом им- пульса тела? Ею является момент им- пульса тела относительно оси.
Моментом импульса (количества движения) материальной точки А от- носительно неподвижной точкиО называется физическая величина, опре- деляемая векторным произведением:
= 
= 
где — радиус-вектор, проведенный из точки 
в точку 
р = — импульс
материальной точки (рис. 30); L — псев- довектор (см. § 4), его направление со- впадает с направлением поступательно- го движения правого винта при его вра- щенииот 
Модуль вектора момента импульса
где а — угол между векторами и 
— плечо вектора р относительно точки О. Моментом импульса относи- тельно неподвижной оси z называет- ся скалярная величина 
равная про- екции на эту ось вектора момента им- пульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса 
не зависит от по-
ложения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по ок- ружности постоянного радиуса с неко- торой скоростью Скорость и им- пульс перпендикулярны этому ради- усу, т. е. радиус является плечом вектора 
Поэтому можем записать, что мо- мент импульса отдельной частицы равен
(19.1)
и направлен по оси в сторону, опреде- ляемую правилом правого винта.
Момент импульса твердого тела
относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:
Используя формулу (17.1) 
получим
тельно оси равна моменту сил относи- тельно той же оси.
Можно показать, что имеет место векторное равенство
т.е.
(19.2)
(19.3)
В замкнутой системе момент вне-
Таким образом, момент импульса
твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцируем уравнение (19.2) повремени:
т.е.
Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движениятвердоготелаотноситель- но неподвижной оси: производная мо- мента импульса твердого тела относи-
шних сил М = 0 и — — 
откуда
dt
L = const. (19.4)
Выражение (19.4) представляет со- бой закон сохранения момента им- пульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяет- ся с течением времени.
Закон сохранения момента импуль- са — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства— егоизотропностью, е. с инвариантностью физических зако- нов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (отно- сительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).
 |
2
31
Продемонстрировать закон сохране- ния момента импульса можно с помо- щью скамьи Жуковского. Пусть чело- век, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий на вытянутых руках гантели (рис. 31), во враще- ние с угловой скоростью Если чело- век прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. По- скольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохра- няется и угловая скорость вращения возрастает. Аналогично, гимнаст во вре- мя прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы умень- шить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость 
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его по- ступательное движение (табл. 2).
§ 20. Свободные оси. Гироскоп
Для того чтобы сохранить положе- ние оси вращения твердого тела с тече- нием времени неизменным, использу- ют подшипники, в которых она удержи-
вается. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения).
Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендику- лярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить сво- бодными осями (они называются глав- ными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного пря- моугольного параллелепипеда прохо- дят через центры противоположных граней (рис. 32).
Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его гео- метрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпен- дикулярной геометрической оси ци- линдра. Главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпен- дикулярные оси, проходящие через центр масс.
Для устойчивости вращения боль- шое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения тела. Так, вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим мо- ментами инерции оказывается устойчи- вым, а вращение около оси со средним
Рис.33
моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму па- раллелепипеда, приведя его одновре- менно во вращение, то оно, падая, бу- дет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (см. рис. 32).
Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, зак- репленный к шпинделю центробежной машины, привести в быстрое вращение, то палочка будет вращаться в горизон- тальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной оси палочки и проходящей через ее середину (рис. 33). Это и есть ось свободного вращения (момент инерции при этом положении палочки максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свобод- ной оси, освободить от внешних связей (аккуратно снять верхний конец нити с крючка шпинделя), то положение оси вращения в пространстве в течение не- которого времени сохраняется.
Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широ- ко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные однородные тела, вращаю- щиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющей- ся свободной осью.
Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подвесе(рис. 34).Дискообразноетело —- гироскоп — закреплено на оси А А, ко- торая может вращаться вокруг перпен- дикулярной ей оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пе- ресекаются в одной точке С, являющей- ся центром масс гироскопа и остающей- ся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в про- странстве. Силами трения в подшипни- ках всех трех осей и моментом импуль- са колец пренебрегаем.
Рис. 34
Так как трение в подшипниках ма- ло, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его под- ставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью ос- новного закона динамики вращательно- го движения.
Для свободно вращающегося гирос- копа сила тяжести не может изменить ориентацию его свободной оси, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения Ссовпадает с центром масс), а момент силы тяжести относи- тельно закрепленного центра масс ра- вен пулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если мо- мент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (19.4), L = const, т.е. момент импульса гирос- копа сохраняет свою величину и на- правление в пространстве. Следова- тельно, вместе с ним сохраняет свое положение в пространстве и ось гирос- копа.
Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходи- мо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент
Рис. 35
внешних сил, приложенных к вращаю- щемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблю- дается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно со- стоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа 
(рис. 35) поворачиваетсявокругпрямой 
а невокругпрямой как это казалось бы естественным на первый взгляд (
лежат в плоскости чертежа, а силы F перпендикулярны ей).
Гироскопический эффект объясня- ется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой 
За время dt момент импульса L получит приращение dL —
= (направление 
совпадает с на- правлением М) и станет равным L' =
= L + 
Направление вектора L' со- впадает с новым направлением оси вра- щения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой 
Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и ве- лик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к измене- нию ориентации оси вращения гирос- копа в пространстве. Для ее изменения
следует прикладывать силы в течение длительного времени.
Если ось гироскопа закреплена под- шипниками, то вследствие гироскопи- ческого эффекта возникают так назы- ваемые гироскопические силы, дей- ствующие на опоры, в которых враща- ется ось гироскопа. Их действие необ- ходимо учитывать при конструирова- нии устройств, содержащих быстровра- щающиеся массивные составные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсче- та и являются частным случаем корио- лисовой силы инерции (см. § 27).
Гироскопы применяются в различ- ных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гирос- копов — поддержание заданного на- правления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При вся- ком отклонении от курса вследствие ка- ких-то воздействий (волны, порыва ветра и т.д.) положение оси гироскопа в пространстве сохраняется. Следова- тельно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается от- носительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помо- щью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.
Впервые гироскоп применен фран- цузским физиком Ж.Фуко (1819 — 1868) для доказательства вращения Земли.
§ 21. Деформации твердого тела
Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсо- лютно твердого тела. Однако в приро-
де абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил из- меняют свою форму и размеры, т.е. де- формируются.
Деформация называется упругой, если после прекращения действия вне- шних сил тело принимает первоначаль- ные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после пре- кращения действия внешних сил, назы- ваются пластическими (или оста- точными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рас- сматривать упругие деформации, что мы и будем делать.
В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяже- ния или сжатия и сдвига.
Рассмотрим однородный стержень длиной 
и площадью поперечного се- чения S (рис. 36), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы 
и 
= 
— F), в ре- зультате чего длина стержня меняется на величину А/. Естественно, что при растяжении 
положительно, а при сжатии отрицательно.
При деформации тела возникают силы упругости. Физическая величина, определяемая модулем силы упругос- ти, действующей на единицу площади поперечного сечения тела, называется напряжением:
(21.1)
Рис. 36
ной к поверхности — тангенциаль- ным.
Количественной мерой, характери- зующей степень деформации, испыты- ваемой телом, является его относи- тельная деформация. Так, относи- тельное изменение длины стержня (продольная деформация)
(21.2)
относительное поперечное растяжение (сжатие)
где d — диаметр стержня.
Деформации и 
всегда имеют раз- ные знаки(прирастяжении А/ положи- тельно, a 
отрицательно, при сжатии 
отрицательно,а 
положительно). Из опыта вытекает взаимосвязь е и 
где — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала и на- зываемый коэффициентом Пуассона1. Английский физик Р.Гук (1635 — 1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинениее инапряжениеапропорци-
ональны друг другу:
Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называет- ся нормальным, если же по касатель-
(21.3)
1 С.Пуассон (1781 — 1840) — французский ученый.
где Е — коэффициент пропорциональ- ности, называемый модулем Юнга1.
Из выражения (21.3) видно, что мо- дуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлине- ние, равное единице.
Из формул (21.2), (21.3) и (21.1)
вытекает, что
 |
или
где к — коэффициент упругости.
Выражение (21.4) также определя- ет закон Гука, согласно которому удли- нение стержня при упругой деформа- ции пропорционально действующей на стержень силе.
Деформации твердых тел подчиня- ются закону Гука до известного преде- ла. Связь между деформацией и напря- жением представляется в виде диаграм- мы напряжений, качественный ход ко- торой мы рассмотрим для металличес- кого образца (рис. 37). Из рисунка вид- но, что линейная зависимость 
ус- тановленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называе- мого предела пропорциональности (ст,,). При дальнейшем увеличении пряжения деформация еще упругая (хотя зависимость ст(е) уже нелинейна) и до предела упругости 
остаточ- ные деформации не возникают.
За пределом упругости в теле возни- кают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в пер- воначальное состояние после прекра- щения действия силы, изобразится не кривой ВО, апараллельной
Напряжение, при котором
Т. — 
— 
ученый.
Рис. 37
ется заметная остаточная деформация 
0,2 %), называется пределом теку- чести 
— точка С на кривой. В об- ласти CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т.е. тело как бы «течет». Эта область называется об- ластью текучести (или областью пластических деформаций).
Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для которых же она практи- чески отсутствует — хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Макси- мальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется преде- лом прочности 
Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных фак- торов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил про- являть себя как хрупкое, а при длитель- ных, но слабых силах является текучим. Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стержня, которая равна работе, совершаемой вне-
шними силами при деформации:
где х — абсолютное удлинение стерж- ня, изменяющееся впроцессе деформа- ции от 0до Л/.Согласно закону Гука
(21.4), поэтому
Рис. 38
т. е. потенциальная энергия упругорас- тянутого стержня пропорциональна квадрату деформации
Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, име- ющий форму прямоугольного парал- лелепипеда, и приложить к нему силу 
(рис. 38), касательную к его поверх- ности (нижняя часть бруска закрепле- на неподвижно). Относительная де- формация сдвига определяется из фор- мулы
 |
где As — абсолютный сдвиг параллель- ных слоев тела относительно друг дру- га; h — расстояние между слоями (для малых углов
Контрольные вопросы
Что такое момент инерции тела?
Какова роль момента инерции во движении? Выведите формулу для момента инерции обруча.
Сформулируйте и поясните теорему Штейнера.
Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и как ее вывести?
Что называется силы относительно неподвижной точки? относительно не- подвижной оси? Как определяется направление момента силы?
Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется на- правление вектора момента импульса?
В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В ка- ких системах он выполняется? Приведите примеры.
Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона со- хранения момента импульса? Сопоставьте основные уравнения динамики поступатель- ного и вращательного движений, прокомментировав их аналогию.
Что такое 
оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми? Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?
Сформулируйте закон Гука. Когда он справедлив?
Дайте объяснение диаграммы напряжений такое пределы пропорциональнос- ти, упругости и прочности?
Каков физический смысл модуля Юнга?
ЗАДАЧИ
4.1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Опреде- лите: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) отношение скоростей в данный момент времени. [1) 14/15; 2) 
4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F= 100 Н. При вращении диска па него действует момент сил трения М=
= 2 Н • м. Определите массу т диска, если известно, что его угловое ускорение Е ПОСТОЯННО и равно 12 рад/с2. [32 кг]
4.3. 
Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой т = 1 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами = 1 кг и —
— 2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) отношения 
сил натяжения нити. [1) 2,8 м/с2; 2) 1,11]
4.4. 
Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2 м2, вращающегося при
торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшилась от = 300 
до =
= 180 мин"1. Определите: 1) угловое ускорение г колеса; 2) момент М силы торможения;
3) работу силы торможения. [1) 0,21 рад/с2; 2) 0,42 Н • м; 3) 630 Дж]
4.5. 
|
4.6. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растя- жении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм2, модуль Юнга для алюминия Е = 69 ГПа. 
= 0,03 ]
Глава 5