Метод электростатической аналогии

Между величинами, характеризующими электростатическое поле и электрическое поле постоянного тока в проводящей, существует полная математическая аналогия.

Аналогия электростатического поля в области, где нет свободных зарядов, и поля стационарных токов в проводящих средах, где нет сторонних сил, обусловлена полной аналогией соответствующих уравнений и граничных условий щ(табл.1).

Таблица 1

Электрическое поле постоянного тока	Электростатическое поле при отсут­ствии зарядов (r=0)

Можно сделать вывод об аналогии между зарядом q и током i , и между емкостью C и проводимостью g. Действительно, емкость между двумя телами, находящимися в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью ε , равна

. (1)

Проводимость между этими проводящими телами, помещенными в проводящую среду с удельной проводимостью можно записать как:

. (2)

Поделив (1) на (2), получим:

.

Отмеченная аналогия лежит в основе расчёта полей методом электростатической аналогии. Этот метод позволяет в ряде случаев при расчёте токов в проводящей среде воспользоваться готовыми аналитическими решениями аналогичных задач электростатики.

Аналогичными задачами являются задачи с одиаковой геометрией и одинаковми граничными условиями.

Расчёт тока утечки коаксиального кабеля

Изоляция коаксиального кабеля выполнена двухслойной (удельные проводимости : g₁ = 5·10^-8 См/м и g₂ = 2·10 ^-8 См/м; диэлектрические проницаемости e_r1 = 2 и e_r2 = 5). Напряжение U = 10 кВ. Геометрические размеры – r₁ = 1 мм, r₂ = 2 мм, r₃ = 3 мм.

Рис.3.3.

Найти удельные тепловые потери в окрестности точки М, проводимости и ёмкости между телами, построить схему замещения системы.

Воспользуемся аналогией между электрическим полем в проводящей среде и электростатическим. ёмкости слоёв данного кабеля:

C₁₀ = = = 160,4 пФ/м;

C₂₀ = = = 873,5 пФ/м.

Проводимости слоёв и всего кабеля на единицу длины:

g₁₀ = = = 0,454·10^-6 Cм/м;

g₂₀ = = = 0,310·10^-6 Cм/м;

g₀ = = = 0,1842 мкСм/м.

Плотность тока в окрестности точки М:

d = i₀/(2pr₂) = 1,841·10^-3/(2p ·2·10^-3) = 0,147 А/м².

Удельные тепловые потери в окрестности точки М в слоях изоляции:

p₁ = d ²/g₁ = 0,147²/(5·10^-8) = 0,432·10⁶ Вт/м³ = 0,432 МВт/м³;

p₂ = d ²/g₂ = 0,147²/(2·10^-8) = 1,08·10⁶ Вт/м³ = 1,08 МВт/м³.

Заземлитель в виде шара

Заземлитель в виде шара расположен на сравнительно не­большой глубине h, соизмеримой с его радиусом R (рис.3.5). На рис.3.5 указаны граничные условия.

Рис.3.5

Применим к решению задачи метод электростатической аналогии.

Аналогичная электростатическая задача представлена на рис.3.6,а.

Применим к решению задачи метод зеркальных отображений. Дополним верхнюю полуплоскость диэлектриком и зеркально расположим там такой же шар с зарядом q, при этом граничные усло­вия на поверхности раздела сред не из­менятся (рис.3.6,б) .

а)

б)

Рис.3.6

Расчёт потенциала поля в произ­вольной точке n производится по методу наложения:

.

При соотношении h>>R неравномерностью распределения заряда по поверхности шара пренебрегаем. Тогда потенциал на поверхности заземлителя будет ра­вен:

, откуда следует формула для определения емкости:

.

Для исходной задачи поля токов будем иметь.

.

Проводимость заземлителя:

.

Вопросы для самопроверки

1. Электрический ток является векторной или скалярной величиной?

2. Как определить емкость двухпроводной линии путем моделирования ее полем постоянных токов ?

3. Что такое "шаговое" напряжение, как его рассчитать?