Поле двух параллельных разноименно заряженных осей

Две разно­именно заряженные оси расположены параллельно на расстоянии 2b в ди­электрическом пространстве (рис.2.713).

Вектор напряженности поля равен геометрической сумме векторов, а результирующий потенциал ― ал­гебраической сумме потенциалов от каж­дого провода:

.

Рис.2.713. К определению поля двух линейных зарядов

Результирующий вектор напряженности поля равен геометрической сумме составляющих, а результирующий потенциал – ал­гебраической сумме составляющих от каж­дого провода:

Потенциал равен ал­гебраической сумме потенциалов от каж­дого провода:

.

Если принять в точках равноудалённых от обеих осей ( ), то постоянная интегрирования будет равна нулю (С=0).

Тогда получим: .

Эквипотенциальные поверхности удовлетворяют условию

или .

Гео­метрическим местом точек, отношение расстояний от которых до заданной пары точек по­стоянно, является окружность, центр которой лежит на линии, соединяющей заданную пару точек (т. Аполлония).

Действительно:

; .

После преобразований получаем уравнение окружности:

.

Координаты центра окружности равны: , y₀=0.

Радиус окружности:э .

Отсюда для любой линии равного потенциала .

Функция потока V определяется методом наложения с использованием

выражения (2.84):

,

где С₁= 0, если считать V = 0 при .

Уравнение любой силовой линии имеет вид:

или .

Семейство силовых линий поля образуют дуги окружностей , проходящих через заряженные оси, а центры окружностей расположены на оси симметрии (рис.2.814).

Уравнением дуги окружности является υ=const .

Координаты центра окружности: x₀=0; ;

Радиус окружности:

Чтобы подразделить поле на трубки равного потока, следует считать

разность одинаковой для двух соседних линий. Для этого необходимо изменять угол ϑ на постоянную величину Δϑ = const. Картина поля приведена на рис.2.814.

Рис.2.814. Поле двух заряженных осей

Электростатическое поле и емкость разноименно заряженных параллельных цилиндров. Поле двухпроводной линии

Разноименно заряженные параллельные цилиндры (рис.2.915) расположены в воздухе и имеют размеры R1; R2; D. Напряжение между цилиндрами U.

Заменим по­верхностные за­ряды проводов осевыми +t и -t, проводящую среду — диэлек­триком так, чтобы на поверхно­сти «проводов» остались эк­випотенциальными с теми же зна­чениями потенциалов и . Тогда согласно второму следствию из теоремы единственности поле в диэлектрике не изменится. Чтобы выполнить эти условия, линейные заряды проводов должны быть смещены относительно геометриче­ских осей цилиндров на некоторые расстояния и . Положение линейных зарядов называют электри­ческими осями.

Рис.2.915. Заряженные параллельные цилиндры

Заменим по­верхностные за­ряды проводов осевыми +t и -t, проводящую среду — диэлек­триком так, чтобы на поверхно­сти проводов сохранились прежние условия, а именно: эти поверхности должны остаться эк­випотенциальными с теми же зна­чениями потенциалов и . Тогда согласно второму следствию из теоремы единственности поле в диэлектрике не изменится. Чтобы выполнить эти условия, электри­ческие оси проводов должны быть смещены относительно геометриче­ских осей на некоторые расстояния и .

Для определения геометрических параметров имеем соотношения:

; ; .

Отсюда получаем: .

Аналогично: .

.

Потенциал любой точки равен:

,

где k ―- параметр линии потенциала при .

Разность потенциалов цилиндров равна: .

Здесь k₁ и k₂ ― значение k для контуров сечений проводников, являющихся линями равного потенциала

Имеем:

.

Отсюда, учитывая, что >1, получаем .

Аналогично, учитывая, что <1; .

Далее находим электрическую емкость цилиндров на единицу длиной lы:

.

и линейную плотность зарядов: .

Для двухпроводной линии h₁=h₂=h, R₁=R ₂=R. Тогда:

.

Для воздушных линий межосевое расстояние D многократно больше радиуса проводов R. В этом случае смещением электрических осей можно пренебречь (h-b 0) и счи­тать, что электрические оси проводов совпа­дают с геометрическими осями. Для таких линий полу­ченные выше расчётные фор­мулы будут иметь вид:

, .