Система относительных единиц

Представление любых физических величин не в обыч­ных для них соответствующих именованных единицах, а в относительных, безразмерных единицах позволяет существенно упростить некоторые теоретические вы­кладки и придать им более общий характер. Равным образом и в практических расчетах такое представление величин придает результатам большую наглядность и по­зволяет быстрее ориентироваться в порядке определяе­мых значений. Благодаря этому система относительных единиц широко используется, хотя на первый взгляд она может казаться несколько искусственной и даже излиш­ней.

С выражением величин в относительных единицах (в долях или процентах) читатель уже встречался при изучении электрических машин, где реактивности обычно выражают в долях единицы, напряжения короткого за­мыкания трансформаторов—в процентах, пусковые токи и моменты асинхронных двигателей—в кратностях от их номинальных значений и т. д. Теперь нам нужно по­знакомиться с системой относительных единиц в более широком аспекте, имея в виду использование ее при решении различных вопросов и задач для схем с произ­вольным числом всевозможных элементов.

Напомним, что под относительным значением какой-либо величины следует понимать ее отношение к другой одноименной величине, выбранной за единицу измерения. Следовательно, чтобы выразить отдельные величины в относительных единицах, нужно прежде всего выбрать те величины, которые должны служить соответственны­ми единицами измерения, или, как говорят, установить базисные единицы (или условия).

Пусть за базисный ток и базисное междуфазное на­пряжение приняты некоторые произвольные величины I_б и U_б. Тогда базисная мощность трехфазной системы, оче­видно, будет:

S_б=Ö3×U_бI_б (2-1)

и базисное сопротивление

z_б= (2-2)

т. е. оно подчинено закону Ома, чтобы обеспечить тож­дественную запись этого закона как в именованных, так и в относительных единицах.

Как видно, из четырех базисных единиц I_б, U_б, S_б и z_б только две могут быть выбраны произвольно, а две другие уже получаются из указанных соотношений. Фаз­ные и междуфазные базисные напряжения, а также фазные и линейные базисные токи связаны между собой известными соотношениями для симметричной трехфаз­ной системы. Следует особо подчеркнуть, что выбранные базисные единицы служат для измерения как полных ве­личин, так и их составляющих (активных, реактивных и пр.).

Таким образом, при выбранных базисных условиях относительные значения э. д. с., напряжения, тока, мощ­ности и сопротивления будут:

=E/U_б (2-3)

=U/U_б; (2-4)

=I/I_б; (2-5)

=S/S_б; (2-6)

= z/z_б, (2-7)

где звездочка указывает, что величина выражена в от­носительных единицах, а индекс (б) —что она приведе­на к базисным условиям. Эти индексы, как и многие другие, часто опускают, если смысл выражения ясен из текста.

Относительные фазные и междуфазные напряжения численно одинаковы; равным образом численно одинако­вы относительные фазная мощность и мощность трех фаз.

Используя (2-2), можно формальное определение от­носительного сопротивления по (2-7) представить в ином виде:

или, иначе,

(2-8)

(2-9)

где z—заданное сопротивление, ом на фазу;

I_б — базисный ток, ка (а);

U_б—базисное междуфазное напряжение, кв (в);

S_б—базисная мощность, Мва (ва).

Из последних выражений следует, что относительное сопротивление численно равно относительному падению напряжения в данном элементе при протекании через не­го принятого базисного тока (или мощности).

Поскольку выбор базисных условий произволен, то одна и та же действительная величина может иметь раз­ные численные значения при выражении ее в относитель­ных единицах. Обычно относительные сопротивления

элементов задаются при номинальных условиях (т. е. при I_H или S_H и U_H). Их величины определяются по (2-8) и (2-9), где базисные единицы должны быть заменены со­ответственными номинальными,т. е.

(2–8a)

и

(2-9a)

Иногда относительные величины выражают не в до­левых единицах, а в процентах. Связь между такими вы­ражениями очевидна; так, например,

z_%= 100z. (2–10)

Активное сопротивление трансформатора весьма мало. Поэтому, пренебрегая им, можно считать, что задаваемое в процентах напряжение короткого замыкания трансформа­тора u_K% =z_%»x_%. Если при этом принять, что индуктивное сопротивление рассеяния трансформатора прибли­женно изменяется пропорционально квадрату числа вит­ков его обмоток (что довольно близко к действительно­сти), то заданное значение u_K%, следует считать от на­пряжения холостого хода того ответвления регулируемой обмотки, которое установлено у трансформатора.

Для выполнения расчета в относительных единицах нужно все э. д. с. и сопротивления элементов схемы вы­разить в относительных единицах при выбранных базис­ных условиях. Если они заданы в именованных едини­цах, то для перевода их в относительные единицы слу­жат выражения (2-3), (2-8) или (2-9). Когда же они за­даны в относительных единицах при номинальных усло­виях, то их пересчет к базисным условиям нужно произ­водить по следующим очевидным соотношениям:

(2-11)

(2-12)

или

(2-13)

При выборе базисных условий следует руководство­ваться соображениями, чтобы вычислительная работа была по возможности проще и порядок числовых значе­ний относительных базисных величин был достаточно удобен для оперирования с ними. Для базисной мощно­сти S_б целесообразно принимать простое круглое число (1 000 Мва, 100 Мва и т. п.), а иногда часто повторяю­щуюся в заданной схеме номинальную мощность (или кратную ей). За U_б рекомендуется принимать U_Н или близкое к нему. При U_б=U_H пересчет относительных э. д. с. вообще отпадает ( ), а выражения для пересчета относительных сопротивлений принимают бо­лее простой вид:

(2-12а)

(2-13а)

Равенство U_б=U_Н, вообще говоря, соблюдается толь­ко для части элементов, так как напряжения U_Н элемен­тов одной и той же электрической цепи в общем случае могут быть неодинаковы. Однако это различие сравни­тельно мало (в пределах ±10%) и в приближенных рас­четах им часто пренебрегают, полагая U_H всех элемен­тов одной ступени напряжения одинаковыми и равными некоторому среднему номинальному напряжению U_CP для этой цепи (см. § 2-4). Исключение целесообразно делать для реакторов, поскольку они составляют обычно значительную часть общего сопротивления цепи, опре­деление которого всегда желательно производить с боль­шей точностью. В тех случаях, когда реакторы исполь­зованы на напряжениях ниже их номинальных напряже­ний (например, реактор 10 кв в установке 6 кв и т. п.), пересчет их относительных сопротивлений по напряже­ниям, конечно, обязателен.

Пример 2-1. Асинхронный двигатель АД через кабель Кб и реактор Р присоединен к шинам (рис. 2-1), напряжение на которых поддерживается практически неизменным и равным 6,3 кв. Опреде­лить величины тока и момента при пуске этого двигателя, выразив их в долях от его соответствующих номинальных величин.

Данные: асинхронный двигатель АД 2 500 квт, 6 кв, cosj=0,9, h=96%, пуск=5,6, пуск.н=0,9. Реактор Р—10 кв, 400 а, x_%=3%. Кабель Кб— 1,25 км, х=0,071 om/km.

Примем за базисные величины номинальные данные двигателя, т. е.

U_б=6кв. S_б = = 2 900 ква

и соответственно

I_б= =280 а

Относительная реактивность двигателя при пуске составляет:

х = 1/5,6 = 0,18.

Рис. 2-1. Схема к примеру 2-1.

Относительные базисные реактивности реактора и кабеля будут:

x_P= =0,035

и

x_Кб=0,071×1,25 =0,007.

Относительное базисное напряжение на шинах источника состав­ляет:

=1,05

Искомая величина пускового тока будет:

= 4,74.

Для определения пускового момента предварительно находим напряжение у двигателя при пуске:

= 4,74×0,18 = 0,85;

следовательно, искомый пусковой момент составляет:

= 0,85²×0,9 = 0,648.

Выше рассмотрены величины, с которыми преимуще­ственно приходится оперировать при выполнении обычных электрических расчетов.

Однако, как отмечалось ра­нее, в системе относительных единиц можно выразить любые физические величины, в том числе и неэлектриче­ские. Остановимся на определении относительных значе­ний тех величин, с которыми придется иметь дело в даль­нейшем.

За единицу измерения угловых скоростей обычно при­нимают синхронную угловую скорость w_С т.е. w_б = w_С. Тогда произвольная угловая скорость в относительных базисных единицах будет:

(2-14)

Соответственно этому в качестве базисных единиц при­нимают:

для индуктивности

L_б=

для потокосцепления

Y_б=

т. е. потокосцепление, индуктирующее при базисной угло­вой скорости базисное напряжение.

Таким образом, при указанных базисных единицах и сохранении угловой скорости неизменной и равной син­хронной, очевидно, имеем:

; (2-15)*

(2-16)

. (2-17)

т. е. при этих условиях индуктивное сопротивление чис­ленно равно индуктивности, а потокосцепление численно равно э. д. с. или соответствующему падению напряже­ния.

Подобная возможность замены одних относительных величин численно равными им другими представляет одно из существенных достоинств системы относительных единиц.

* Вместо индуктивности L здесь может бытьтакже взаимная индуктивность М.

дуги отвечает требованиям к разрядному сопротивле­нию для осуществления оптимальных условий гашения. Поскольку падение напряжения на короткой дуге со­ставляет всего лишь около 30 в, для гашения поля при более высоких напряжениях авторами предложено при­менять последовательное соединение ряда коротких дуг, что выполнено в дугогасящей решетке (ДГР).

Дугогасящая решетка может быть включена парал­лельно обмотке возбуждения (рис. 8-7,а) или после­довательно с ней¹ (рис. 8-7,6).

Рис. 8-7. Схемы включения ду­гогасящей решетки для гаше­ния поля. а — параллельно обмотке возбужде­ния; б—последовательно с обмот-' кой возбуждения.

В первом случае контак­ты 2 (агп) в нормальных условиях замкнуты, а кон­такты 1—разомкнуты. При действии АГП сначала за­мыкаются контакты 1 и шун­тируют через сопротивле­ние r' обмотку возбуждения. Затем происходит размыка­ние контактов 2 и через ма­лый интервал контактов 1. Возникшая при этом на кон­тактах 1 дуга под влиянием специально созданного маг­нитного поля увлекается в решетку, где, разбившись

на ряд коротких дуг, она продолжает гореть до пре­кращения тока. Небольшое сопротивление r' введено для того, чтобы при замыкании контактов 1 возбуди­тель не оказался закороченным.

При последовательном включении дугогасящей решетки (рис. 8-7,6) контакты 1(АГП) в нормальных условиях замкнуты, и размыкание их происходит при действии АГП. Образующаяся при этом дуга, как и раньше, разбивается в решетке на ряд коротких дуг. Пока горит дуга, цепь обмотки возбуждения остается замкнутой через якорь возбудителя.

При подходе тока к нулю часто наблюдается так называемый срыв тока, т. е. внезапное прекращение его. При большой индуктивности обмотки возбуждения синхронной

' У крупных машин ДГР включают ,в оба полюса цепи возбуж­дения.

машины это сопровождается резким возраста­нием напряжения на обмотке. Для ограничения перена­пряжения дугогасящая решетка шунтирована относи­тельно большим сопротивлением r _ш.д, причем, чтобы дуга гасла по частям, а не вся сразу, решетка разбита на секции, которые присоединены к промежуточным ответвлениям этого сопротивления.

Из приведенных способов включения дугогасящей решетки предпочтительным является второй. Его пре­имуществом является относительная простота выполне­ния (меньше контактов), большая надежность, отсутст­вие дополнительного сопротивления r'. Помимо того, если при параллельном включении решетки напряже­ние на обмотке возбуждения практически равно напря­жению на решетке при горении в ней дуги, то при по­следовательном включении это напряжение меньше на­пряжения на решетке на величину напряжения возбудителя. Поэтому в дальнейшем рассматриваем только последовательное включение дугогасящей ре­шетки.

Считая напряжение возбудителя u_в (практически равное предшествующему напряжению на кольцах ро­тора u_j0) неизменным, для цепи возбуждения в схеме рис. 8-7,6 при гашении поля имеем:

где u_д=30n—напряжение на решетке (из n пластин)

при горении дуги, в.

Интегрирование этого уравнения приводит к выра­жению для тока:

(8-29)

где

Напряжение на дугогасящей решетке . u_д = (1+k)u_f0, (8-30)

поэтому выражение (8-29) можно представить в иной форме:

(8-31)183

Из структуры (8-29) непосредственно следует, что включение дугогасящей решетки эквивалентно внезапно­му включению в цепь обмотки возбуждения постоянной э. д. с., равной u_д и направленной против u_в. При этом нужно иметь в виду, что (8-29) и (8-31) справедливы лишь в течение времени горения дуги, которое при от­сутствии демпферных обмоток является также временем

if.Uf,us

Рис. 8-8. Гашение поля с помощью дугогасительной решетки, включенной последовательно с об­моткой возбуждения.

гашения поля t_гаш. Это время легко найти из (8-31) при i_f = 0:

(8-32)

Закономерности изменения i_f ,u_fи u_д в функции t/T_fo при рассматриваемом способе гашения поля пред­ставлены на рис. 8-8. Они построены, как и кривые рис. 8-5, при k=5. Время гашения по (8-32) составляет t_д=t_гаш=0,18 T_fo, т. е. оно в 0,77/0,18=4,3 раза меньше, чем при гашении с помощью постоянного разрядного сопротивления,

при котором соблюдается то же значе­ние U_fm.

Кривая изменения тока i_f заканчивается при пересе­чении с осью абсцисс, т. е. при t_гаш==t_д; пунктиром по­казано ее продолжение, соответствующее (8-29) или (8-31). Напряжение на дугогасящей решетке при горении дуги постоянно и равно (l+k)u_fo=6u_fo; после погасания дуги оно падает до напряжения возбудителя. Напряже­ние на обмотке возбуждения при возникновении дуги, меняя знак, увеличивается до ku_f0=5u_fo и при погаса­нии ее падает до нуля.

Теперь рассмотрим, как сказывается наличие демп­ферных обмоток на процессе гашения поля. Для этой цели снова обратимся к результатам, полученным в гл. 4.

Поперечная демпферная обмотка не имеет магнитной связи с обмотками в продольной оси ротора, поэтому не оказывает влияния на процесс гашения поля.

Наличие продольной демпферной обмотки прежде всего скажется в том, что затухание потока Ф_d и обу­словленной им э. д. с. статора будет происходить с боль­шей постоянной времени; в соответствии с (4-24) посто­янная времени практически равна сумме постоянных времени продольной демпферной обмотки и обмотки воз­буждения с учетом введенного в нее разрядного сопро­тивления, т. е.

(8-33)

и время гашения согласно (8-26)

t_гаш = (Т_1do +T_fo/1+k) lnN = T_гаш lnN (8-34)

т. е. оно больше, чем при отсутствии продольной демп­ферной обмотки, что является, конечно, нежелательным.

С другой стороны, продольная демпферная обмотка в процессе гашения принимает на себя часть энергии магнитного поля ротора, чем облегчает условия для об­мотки возбуждения и включенного в ее цепь автомата гашения поля.

Используя приближенное соотношение (4-26), легко найти, что при σ=0 ток в обмотке возбуждения мгновенно падает до

(8-35) 185

а затем затухает по экспоненте с постоянной времени Т_гаш, опре­деляемой по (8-33). В продольной демпферной обмотке, напротив, ток мгновенно возрастает; его начальное значение, приведенное к обмотке возбуждения, будет:

^(8-36)

а далее затухает с той же закономерностью.

В действительности σ>0 и соответственно T"_d>0, поэтому вне­запных изменений токов не происходит. Они сглаживаются быстро-затухающими токами i"_f и i"_id-

Протекание рассматриваемого процесса иллюстрируют кривые рис. 8-9,а, которые построены при тех же условиях, что и на рис. 8-5, но при дополнительном участии продольной демпферной обмотки с i_1dо=0,083T_fo. Несмотря на малую величину Т_1do, время гашения поля возросло до t_гаш=1,15T_fо< т. е. увеличилось в 1,5 раза.

При гашении поля дугогасящей решеткой проявление демпфер­ных обмоток имеет более сложный характер. Весь процесс в дан­ном случае состоит из двух основных стадий: первой, когда в ре­шетке горит дуга и соответственно ток проходит как в обмотке возбуждения, так и в демпферной обмотке, и второй, когда дуга погасла (i_f=0), но ток в демпферной обмотке еще не затух. Сле­довательно, после разрыва цепи возбуждения магнитный поток ма­шины поддерживается током демпферной обмотки. По этой причи­не время гашения поля t_гаш больше времени горения дуги t_д. По­стоянная времени гашения поля на первой стадии, очевидно, опре­деляется практически как T_гаш1»(T_1dо+T_fо), а на второй T_гаш2= =T_1до.

Опуская вывод, который при принятых допущениях, вообще говоря, не представляет принципиальных трудностей, приведем окон­чательные выражения, позволяющие найти токи в обмотках ротора машины, время горения дуги и время гашения поля.

Ток в обмотке возбуждения (для 0≤t≤t_д)

(8-37)

Ток в продольной демпферной обмотке на первой стадии (0 ≤ t ≤ t_д)

i_1d = i_f0[(1+k)T_1do/(T_гаш1)е^-t/Tгаш2] (8-38) на второй стадии (t > t_д)

(8-39) Время горения дуги [из (8-37) при i_t = 0] ; (8-40)

при значениях k, близких к значению отношения Т_fo/Т_1do, более точ­ным является выражение:

Рис. 8-9. Гашение поля при наличии продольной демп­ферной обмотки. •—гашение на постоянное разрядное сопротивление; б—га­шение дугогасящей решеткой.

Время гашения поля

t_гаш = t_д + T_1dо In (NkT_1do/Tfo) (8-41)

Изменение магнитного потока Ф_d на первой стадии гашения определяется изменением н. с. ротора, т. е. суммы приведенных то­ков обмотки возбуждения и продольной демпферной обмотки, что приводит к выражению

Ф_d=Ф_dо[(1+k) е ^{–t/Tгаш1} –k], (8-42)

а на второй стадии — изменением только тока продольной демп­ферной обмотки, т. е.

, (8-43)

где Ф_d02 — поток в начале второй стадии.

На рис. 8-9,6 приведены кривые изменения отдельных величин при гашении поля дугогасящей решеткой. Они построены при тех же исходных условиях, что и кривые рис. 8-8, но добавлена лишь продольная демпферная обмотка с указанными выше пара­метрами. Сравнение показывает, что, хотя время горения дуги сократилось, время гашения поля возросло почти в 2,5 раза. Из это­го примера наглядно видно, что демпферные обмотки существенно снижают эффективность гашения поля дугогасящей решеткой и, естественно, тем сильнее, чем больше постоянная времени 7_1do. Поэтому у турбогенераторов это сказывается гораздо сильнее, чем у гидрогенераторов.

Поскольку поперечная демпферная обмотка не имеет магнитной связи с обмотками, расположенными в продольной оси ротора, она не оказывает влияния на процесс гашения поля.

До сих пор предполагалось, что гашение поля осуще­ствляется при работе синхронной машины на холостом ходу. Однако все полученные выводы и выражения лег­ко могут быть распространены на условия, когда цепь статора замкнута в общем случае через х_вн. Для этого достаточно всюду вместо постоянных времени T_fо и T_1do ввести их значения при замкнутой цепи статора T'_fи Т'_1d, определяемые по (7-45) и (7-48), где x_вн входит в состав x_d. и x'_d.

Вследствие того, что постоянные времени обмоток ро­тора при замкнутой цепи статора меньше, процесс га­шения поля в этих условиях протекает быстрее.

Если гашение поля происходит в условиях короткого замыкания или иного переходного процесса, предшест­вующий ток в обмотках ротора может состоять не толь­ко из вынужденной, но также и из свободных слагающих. 188

Это может привести к большим величинам напря­жения на обмотке возбуждения при гашении поля.

При ионном или тиристорном возбуждении гашение поля осуществляют путем перевода выпрямительной установки в инверторный режим. При этом условия га­шения поля могут быть созданы близкими к оптималь­ным.

u – напряжение статора

Рис. 8-10. Осциллограммы гашения поля.

а — генератора 4,5 Мва, разряд на постоянное активное сопротивление: б—то же разряд на дугогасящую решетку; в — гидрогенератора 105 Мвт, разряд на дугогасящую решетку при коротком замыкании и предшествующей работе с номинальным возбуждением; г — то же при холостом ходе.

Для иллюстрации процессов гашения поля на рис. 8-10 приведено несколько характерных осцилло­грамм этих процессов у различных генераторов. Обра­щает на себя внимание то, что при гашении решеткой, а также инвертированием выпрямительной установки ха­рактер изменения тока i_f очень близок к прямолинейно­му, соответствующему оптимальным условиям гашения. Продолжительность вхождения дуги в решетку, как вид­но, составляет сотые доли секунды.

Пример 8-3. Для турбогенератора типа ТВ2-100-2 известны сле­дующие параметры: 100 Мвт, 13,8 кв, x_σ=0,11; х"_d=0,138;

х'_d=0,203; x_d=l,8; x_f=l,78; х_1d=1,73; T_fо=9,75 сек; T_1do=3,25 сек;

r_f=0,415 ом (при горячем состоянии обмотки); ток возбуждения при холостом ходе 270 а, то же при номинальной нагрузке 650 а; ис­пытательное напряжение обмотки возбуждения 3 200 в.

Определим время гашения поля этого турбогенератора при ис­пользовании: а) постоянного разрядного сопротивления и б) дугогасящей решетки.

Решение выполним для условий, когда статор замкнут накоротко и возбуждение имеет двукратную форсировку (относительно но­минального режима).

а) Гашение на разрядное сопротивление

Напряжение на обмотке возбуждения в предшествующем ре­жиме u_fо=0,415(2·650)=540 в. Допустимое напряжение согласно (8-21) U_доп=0,7·3200=2 240 в. Необходимое разрядное сопротив­ление из (8-24)

r = 2240 r_f /540 = 4,15 r_f

Постоянные времени при короткозамкнутом статоре:

T'_f=9,75·0,203 / 1,8 = 1,1 сек;

(здесь x_аd = 1,8 – 0,11 =1,69).

По (8-33) постоянная времени гашения поля

Т_гаш=0,27+ 1,1/ (4,15+1) = 0,48 сек

Ток возбуждения, при котором гаснет дуга переменного тока,

i_fгаш = 270·0,15/13,8= 3 a.

Следовательно, N= (2·650) /3=434 и время гашения по (8-34)

t_гаш=0,48 ln 434=2,9 сек.

б) Гашение на дугогасящую решетку

Допустимое напряжение на решетке:

u_Д = U_доп + u_fo = 2240 + 540 = 2 780 в.

Необходимое число пластин в решетке п = 2780/30 = 93.

Принимаем к установке два автомата АГП-12, каждый из ко­торых имеет 40 пластин. При их последовательном соединении число

пластин составляет 2·40=80; тогда напряжение на решетке u_д=30·80=2400в и k=(2 400— 540) /'540 =3,4. Постоянные времени гашения:

при горении дуги Т_гаш1≈0,27+1,1 =1,37 сек;

после ее погасания Т_гаш2=0,27 сек.

Время горения дуги определяем по (8-40а), учитывая, что ста­тор короткозамкнут:

время гашения поля находим по (8-41), учитывая, что статор ко­роткозамкнут:

t_гаш =0,013 +0,27 In (325·3,4·0,27/1,1)= 1,53 сек.

Рекомендуется читателю самостоятельно провести аналогичный подсчет при условии, что генератор предварительно работал на хо­лостом ходу с номинальным напряжением.

Глава девятая