Которое описывает динамику биологической популяции в замкнутой среде.

Здесь хn _ численность популяции за п_ й год наблюдения (обычно значе-

ния хn = 0 _ 1, т.е используется нормирование на единичный интервал),

r _ параметр, зависящий от условий жизни. В зависимости от значения r,

возможны различные сценарии поведения системы (рис. 7.1).

1. При r < 1 популяция исчезает: хк = 0.

2. При 1 < r < 3 численность популяции стремится к единственному

предельному значению х∞ = 1 – 1/r∞ , которое устойчиво.

3. При 3 < r < (r∞ = 3,5699456...) предельного значения нет: числен-

Ность популяции, независимо от начального значения х0, колеблется между

несколькими значениями, число которых равно 2к, k = 1,2, ... ∞ в зависи-

Мости от r. Такой режим называют периодическим.

4. При r∞ < r < 4 поведение системы становится полностью хаотиче-

Ским и непредсказуемым. При увеличении п численность популяции может

Принимать любые значения в интервале от 0 до 1, а набор (xn) имеет свойства

Случайной последовательности чисел.

Таким образом, при изменении параметра r, который определяет роль

Нелинейных эффектов, состояние системы изменяется от равновесного до

хаотического:

Во многих случаях состояния, к которым стремятся неравновесные

Системы, имеют высоко упорядоченную пространственно-временную

структуру. Процесс образования таких состояний называют самоорганиза-

Цией.

Многочисленные исследования в области нелинейной динамики

показали, что:

Самоорганизация возможна в нелинейных, сильно неравновесных

Системах в определенном диапазоне изменения управляющих парамет-

Ров.

Рассмотрим в качестве примера слой жидкости, находящийся между

Двумя горизонтальными плоскостями. Когда температуры верхней и нижней

Границ равны, система находится в состоянии теплового равновесия, а жид-

Кость является совершенно однородной. Вывести жидкость из состояния

Равновесия можно путем небольшого подогрева нижнего слоя.

При постоянном подводе теплоты, в системе установится стационарное

Состояние, в котором теплота будет переноситься от нижнего слоя к верхне-

Му, а свойства жидкости (температура и плотность) будут линейно изме-

Няться от теплой области к холодной. Такое явление называют теплопровод-

Ностью. Оно описывается уравнениями линейной неравновесной термоди-

Намики.

При увеличении разности температур между нижним и верхним слоя-

ми наблюдается новое явление: при ΔТ, превышающем некоторое критичес-

кое значение ΔТк, жидкость структурируется в виде небольших ячеек – так

называемых ячеек Бенара (рис. 7.2. а). Жидкость в этих ячейках находится в

Движении – такой режим называют тепловой конвекцией, причем в соседних

Ячейках направление вращения потоков жидкости противоположно

(рис. 7.2. б).

Рис. 7.2. Ячейки Бенара (а) и движение жидкости

в ячейках Бенара (б)

Образование ячеек Бенара – пример самоорганизации в сильно нерав-

Новесной системе.

Рис. 7.3. Влияние управляющего параметра χ

На стационарное свойство x системы

Для явлений самоорганизации характерны два основных свойства:

1) нарушение симметрии системы – при образовании ячеек Бенара

жидкость становится неоднородной, ее симметрия понижается;

Бистабильность – в организованной системе возможно несколько

Устойчивых стационарных состояний (в ячейках Бенара – с левым или

Правым вращением потока жидкости), причем выбор между ними происхо-

Дит случайным образом.

Зависимость стационарных свойств системы от управляющих пара-

Метров называют бифуркационной диаграммой. Типичная бифуркационная

диаграмма представлена на рис. 7.3.

При χ < χк существует единственное устойчивое стационарное состо-

Яние. Эту область изменения х называют термодинамической ветвью. При

переходе через критическое значение χк происходит бифуркация – устой-

Чивое стационарное состояние становится неустойчивым (показано пункти-

Ром) и образуются еще два устойчивых стационарных состояния (бистабиль-

Ность). К какому из этих двух состояний перейдет система из неустойчивого

Состояния, определяется случайными флуктуациями.

Дальнейшее увеличение разности температур в эксперименте Бенара

Приведет к разрушению ячеек и возникновению турбулентности, когда

Свойства потока жидкости станут хаотическими. Таким образом, по мере

Отклонения от равновесия жидкость проходит через ряд последовательных

режимов: