Модель упругого поведения Фойхта – Кельвина

Используется для описания полимерных высокоэластических материалов, состоящих из переплетённых и свёрнутых в клубок цепей, в данном случае необходимо учитывать, что переходу пружины из неравновесного состояния в равновесное, припятствует перемещающийся в вязкой жидкости поршень, который работает как амартизатор. Моделью Фольхта - Кельвина служит система, состоящая из параллельно соединённых поршня и пружины.

При нагружении данной системы, происходит одновременная деформация и пружины и поршня, то есть упругого и вязкого элементов, однако из-за параллельно соединённых элементов деформация пружины тормозится пластической деформацией развивающейся в поршне. Когда внешняя нагрузка уравновешивается усилием пружины, деформация поршня в жидкости прекращается.

Математическая модель данной системы Т = Ti+T₂, то есть напряжение в системе складывается из напряжений упругой и пластической составляющих. Эти составляющие могут быть определены в соответствии с законами Гунна и Ньютона.

Проводя неопределённое интегрирование получаем.

При t = 0, l₁ = 1₂=0

Подставляя константу интегрирования, получаем:

Потенцируя получаем:

Проводя преобразование получаем:

Уравнение, полученное на основе модели Максвелла, описывает релаксацию напряжений, в то время как, модель Фольхта - Кельвина описывает релаксацию деформаций. Анализируя уравнения (10) и (17) можно сделать вывод, что при Т стремящимся к бесконечности, после снятия нагрузки в системах будет происходить восстановление. Модель Максвелла, в отличие от модели Фольхта - Кельвина, не учитывала наличия в полимере упругости, отличной от Гуковской, которая возникает за счёт раскручивания клубков макромолекул, особенности этого вида упругости является необходимость некоторого времени для развития деформаций, как будто деформация происходит в вязкой жидкости. Развитие деформации в системе, описываемой моделью Фольхта - Кельвина, может описываться следующей зависимостью.

Как видно развитие деформации во времени носит нелинейный характер.

Модель Олфри

Модель хорошо описывает такие свойства полимеров, как упругость, высокоэластичность и текучесть. Для одновременного описания этих свойств Олфри соединил модели Максвелла и Фольхта - Кельвина.

При нагружении этой модели будет происходить упругая деформация, численно равная T/G₁, при этом система переходит из некоторого состояния (а) в состояние (б), далее в результате вязкоэластичной деформации и вязкого течения система перейдёт в положение (в). Если снять нагрузку произойдёт сокращение упругого элемента модели, в тоже время высокоэластичные элементы модели Олфри (1, 2 ,3) будут соответствовать упругому, высокоэластическому и пластическому, вязкому поведению системы. Макромолекула полимера состоит из большого числа звеньев, сегментов, атомных групп, поведение которых можно описывать упругими высокоэластическими и вязкостными составляющими, именно по этому математическая модель макромолекулы может быть представлена как совокупность множества высокоэластичных элементов (2), упругого элемента (1) и вязкого элемента (3).

Числу повторяющихся сегментов в макромолекуле соответствует число высокоэластичных элементов моделируемых параллельно соединёнными пружиной и поршнем, такая система хорошо описывает релаксационные свойства макромолекул, проявляющиеся в процессах переработки: упругое восстановление, пластическое течение, ползучесть, высокоэластические свойства. На основе этой модели разработаны материальные зависимости, позволяющие прогнозировать свойства материала. Геометрической интерпретацией модели Олфри будет являться следующая диаграмма:

В процессе нагрузки развивается высокоэластическая и пластическая деформация (1), которая переходит в дальнейшем в пластическую деформацию по линейному закону. После снятия нагрузки в момент времени t_k упругие элементы модели Олфри разгружаются мгновенно, а затем происходит запаздывание высокоэластической деформации, характеризуемой параллельно расположенными и демпфером. После полной разгрузки системы полимер сохраняет остаточную деформацию Еост, поскольку макромолекула состоит из n элементов напряжение возникающее в смежных цепях, при постоянной деформации будет определятся суммой ряда.

Если модуль упругости заменить обратной величиной, называемой податливостью, и положить, что n стремится к бесконечности, то действующее в полимерной цепи напряжение можно выразить с помощью определённого интеграла.

Наряду с моделью макромолекулы Олфри, для описания поведения полимеров используют модель Куна.