Нестационарная теплопроводность
В том случае если температура тела в различных его частях неодинакова, как на рисунках (а) и (б), то процесс теплопередачи, с материальной точки зрения, может быть описан вторым законом Фурье.
х, у, z - абсцисса, ордината и аппликата любой точки тела в которой реализуется теплопроводность. Если принять, что теплота передаётся только в одном направлении, вдоль оси абсцисс:
В задачах по теплопроводности абсолютную температуру t заменяют характеристической Q, которая определяется по формуле:
Тф - температура формующего инструмента;
То - начальная температура расплава, впрыскиваемого в форму;
Тт,х - температура в определённой точки тела, осуществляющего теплообмен с окружающей средой;
Решение уравнения Фурье можно получить, представив характеристическую температуру в виде произведения двух функций: температуры и местоположения.
Если в уравнении нестационарной передачи абсолютную температуру заменить, на характеристику, то уравнение (2) примет вид:
Подставляя уравнение (3) в (4), получим уравнение (5), которое продифференцируем.
Перенося производные и функции в разные части, получаем. Приравнивая отношения функций и их производных постоянному числу "-к", из уравнения (6) получаем.
Решение дифференциальных уравнений (7) и (8) имеет вид.
Характеристическая температура может быть выше, подставим уравнение (9) и (10) в уравнение (3).
Подчиним полученное уравнение уравнению Фурье условию:
Определим характеристическую температуру в центре изделия.
Следовательно, характеристическая температура:
Для определения характеристической температуры на краях изделия, подчиняю данное уравнение условию:
Определим, что теплообмен определяется не только теплопроводностью, но и коэффициентом теплоотдачи.
Сокращая и проводя перегруппировку членов получаем:
Общее решение дифференциального уравнения Фурье представляет собой совокупность функций типа (14). По этому можно записать:
Или:
Ограничиваясь первым членом ряда, что вполне достаточно для общего решения. Характеристическая температура в центре и на поверхности изделия, может быть выражена как функции критериев Био и Фурье.
Значения функции критерия Био для середины изделия N(Bi), и поверхности p(Bi), табулированы, то есть представлены в виде таблиц, которые приводятся в теплотехнических справочниках. Используя эти таблицы можно проводить теплофизические расчёты, связанные с нагреванием или охлаждением полимерных изделий. Прологарифмируем уравнения (24) и (25).
Эти зависимости лежат в основе нескольких графических методов определения параметров энергопередачи.
На графике 1 приводится линейная зависимость критерия Био. На графике 2 зависимость между характеристической температурой и критерием Фурье, в виде кривых.
1 – пластина;
2 – брусок;
3 – цилиндр;
4 – куб.
Характеристические температуры определяются по формулам:
Кроме графического способа решения уравнений нестационарной теплопроводности существуют многочисленные аналитические выражения, позволяющие рассчитать температуру изделия в его центре, на поверхности или в любой точки изделия. Характеристическая температура, общее выражение для температуры в центре полимерного тела:
Если решить это уравнение относительно времени, получаем:
В зависимости от формы тела, время охлаждения будет вычисляться по различным формулам.
Пластина
Цилиндр
Параллелепипед
На практике часто встречается случай двухстороннего отвода тепла.
Тема 2.2. Конвективный теплообмен.
2.2.1. Конвекция. Закон Ньютона.
2.2.2. Критерии подобия и их применения для описания конвективного теплообмена: Нуссельта, Рейнольдса, Прандтля, Пекле.
Конвективный теплообмен
Конвективный теплообмен осуществляется при контакте полимерного тела или изделия с движущимся потоком жидкости или газа. Конвекция происходит при соприкосновении формы с жидкостью, циркулирующей в каналах охлаждения, или полимерное тело нагревается за счёт циркулирующего горячего теплоносителя (воздуха). В основе конвекции лежит закон Ньютона.
a - коэффициент теплоотдачи;
F - площадь поверхности контакта.
Разность температур между изделием, формой и окружающей средой определяет величину теплового потока, a - определяется следующими показателями:
1. формой тела;
2. размерами;
3. режимом движения окружающей среды;
4. чистотой поверхности тела.
Для расчёта используют аппарат теории подобия, основанный на применении в расчётах критерия подобия, безразмерных величин, представляющих собой отношение нескольких теплофизических, геометрических, параметров: Нусельта, Ренольдса, Пранкля, Гросгоффа, Пекле. Критерий Нусельта определяют по формуле:
Определяя критерий Нусельта можно определить коэффициент теплопередачи a, за счёт конвекции.
lо - характеристический размер тела;
l - коэффициент теплопроводности.
Критерий Нусельта определяется через другие критерии подобия.
Вид критериального уравнения может меняться в зависимости от параметров окружающей среды.
W - скорость движения теплоносителя, или охлаждающего агента в пограничном слое;
l - характеристический размер (диаметр охлаждающих каналов);
u - кинетическая вязкость.
Критерий (число) Пекле, представляет отношение теплоты передаваемой за счёт
конвекции и теплоты передаваемой за счёт теплопроводности.
а - коэффициент теплопроводности.
Подъёмная сила, возникающая в жидкости, соответствует разности плотностей при разных температурах, и определяется критерием Гросгоффа.
q - ускорение свободного падения;
Т-То - градиент температуры;
b - температурный коэффициент объёмного расширения.
Критерий (число) Прантля определяется, как отношение физических постоянных.
Критериальное уравнение которое описывает процесс теплоотдачи, а следовательно и величину коэффициента теплоотдачи, может иметь различный вид.
Nn = 0,000523 Re1 002 Рг0344
Используя параметры технологического оборудования и оснастки (диаметр охлаждающих каналов, давление в сети, длину каналов, температуру охлаждающей воды), можно рассчитать скорость охлаждения изделия. Часто критериальное уравнение используют для расчётов расхода теплоносителя или определения размеров охлаждающих каналов, по которым выбирают хладагент.
В процессе переработки полимерные материалы большинство процессов требует нагревания полимерного материала. Из всех способов нагревания, одним из самых эффективных является использование инфракрасных источников излучения и высокочастотного нагрева. В процессе лучистого теплообмена материала или изделия, в котором участвует нагреватель, источник инфракрасного излучения, можно выделить такие составные части, как излучение лучистой энергии от источника, отражение от поверхности нагреваемого изделия, пропускание лучистой энергии через материал и поглощением материалом лучистой энергии. Соотношение трёх последних процессов определяет возможность применения того или иного способа нагрева.
интенсивность излучения от нагревателя, которое складывается из количества поглощённой и отражённой энергии. Плотность теплового потока, воздействующего на изделие, определяется законом Стефана - Больцмана.
Go - постоянная Стефана - Больцмана = 3,65 * 10-8 Вт/м3 к
T1 и Т2 - температура поверхности нагревателя и изделия соответственно;
- степень черноты системы, коэффициент характеризующий соотношение степени черноты нагревателя и нагреваемого тела.
Чем меньше шероховатость тела, тем выше отражающая способность. Поэтому материалы, имеющие высокую степень чистоты поверхности, значительную часть энергии отражают не нагреваясь. Для бесцветных (прозрачных) материалов, использование ультракоротких волн может оказаться неэффективным. Вообще использование ультракоротких лучей обусловлено тем, что эта часть спектра, в случае достаточно большой длины волн, лучше поглощаются телами, чем видимый или ультрафиолетовый свет, так как обладает меньшей проницающей способностью. Уравнение Стефана - Больцмана в случае использования достаточно мощных нагревательных установок упрощается.
Значит, при оценке мощности нагревателя можно принимать во внимание только его температуру. Тепловой поток от излучателя со временем не изменяется.
Температура нагреваемого изделия, в случае одностороннего потока лучистой энергии, будет различна на поверхности обращенной к нагревателю, и противоположенной стороне листа. Температуру у обеих сторон листа можно получить, решая дифференциальное уравнение второго закона Фурье, с учётом интенсивности потока лучистой энергии. Решение имеет вид, для поверхности обращенной к нагревателю:
Температура изделия или материала с противоположенной стороны составляет:
Величина коэффициента, принимается от 1 до бесконечности, связанная с решением. При расчётах n = 1. Fo - критерий Фурье, который определяется формулой:
d - толщина стенки изделия.
Для оценки эффективности нагрева с помощью лучистых нагревателей используют безразмерный критерий.