Ньютон III: динамическая красота

Основные законы ньютоновской механики – это динамические законы, т. е. законы, определяющие, как происходит изменение окружающего нас мира во времени. Динамические законы отличаются от правил геометрии или от тех законов, которые мы обсуждали в главах, посвященных Пифагору или Платону, и которые описывают отдельные объекты или отношения.

Динамические законы побуждают нас расширить наш поиск красоты. Мы должны думать не только о том мире, который есть , но также – главным образом – о более обширном, воображаемом мире того, что может быть . Мир ньютоновской механики – это мир возможностей .

Этот расширенный поиск красоты открывает золото на горе Ньютона (илл. 28). Но необходима небольшая подготовка перед тем, как мы отправимся туда с визитом.

Противопоставление Земли и космоса

Непосредственные предшественники Ньютона оставили натуральной философии большую нерешенную задачу.

В «Звездном вестнике» (Sidereus Nuncius) Галилея была дюжина его зарисовок Луны, такой, какой он увидел ее через первый астрономический телескоп с 20-кратным увеличением, который сам сконструировал. Пятна света и тени ясно указывали на то, что у Луны весьма неровная поверхность (илл. 16).

Илл. 16. Некоторые из поразительных рисунков Галилея, на которых он изобразил увиденную в телескоп Луну

В то время как Галилей опустил небесные сферы до разряда земных, Коперник заставил Землю двигаться как одну из планет среди таких же небесных тел, а Кеплер нашел точные закономерности в движении планет. Хотя их детали нам не слишком необходимы, я приведу три закона Кеплера, что поможет мне выделить две важные вещи.

• Орбита планеты является эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце.

• Линия, соединяющая Солнце и планету, заметает равные площади за равные промежутки времени.

• Квадрат периода каждой планеты (продолжительность планетарного «года») пропорционален кубу длинной оси эллипса.

Первое важное обстоятельство – эти законы не являются динамическими. Они описывают установившиеся соотношения, а не правила изменения. Второе – это правила движения планет. Они ничего не говорят о движении, которое мы наблюдаем ближе к дому, по опыту земных явлений. Это чуждые сообщения из иной концептуальной вселенной – при том что сама Земля является планетой!

Таким образом, великая незавершенная задача состояла в том, чтобы объединить Землю и космос. Какие общие законы управляют этими двумя схожими на вид королевствами?

Гора Ньютона

В «Началах» Ньютона[28]есть множество геометрических чертежей и несколько численных таблиц, но только один рисунок (илл. 17). На мой взгляд, это самый красивый рисунок во всей научной литературе.

Очевидно, что если рассматривать его просто как произведение живописи, то этот рисунок является скромным достижением. Красивым его делают идеи, которые открывают дорогу нашему воображению. Это приглашение к мысленному эксперименту, который предполагает, что падающие на Землю объекты и двигающиеся по орбитам в космосе небесные тела ведут себя одинаково, т. е. указывает на возможность существования всеобщей силы притяжения.

Илл. 17. Гора Ньютона – великий мысленный эксперимент

Вы стоите на вершине горы и горизонтально – параллельно поверхности Земли – бросаете камень. Если при броске вы придадите ему небольшую скорость, то до того, как упасть, он пролетит небольшое расстояние. Если вы бросите камень с большой скоростью, то он пролетит дальше. На практике ни один смертный не может бросить камень достаточно сильно, чтобы он пролетел какую-либо значительную часть длины окружности Земли. Не важно – это мысленный эксперимент, и вам позволено заменить физическую силу умственной. Бросайте сильнее. Своим внутренним взглядом вы видите, что конец траектории начинает приближаться к ее началу, как показано на рисунке.

И тогда, если вы бросите камень еще сильнее, вам придется пригнуться – или камень ударит вас по затылку! Уклонившись от него, вы сможете увидеть, как камень повторит свое движение, поскольку он вышел на круговую орбиту. (Сопротивление воздуха? Помилуйте, это мысленный эксперимент!) Вы можете мысленно располагать себя на вершинах воображаемых гор и проходить тот же логический путь, чтобы увидеть возможность тел обращаться по орбите Земли на любом расстоянии от поверхности под воздействием ее тяготения.

Вы можете представить себе действительно высокую гору и действительно большой камень… И, когда камень выйдет на орбиту, назвать его Луной.

Я называю изображенное на рисунке тело Землей, но оно нарисовано обобщенно, с едва намеченными деталями поверхности, а гора находится в нереалистичной пропорции к планете. Дело тут именно в том, что этому телу не обязательно быть Землей. Тот же самый мысленный эксперимент может быть приложен к Солнцу и объяснять, каким образом притяжение Солнца удерживает планеты на своих орбитах. Или к Юпитеру, объясняя, как его притяжение удерживает на орбитах галилеевы луны.

Идея всеобщего притяжения, действующего между самыми разными телами, уводит этот эксперимент далеко от того, насколько мы (или Ньютон) имеем право расширить подобный повседневный опыт – падающий на Землю камень, – который запускает работу нашего воображения. Мысленные эксперименты ничего не доказывают! Но они могут предложить плодотворные пути, по которым можно провести более тщательное исследование. Если воображаемый вывод мысленного эксперимента кажется логичным, это хорошо. Лучше, если он прекрасен. Ну а если же вы получили больше, чем имели на входе, то это совсем замечательно. Гора Ньютона дает это все.

Существует знаменитая легенда, видимо, берущая свое начало в каких-то написанных на скорую руку воспоминаниях пожилого Ньютона, что он начал размышлять о возможности наличия всемирного тяготения, увидев, как яблоко упало на землю неподалеку от его дома в Вулсторпе. В его собственноручных записях никакого яблока нет, а есть только эти строки:

…Я начал размышлять о притяжении, простирающемся до орбиты Луны и дальше (обнаружив, как оценить силу, с которой шар вращается внутри сферы и оказывает давление на поверхность сферы). Из закона периодов обращения планет Кеплера… я вывел, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, должна аналогично соотноситься с квадратами расстояний от центра, вокруг которого они вращаются, с помощью этого сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо.

Действительно ли падающее яблоко навело Ньютона на эти размышления или нет, но в самом явлении его падения пищи для размышлений немного. Я думаю, что что-то подобное Горе́ Ньютона стало тем пониманием, которое сделало силу всемирного тяготения убедительным для Ньютона образом.

Я также считаю, что существует вполне возможный путь от мысли о яблоке, как вспышке внутреннего озарения, который ведет к Горе как к ее развитию. Эта мысль проста, но очень красива. Если мы подумаем о влиянии Земли, «простирающемся до орбиты Луны и дальше» как о тяготении, которое объясняет нахождение Луны на орбите, мы предположим связь между двумя видами движения, которые кажутся очень разными. Сила притяжения, как ее можно наблюдать на Земле, – скажем, глядя на яблоки, – это процесс падения, направленный к центру Земли. Движение Луны по орбите Земли – это, на первый взгляд, что-то совершенно иное. Суть мысленного эксперимента с Горой тем не менее состоит в том, чтобы показать, что движение по орбите – это процесс постоянного падения, но (с точки зрения камня) направленного к постоянно движущейся мишени! И вы можете видеть на рисунке, что в каждой точке круговой орбиты направление скорости камня параллельно поверхности Земли (т. е. в данном конкретном месте оно «горизонтально»), в то время как орбиты, лежащие внутри круговой, загибаются к поверхности. Увидев с нашей точки зрения, т. е. с вершины Горы Ньютона, что движение по орбите – это форма падения, мы можем связать Луну с яблоком.

Время как измерение

Даже самые лучшие мысленные эксперименты не доказывают ничего. Перед нами открывается путь от вида, открывшегося с Горы Ньютона, к точной математической теории, к которой он стремился. Это путь через новое измерение – через время, понимаемое по-новому.

Кривые на рисунке с Горой Ньютона – это траектории. Каждая является совокупностью точек, которые занимает тело (наш камень) в последовательные моменты времени. Конечно, сами по себе они не являются ни телами в пространстве, ни физическими объектами в прямом смысле слова. Тем не менее траектории определяют геометрические объекты и являются – как мы увидим далее – основанием для понимания физики движения. Чтобы правильно понять их, давайте посмотрим, где они живут.

Отдельно взятая траектория несет в себе некоторую информацию о движении отдельного тела, но из одной только кривой мы не сможем выяснить, когда именно тело прошло по различным частям этой кривой. Мы можем расположить на точках кривой отметки о времени, восстанавливая недостающую информацию. Но это становится неудобным, если мы хотим рассмотреть сразу несколько траекторий, потому что любой промежуток времени соответствует целому винегрету точек, по одной на каждой территории, и их рисунок с течением времени меняется. Гораздо лучше рассматривать время как еще одно измерение. Траектории чувствуют себя как дома в расширенной концептуальной вселенной пространства-времени. Чтобы выявить существенно важную природу этого принципиального нововведения, давайте возьмем более простую ситуацию, чем Гора Ньютона, а именно – парадокс Зенона о гонке между Ахиллом и черепахой. Во-первых, отметим, что здесь траектории в пространстве представлены как две частично перекрывающие друг друга прямые линии – не очень информативно! Поднявшись на наблюдательный пункт пространства-времени, мы можем еще раз представить себе гонку между Ахиллом и черепахой таким образом, чтобы об их состязании и, если уж на то пошло, о самом движении в целом было легче судить.

Илл. 18. По мере того, как время идет (направо), и Ахилл, и черепаха продвигаются вдоль беговой дорожки (прямые, изображающие это движение, на рисунке направлены под углом вверх). Траектория Ахилла уходит вверх круче, потому что за заданный интервал времени он покрывает большее расстояние. Здесь время стало полноправным измерением на равных основаниях с расстоянием (иными словами, с пространством).

Если мы хотим синхронизировать описаниях двух наших траекторий, имеет смысл представить время как отдельную величину – новое измерение – и расставить точки, обозначающие положения обоих действующих лиц в каждый момент времени. Это сделано на илл. 18.

На этом рисунке логическая структура аргументов Зенона выставлена на обозрение, и парадокс исчезает. В пространстве-времени есть две линии-траектории, одна более крутая, чем другая, и им ничего не остается, как пересечься! (Вы можете немного позабавиться, обозначив время, когда Ахилл достигает точки старта черепахи, потом – время, когда Ахилл достигает точки, куда черепаха продвинулась с того времени, когда Ахилл был на ее старте… Таким образом вы пройдете по каждому пункту рассуждения Зенона и обезвредите одну за другой заложенные им логические мины.)

Мы можем вернуться к траекториям в первоначальном смысле, спроецировав траектории пространства-времени горизонтально на координатную ось расстояния, таким образом скрыв всю информацию о времени.

Траектории полета с Горы Ньютона уже были нарисованы в двумерном пространстве, поэтому их пространственно-временная версия должна существовать в трех измерениях. В этом трехмерном пространстве-времени круговые орбиты развертываются в спирали.

Вы также можете, пользуясь математическим воображением, заставить вещи работать по-другому: возьмите обычное двумерное (или трехмерное) пространство и представьте, что это пространство-время! При этом обычные геометрические графики превращаются в динамические траектории. Или, иначе говоря, мы рассматриваем их как движения точки через пространство. Ньютон детально развил эту основную мысль. Для него это было принципиальной сущностью того, что мы сегодня называем математическим анализом. Ньютон, который изобрел этот анализ, называл его методом флюксий . В соответствии с этим методом такие кривые (и другие геометрические объекты) рассматриваются не как законченные построения, а как сущности, плавно изменяющиеся во времени согласно имеющимся связям между их бесконечно малыми компонентами.

Анализ движения

Иллюстрация 19 – это ключевая диаграмма из «Начал» Ньютона, показывающая, как анализируется движение. Кеплер нашел математические законы, описывающие движение планет, но он не выводил сами эти законы из более глубоких физических принципов. На этом рисунке, используя свой специфический метод анализа – разбиение на мелкие части, Ньютон торжественно открывает внутреннее значение законов Кеплера.

Илл. 19. Ньютоновский анализ движения. Отклонения от движения по прямой линии обязаны действию силы.

Орбита разбивается на очень большое количество шагов, каждый из которых проходится за небольшой интервал времени. Поскольку это не физическое, а математическое обобщение, мы можем сделать эти шаги настолько малыми, насколько хотим. В течение достаточно малого интервала времени орбита может аппроксимироваться прямой линией, а скорость объекта, грубо говоря, постоянна. Один из ньютоновских законов движения говорит, что тело, не испытывающее воздействие каких-либо сил, будет оставаться в состоянии движения[29], т. е. продолжать двигаться в том же направлении и с той же скоростью. На рисунке мы видим пунктирные линии продолжений орбитальных сегментов, показывающие тот путь, по которому бы следовало тело, если бы сила внезапно исчезла. Настоящая орбита отличается от этих экстраполяций именно потому, что существует действующая на тело сила.

Путем детального математического рассмотрения этой проблемы мы можем определить, сила какого рода требуется, чтобы поддерживать заданную орбиту. Ньютон сделал это для орбит планет, используя открытые Кеплером зависимости (три закона, которые мы привели выше). С помощью такого анализа Ньютон пришел к выводу, что эта сила направлена непосредственно к Солнцу и убывает пропорционально квадрату расстояния от него.

Мы не можем не отметить, что этот анализ по сути своей является математической реализацией основных понятий, которые мы видели в мысленном эксперименте с Горой Ньютона.

Анаграмма Ньютона

Разложение движения на бесконечно малые части с учетом сил, определяющих любое отклонение от «естественного» движения (движения с постоянной скоростью), – это сущность механики Ньютона. Не желая делиться своими секретами, но страстно стремясь обозначить свое первенство, Ньютон опубликовал эту анаграмму:

6a cc d æ 13e ff 7i 3l 9n 4o 4q rr

4s 8t 12u x

Ее решением[30]является фраза на латыни:

Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.

Владимир Арнольд, выдающийся математик XX в., основательно изучивший работы Ньютона, любезно перевел ее так:

Полезно решать дифференциальные уравнения.

Вот более пространный перевод, который подводит итог нашему разговору:

Анализ движения путем рассмотрения его мельчайших частей – это хорошо. Он позволит вам определить силы из траекторий или траектории из сил.

Система мира

Выведя всемирный закон тяготения из законов движения планет Кеплера, Ньютон использовал его, чтобы предсказать впечатляющее количество следствий. Это был синтез, вытекающий из его анализа. Вот неполный список этих следствий:

• Общую природу силы притяжения мы ощущаем на Земле. Анализируя движение Луны – ее величину. Как она меняется в зависимости от положения – на Земле.

• Движение спутников Юпитера и Сатурна и нашей Луны.

• Движение комет.

• Причины приливов (которые связаны с притяжением Луны и Солнца) и их основные характеристики.

• Форма Земли: слегка сплющенная.

• Медленное периодическое смещение направления земной оси, примерно на 1° за 72 года. Эффекты «прецессии равноденствий» были замечены еще древнегреческими астрономами, но ранее ни они, ни кто-либо еще не подходил даже близко к их объяснению.

Все эти приложения были количественными, и некоторые из них можно было проверить с большой точностью. Все они могли быть подтверждены наблюдениями и более сложными расчетами без каких-либо принципиальных изменений.

Ньютон назвал третью книгу своих «Начал», где изложил свой синтез, «Системой мира». Раньше ничего подобного не было. Ньютон взял некоторые величайшие задачи космологии и решил их в соответствии с математическими принципами с неслыханной до него и теоретически неограниченной точностью.

Реальной и идеальной.

Динамическая красота

Динамические законы Ньютона показывают красоту физического мира, но это красота очень отличается от той красоты, к которой стремились Пифагор и Платон. Динамическая красота менее очевидна и требует больше воображения, чтобы принять ее. Это красота законов, а не объектов или эффектов восприятия.

Мы можем понять разницу, сравнив модель Солнечной системы Кеплера, основанную на платоновых телах, с Системой мира Ньютона. В модели Кеплера Солнечная система сама по себе – красивый объект, воплощающий идеальную симметрию. Ее элементами являются сферы, разделенные пятью идеальными платоновыми телами. В Системе Ньютона реальные орбиты планет отражают первоначальный замысел Господа, возможно, слегка искаженный временем. (Подробнее об этом ниже.) Бог мог иметь и, возможно, имел в виду другие соображения, а вовсе не математическую мистику, поэтому от реальных орбит красоты никто не ждет и не находит ее. Красивы не орбиты сами по себе, а общие принципы, которые лежат в основе всех возможных орбит, и вся совокупность орбит. Это красота Горы Ньютона, усиленная ее тщательной проработкой.