Процесс наращивания стоимости

С помощью вычисления сложных процентов совершается процесс перехода от приведенной, или, как ещё говорят, текущей стоимости денег, (PV) к будущей стоимости(FV).Будущая стоимость — это сумма, которой будут равняться инвестированные деньги к определенной дате с учетом начисления сложных процентов.

ПРИМЕР 1

Например, предположим, что вы положили 1000 долл. (PV) на банковский счет из расчета процентной ставки в 10% годовых. Сумма, которую вы получите через пять лет при условии, что не возьмете ни цента до истечения этого срока, называется будущей стоимостью 1000 долл. из расчета ставки процента 10% годовых и срока инвестирования пять лет. Давайте определим наши термины более точно:

PV — приведенная стоимость, или начальная сумма на вашем счете. В данном примере 1000 долл.

r — процентная ставка, которая обычно выражается в процентах в год. Здесь 10% (или 0,10 в десятичном представлении).

n — количество лет, на протяжении которых будут начисляться проценты.

FV — будущая стоимость через n лет.

Теперь рассчитаем будущую стоимость в этом примере поэтапно. Во-первых, сколько денег у вас будет по окончании первого года? У вас будет 1000 долл., с которых начиналась данная финансовая операция, плюс проценты в размере 100 долл. (10% от 1000 долл. или 0,1x1000 долл.). Будущая стоимость ваших денег, таким образом, будет равняться 1100 долл.:

FV = 1000 долл. х 1,10 = 1100 долл.

Если вы оставите 1100 долл. еще на один год, то, сколько денег вы получите по окончании второго года? На протяжении второго года вы заработаете 10% от 1100 долл. Таким образом, сумма начисленных процентов будет равна 0,10 х 1100 долл., или 110 долл. Значит, к концу второго года вы будете счастливым обладателем 1210 долл.

Для того чтобы получить ясное представление о природе сложных процентов, мы можем разбить будущую стоимость (1210 долл.) на три составляющие. Первая часть - это исходные 1000 долл. Следующим компонентом будут проценты, начисленные на эту сумму, — 100 долл. за первый год и еще 100 долл. за второй год. Проценты, начисленные на основную сумму вклада, называются простыми процентами (200 долл. в нашем примере). И, наконец, есть еще проценты в размере 10 долл., полученные во второй год, которые были начислены на 100 долл., полученных в виде, процентов за первый год. Проценты, начисленные на уже выплаченные проценты, называются сложными процентами. Общая сумма процентных начислений (210 долл.) состоит из простых процентов (200 долл.) и сложных процентов (10 долл.).

Фактически вас не беспокоит то, сколько из общей суммы в 210 долл. приходится на простые проценты, а сколько — на сложные. Все, что вы действительно хотите знать, так это то, сколько денег будет на вашем счете в будущем. Самый простой способ расчета будущей стоимости к концу второго года заключается в умножении навальной суммы на коэффициент 1,1 (здесь мы опускаем нуль из 1,10 для того, чтобы упростить наше уравнение) и затем еще раз умножаем на 1,1:

FV=1000 долл. х 1,1x1,1 = 1000 долл.х1,1² =1210 долл.

Через три года у вас будет:

FV=1000 долл.х 1,1x1,1x1,1 = 1000 долл.х1,1³ =1331 долл.

Следуя этой цепочке рассуждений, мы можем найти будущую стоимость через пять лет с помощью повторного умножения:

1000 долл.х 1,1x1, 1x1, 1x1, 1x1,1=1000 долл.х 1,1⁵= 1610,51 долл.

Итак, теперь мы можем ответить на поставленный вопрос. Будущая стоимость 1000 долл. через пять лет при ставке ссудного процента 10% годовых составляет 1610,51 долл. Общая сумма процентных начислений за пять лет составляет 610,51 долл., из нее 500 долл. являются простыми процентами и 110,51 долл. — сложными.

Если r – процентная ставка и n – количество лет, то будущую стоимость 1000 долл. Можно узнать с помощью формулы: FV=1000 (1+r)ⁿ

Выражение в скобках в формуле, на которое умножается величина PV (1000 долл.), является будущей стоимостью 1 долл. и называется коэффициентом будущей стоимости. В нашем примере он равняется 1610,51. Формула для вычисления коэффициента будущей стоимости достаточно простая:

Коэффициент будущей стоимости = (1+r)ⁿ

[1]

ЗАДАЧИ для первой формулы

1. Вы решили дать в долг $ 1000 под 20% годовых на 2 года с ежегодным начислением процентов. Сколько Вы планируете вернуть денег?

Решение:

Ставки процента по кредитам и депозитам обычно устанавливаются в виде годовой процентной ставки, или процентной ставки в годовом начислении (APR), (например 6% в год) с определенной частотой ее начисления (например, ежемесячно). Ввиду того, что частота начислений может быть различной, очень важно знать способ сравнения процентных ставок. Это делается путем вычисления действующей (или эффективной) годовой процентной ставки (EFF), эквивалентной процентной ставке при условии начисления процентов один раз в году.

Предположим, что ваши деньги приносят доход в виде процентов при заданной годовой процентной ставке (APR) в размере 6% годовых, начисляемых ежемесячно. Это значит, что проценты начисляются на ваш счет каждый месяц в сумме ¹/₁₂ от установленной ставки APR. Таким образом, реальная ставка процента составляет ¹/₁₂% в месяц (или 0,005 в месяц в десятичном выражении).

Мы найдем EFF путем подсчета будущей стоимости в конце года в расчете на доллар, вложенный в начале года. В этом примере мы получим:

FK= (1,005)12= 1,0616778

Действующая годовая процентная ставка составляет.

EFF = 1,0616778-1 = 0,0616778 или 6,16778% в год

Общая формула для вычисления действующей годовой процентной ставки выглядит следующим образом:

EFF = ﴾1+APR/m﴿^m – 1 или [1а]

где APR — процентная ставка в годовом исчислении, m — число периодов начисления в год.

ЗАДАЧИ для формулы 1а:

Ссуда 2 млн. рублей выдана под сложные проценты (10% годовых) на 3 года с ежегодным начислением процентов к долгу. Сколько составит сумма долга к погашению? Если проценты будут начисляться ежеквартально? Какова эффективная ставка процента по ссуде?

Решение:

или 10,38%