Проверка порядка интегрируемости

Мисрокова Амина Нурбиевна

Индивидуальный проект по эконометрике

Преподаватель: Юдаева Мария Сергеевна

Работа представлена _________ ___________________

Оценка Подпись преподавателя

Санкт-Петербург

2011 г.

Исходные данные

В качестве исходных данных возьмем временные ряды, содержащие не менее 40 наблюдений

· источник данных: база данных ММВБ;

· тип данных – два индекса

· частота – месяцы

Посмотрим на графики обоих временных рядов:

Можно сделать отметить схожесть графиков, основные тенденции на них одинаковые, поэтому можно предположить, что между ними может быть коинтеграция.

Мотивация

Наблюдая за котировками ценных бумаг, товаров, производных финансовых инструментов на мировых финансовых рынках (как на фондовом рынке, так и на валютном, долговом рынке и рынке капитала) становится, очевидно, что цены на биржевые инструменты движутся синхронно и сонаправленно. Среди научного сообщества, среди большинства крупных макроэкономистов нет единого мнения относительно причин подобной синхронизации системы глобальных финансов. Часть исследователей основой для этого считают неэкономические мотивы участников рынка: широко использующийся трейдерами арсенал инструментов технического анализа финансовых рынков (в том числе стратегии, построенные на зависимости между разными рынками и разными биржевыми инструментами, определяющие движение котировок «друг за другом»), психологические причины. Другие макроэкономисты видят в этом, прежде всего, чисто экономические причины: современный мир стал абсолютно глобальным, более того, весь мир превратился в открытое информационное пространство, любые события, происходящие в мировой экономике оказывают влияние на всю мировую финансовую систему. В этом глобальном мире нет места закрытым экономикам, независимым экономикам, любое макроэкономическое действие на каком-либо отдельном рынке перестает быть локальным событием этого рынка, оно оказывает влияние на мировую экономику, в этом основа глобализации. Так или иначе, очевидно, что между финансовыми рынками, фондовыми рынками разных стран существует определенная взаимосвязь; в своей работе, я постараюсь определить наличие и проанализировать характер взаимосвязи между рынками Великобритании и России. Итак, в данной работе я сравниваю данные индексов ММВБ (MICEX, наиболее ликвидный индекс РФ) и FTSE-100 (основной рыночный индикатор Великобритании, взвешенный по 100 крупнейшим компаниям британской экономики) ежемесячные данные, с июля 2008 по октябрь 2011 года.

Проверка порядка интегрируемости

Проверка ряда ft на порядок интегрируемости:

Построим уравнение следующего вида: ∆ln ft=α ln ft_(t-1) + c + β_t + ε_t

Для этого в комендной строке введем: ls d(ft) ft(-1) c @ trend

Нулевая гипотеза H₀ состоит в том, что α=0, то есть единичный корень существует и ряд не стационарен, гипотеза H₁ – в том, что α <0, единичный корень не существует и ряд стационарен.

H₀: α=0

H₁: α <0

Dependent Variable: D(FT)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 03:25
Sample (adjusted): 2008M08 2011M10
Included observations: 39 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
FT(-1)	-0.246624	0.093799	-2.629278	0.0125
C	1033.746	417.7163	2.474758	0.0182
@TREND	12.01973	5.211424	2.306419	0.0270
R-squared	0.168162	Mean dependent var	1.396410
Adjusted R-squared	0.121949	S.D. dependent var	272.4135
S.E. of regression	255.2634	Akaike info criterion	13.99627
Sum squared resid	2345738.	Schwarz criterion	14.12424
Log likelihood	-269.9273	Hannan-Quinn criter.	14.04219
F-statistic	3.638829	Durbin-Watson stat	1.576109
Prob(F-statistic)	0.036366

Все коэффициенты значимы, так как их prob.<0,05, уровень значимости - 5%, c и @trend оставляем, так как они значимы

Проверяем на наличие автокорреляции с помощью Correlation LM Test:

Гипотезы:

H_0: ρ₁ = …=ρ_m=0 отсутствие автокорреляции

H₁: наличие автокорреляции

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	0.929232	Prob. F(5,31)	0.4755
Obs*R-squared	5.083303	Prob. Chi-Square(5)	0.4058
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 03:28
Sample: 2008M08 2011M10
Included observations: 39
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
FT(-1)	-0.161646	0.162810	-0.992852	0.3285
C	731.9019	730.1913	1.002343	0.3239
@TREND	4.543629	6.695589	0.678600	0.5024
RESID(-1)	0.310431	0.222762	1.393551	0.1734
RESID(-2)	-0.005366	0.220338	-0.024354	0.9807
RESID(-3)	0.168063	0.218335	0.769747	0.4473
RESID(-4)	0.331894	0.208131	1.594640	0.1209
RESID(-5)	0.042208	0.214624	0.196659	0.8454
R-squared	0.130341	Mean dependent var	2.55E-14
Adjusted R-squared	-0.066033	S.D. dependent var	248.4551
S.E. of regression	256.5272	Akaike info criterion	14.11303
Sum squared resid	2039992.	Schwarz criterion	14.45427
Log likelihood	-267.2040	Hannan-Quinn criter.	14.23546
F-statistic	0.663737	Durbin-Watson stat	1.893187
Prob(F-statistic)	0.700583

Так как prob=0,4755, prob>0,05,мы не отвергаем H₀, то есть автокорреляции нет.

∆ln ft=-0.246624ft_(t-1) +1033.746+12.01973_t+ε_t

Проведем проверку на порядок интегрируемости:

H₀: есть единичный корень, ряд не стационарен

H₁: нет единичного корня, ряд стационарен

Для этого сравним t-stat. (статистическое) и t-cr (расчетное)

Dependent Variable: D(FT)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 03:33
Sample (adjusted): 2008M08 2011M10
Included observations: 39 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
FT(-1)	-0.246624	0.093799	-2.629278	0.0125
C	1033.746	417.7163	2.474758	0.0182
@TREND	12.01973	5.211424	2.306419	0.0270
R-squared	0.168162	Mean dependent var	1.396410
Adjusted R-squared	0.121949	S.D. dependent var	272.4135
S.E. of regression	255.2634	Akaike info criterion	13.99627
Sum squared resid	2345738.	Schwarz criterion	14.12424
Log likelihood	-269.9273	Hannan-Quinn criter.	14.04219
F-statistic	3.638829	Durbin-Watson stat	1.576109
Prob(F-statistic)	0.036366

t_stat= -2.629278

Для нахождения расчетного значения используем Unit Root Test

Unit Root Test:

Null Hypothesis: FT has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 0 (Fixed)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-2.629278	0.2703
Test critical values:	1% level		-4.211868
	5% level		-3.529758
	10% level		-3.196411
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(FT)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 14:39
Sample (adjusted): 2008M08 2011M10
Included observations: 39 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
FT(-1)	-0.246624	0.093799	-2.629278	0.0125
C	1033.746	417.7163	2.474758	0.0182
@TREND(2008M07)	12.01973	5.211424	2.306419	0.0270
R-squared	0.168162	Mean dependent var	1.396410
Adjusted R-squared	0.121949	S.D. dependent var	272.4135
S.E. of regression	255.2634	Akaike info criterion	13.99627
Sum squared resid	2345738.	Schwarz criterion	14.12424
Log likelihood	-269.9273	Hannan-Quinn criter.	14.04219
F-statistic	3.638829	Durbin-Watson stat	1.576109
Prob(F-statistic)	0.036366

t_cr=-3.529758

T_stat > t_cr=-3.529758, т е мы не отвергаем нулевую гипотезу о том, что единичный корень есть, ряд не стационарен.

Проверим первую разность на порядок интегрируемости:

В командной строке: ls d(ft,2) d(ft(-1)) c @trend

Dependent Variable: D(FT,2)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 15:31
Sample (adjusted): 2008M09 2011M10
Included observations: 38 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
D(FT(-1))	-0.855128	0.167833	-5.095106	0.0000
C	-68.75673	94.94777	-0.724153	0.4738
@TREND	3.188158	4.082503	0.780932	0.4401
R-squared	0.429065	Mean dependent var	2.978421
Adjusted R-squared	0.396441	S.D. dependent var	354.9604
S.E. of regression	275.7655	Akaike info criterion	14.15264
Sum squared resid	2661631.	Schwarz criterion	14.28192
Log likelihood	-265.9001	Hannan-Quinn criter.	14.19863
F-statistic	13.15150	Durbin-Watson stat	1.564267
Prob(F-statistic)	0.000055

Константа и тренд не значимы, их можно исключить:

Dependent Variable: D(FT,2)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 15:43
Sample (adjusted): 2008M09 2011M10
Included observations: 38 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
D(FT(-1))	-0.849739	0.164477	-5.166302	0.0000
R-squared	0.419025	Mean dependent var	2.978421
Adjusted R-squared	0.419025	S.D. dependent var	354.9604
S.E. of regression	270.5569	Akaike info criterion	14.06481
Sum squared resid	2708438.	Schwarz criterion	14.10790
Log likelihood	-266.2313	Hannan-Quinn criter.	14.08014
Durbin-Watson stat	1.546943

Уравнение выглядит следующим образом:

∆2ln ft=-0.849739∆ln ft_(t-1)+ε_t

Проверяем на автокорреляцию:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	3.251605	Prob. F(5,32)	0.0174
Obs*R-squared	12.79813	Prob. Chi-Square(5)	0.0253
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 15:58
Sample: 2008M09 2011M10
Included observations: 38
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
D(FT(-1))	-3.592439	1.045706	-3.435421	0.0017
RESID(-1)	3.649391	1.044953	3.492397	0.0014
RESID(-2)	0.386006	0.219073	1.761995	0.0876
RESID(-3)	0.092166	0.159423	0.578119	0.5672
RESID(-4)	0.250933	0.157264	1.595611	0.1204
RESID(-5)	0.067482	0.161669	0.417408	0.6792
R-squared	0.336793	Mean dependent var	-3.359294
Adjusted R-squared	0.233167	S.D. dependent var	270.5355
S.E. of regression	236.9052	Akaike info criterion	13.91714
Sum squared resid	1795971.	Schwarz criterion	14.17570
Log likelihood	-258.4256	Hannan-Quinn criter.	14.00913
Durbin-Watson stat	2.129608

Она есть, так как prob<0,05

Нам нужно избавиться от автокорреляции:

Можно заметить, что 4-ый лаг выступает, поэтому добавим его:

Dependent Variable: D(FT,2)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 16:42
Sample (adjusted): 2008M12 2011M10
Included observations: 35 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
D(FT(-1))	-0.939595	0.169915	-5.529792	0.0000
D(FT(-4))	0.276776	0.147566	1.875609	0.0496
R-squared	0.500619	Mean dependent var	12.22000
Adjusted R-squared	0.485487	S.D. dependent var	321.0575
S.E. of regression	230.2932	Akaike info criterion	13.77203
Sum squared resid	1750154.	Schwarz criterion	13.86091
Log likelihood	-239.0105	Hannan-Quinn criter.	13.80271
Durbin-Watson stat	1.898778

проверяем на автокорреляцию:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	0.157018	Prob. F(5,28)	0.9761
Obs*R-squared	0.406378	Prob. Chi-Square(5)	0.9952
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 16:44
Sample: 2008M12 2011M10
Included observations: 35
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
D(FT(-1))	-0.558285	0.837822	-0.666353	0.5106
D(FT(-4))	0.061034	0.248961	0.245153	0.8081
RESID(-1)	0.579644	0.867458	0.668209	0.5095
RESID(-2)	-0.021663	0.208212	-0.104042	0.9179
RESID(-3)	-0.004219	0.214590	-0.019659	0.9845
RESID(-4)	-0.094201	0.331906	-0.283818	0.7786
RESID(-5)	0.246957	0.314708	0.784718	0.4392
R-squared	0.011611	Mean dependent var	28.15031
Adjusted R-squared	-0.200187	S.D. dependent var	225.0763
S.E. of regression	246.5780	Akaike info criterion	14.03009
Sum squared resid	1702420.	Schwarz criterion	14.34116
Log likelihood	-238.5266	Hannan-Quinn criter.	14.13747
Durbin-Watson stat	1.963574

Prob >0,05, значит автокореляции нет

Проверка порядка интегрируемости:

Dependent Variable: D(FT,2)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 17:55
Sample (adjusted): 2008M12 2011M10
Included observations: 35 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
D(FT(-1))	-0.939595	0.169915	-5.529792	0.0000
D(FT(-4))	0.276776	0.147566	1.875609	0.0496
R-squared	0.500619	Mean dependent var	12.22000
Adjusted R-squared	0.485487	S.D. dependent var	321.0575
S.E. of regression	230.2932	Akaike info criterion	13.77203
Sum squared resid	1750154.	Schwarz criterion	13.86091
Log likelihood	-239.0105	Hannan-Quinn criter.	13.80271
Durbin-Watson stat	1.898778

t_stat=-5.529792

Null Hypothesis: D(FT) has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 1 (Fixed)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic	-5.006388	0.0000
Test critical values:	1% level		-2.628961
	5% level		-1.950117
	10% level		-1.611339
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(FT,2)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 17:56
Sample (adjusted): 2008M10 2011M10
Included observations: 37 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
D(FT(-1))	-0.954181	0.190593	-5.006388	0.0000
D(FT(-1),2)	0.208385	0.149817	1.390929	0.1730
R-squared	0.461944	Mean dependent var	28.97378
Adjusted R-squared	0.446571	S.D. dependent var	321.0992
S.E. of regression	238.8747	Akaike info criterion	13.84229
Sum squared resid	1997139.	Schwarz criterion	13.92937
Log likelihood	-254.0824	Hannan-Quinn criter.	13.87299
Durbin-Watson stat	2.094116

tcr =1.950117

t_stat=-5.529792 < t_cr =-1.950117

нулевая гипотеза отвергается, единичного корня нет, ряд стационарен

Рассмотрим ряд mixec:

Уравнение, которое будем строить, выглядит следующим образом:

∆ln micex_t=αln micex_(t-1) + c + β_t + ε_t

В командной строке вводим следующую команду:

ls d(micex) micex(-1) c @trend

Dependent Variable: D(MICEX)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 18:12
Sample (adjusted): 2008M08 2011M10
Included observations: 39 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
MICEX(-1)	-0.250743	0.079840	-3.140574	0.0034
C	173.2149	72.76702	2.380403	0.0227
@TREND	7.465990	2.447360	3.050631	0.0043
R-squared	0.229064	Mean dependent var	-1.625897
Adjusted R-squared	0.186235	S.D. dependent var	115.6537
S.E. of regression	104.3299	Akaike info criterion	12.20680
Sum squared resid	391850.5	Schwarz criterion	12.33476
Log likelihood	-235.0325	Hannan-Quinn criter.	12.25271
F-statistic	5.348255	Durbin-Watson stat	1.110793
Prob(F-statistic)	0.009254

Тренд и константа значимы, их оставляем

Проверяем на автокорреляцию:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	3.128866	Prob. F(5,31)	0.0212
Obs*R-squared	13.08045	Prob. Chi-Square(5)	0.0226
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 18:56
Sample: 2008M08 2011M10
Included observations: 39
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
MICEX(-1)	-0.204357	0.098240	-2.080182	0.0459
C	178.7639	90.41066	1.977244	0.0570
@TREND	3.957633	2.434019	1.625966	0.1141
RESID(-1)	0.522916	0.172537	3.030753	0.0049
RESID(-2)	0.124254	0.198270	0.626690	0.5355
RESID(-3)	0.235857	0.202314	1.165794	0.2526
RESID(-4)	0.244161	0.203875	1.197603	0.2401
RESID(-5)	-0.107446	0.199546	-0.538452	0.5941
R-squared	0.335396	Mean dependent var	2.92E-15
Adjusted R-squared	0.185324	S.D. dependent var	101.5473
S.E. of regression	91.65598	Akaike info criterion	12.05464
Sum squared resid	260425.4	Schwarz criterion	12.39589
Log likelihood	-227.0655	Hannan-Quinn criter.	12.17708
F-statistic	2.234904	Durbin-Watson stat	2.141518
Prob(F-statistic)	0.058181

Автокорреляция есть, так как prob<0,05

Попробуем добавить 1 и 2 лаги (2-ой лаг необходим для улудшения модели):

Dependent Variable: D(MICEX)
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 19:41
Sample (adjusted): 2008M10 2011M10
Included observations: 37 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
MICEX(-1)	-0.286724	0.102606	-2.794433	0.0087
C	223.7064	77.05813	2.903086	0.0066
@TREND	7.403847	3.266059	2.266905	0.0303
D(MICEX(-1))	0.386478	0.147203	2.625480	0.0132
D(MICEX(-2))	0.166154	0.156901	1.058974	0.2975
R-squared	0.338586	Mean dependent var	10.92595
Adjusted R-squared	0.255909	S.D. dependent var	102.6485
S.E. of regression	88.54531	Akaike info criterion	11.92999
Sum squared resid	250888.7	Schwarz criterion	12.14769
Log likelihood	-215.7049	Hannan-Quinn criter.	12.00674
F-statistic	4.095292	Durbin-Watson stat	2.139889
Prob(F-statistic)	0.008609

Проверим на автокорреляцию

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	1.720308	Prob. F(5,27)	0.1639
Obs*R-squared	8.939415	Prob. Chi-Square(5)	0.1115
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 11/30/11 Time: 19:44
Sample: 2008M10 2011M10
Included observations: 37
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
MICEX(-1)	0.396890	0.394824	1.005233	0.3237
C	-252.3407	287.4304	-0.877920	0.3877
@TREND	-12.58253	10.48577	-1.199963	0.2406
D(MICEX(-1))	0.846731	0.660737	1.281494	0.2109
D(MICEX(-2))	-0.449218	0.576245	-0.779560	0.4424
RESID(-1)	-1.453253	1.040366	-1.396867	0.1738
RESID(-2)	-0.186172	0.389991	-0.477376	0.6369
RESID(-3)	0.059590	0.429296	0.138809	0.8906
RESID(-4)	0.431800	0.328492	1.314492	0.1997
RESID(-5)	0.246590	0.268898	0.917040	0.3672
R-squared	0.241606	Mean dependent var	-1.20E-13
Adjusted R-squared	-0.011192	S.D. dependent var	83.48132
S.E. of regression	83.94719	Akaike info criterion	11.92371
Sum squared resid	190272.5	Schwarz criterion	12.35910
Log likelihood	-210.5887	Hannan-Quinn criter.	12.07721
F-statistic	0.955727	Durbin-Watson stat	2.072448
Prob(F-statistic)	0.496023

Авторорреляции нет, так как prob>0,05

Запишем полученное уравнение:

∆ln micex=-0.286724ln micex _(t-1) + 0.386478∆ln micex_(t-1)+ +0.166154∆ln micex_(t-2)+ 223.7064+ 7.403847_t

Порядок интегрируемости:

Проверим гипотезы:

H₀: есть единичный корень, ряд не стационарен

H₁: нет единичного корня, ряд стационарен