Оптимизация портфеля, состоящего из двух ценных бумаг
Как было показано ранее доходность и среднеквадратичное отклонение портфеля, состоящего из двух активов определяется следующими соотношениями:
Rp = R1*W1+R2*W2
= ( 2*Wх2 + 2*Wу2 +2*Wх* Wу* * *CRxy)1/2
Рассмотрим задачу определение структуры портфеля, обеспечивающего минимальный уровень риска. Обозначим за W – доля актива Х в портфеле, тогда (1- W) будет доля актива У. С учетом этого выражение для стандартного отклонения портфеля будет иметь вид:
= ( 2* W 2 + 2*(1- W)2 +2* W * (1- W)* * *CRxy)1/2
При заданных значениях и CRxy величина стандартного отклонения портфеля является функцией W. Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее первой производной. Продифференцируем данную функция по переменной W и приравняем первую производную к нулю:
(2* 2* W – 2* 2*(1- W) +2* (1-2 W)* * *CRxy)1/2) =0
2*( 2* W 2 + 2*(1- W)2 +2* W * (1- W)* * *CRxy)1/2
Из данного выражения получаем
W = ( 2 - * *CRxy)/( 2+ 2- 2 * *CRxy)
Полученное выражение позволяет определить удельный вес активов в портфеле, обеспечивающий минимальный риск.
Рассмотрим ряд частных случаев.
1. Между активами имеет место наибольшая отрицательная ковариация, т.е CRxy = -1.
Выражение для удельного веса актива Х в этом случае будет иметь вид
W = ( 2 + * )/( 2+ 2+ 2 * ) = /( + )
1- W = /( + )
Для нахождения среднеквадратичного отклонения портфеля необходимо подставить полученные выражения для удельных весов активов в исходное выражение для
= ( 2*Wх2 + 2*Wу2 +2*Wх* Wу* * *CRxy)1/2
= ( 2*[ /( + )]2 + 2*[ /( + )]2-2*[ /( + )]* [ /( + )]* * )1/2 = 0.
Таким образом, при абсолютной отрицательной ковариации между активами можно определить такие их удельные веса, что риск портфеля будет равен нулю.
2. Рассмотрим далее случай ковариации активов равной нулю, т.е. CRxy = -0. Подставляя в выражение
W = ( 2 - * *CRxy)/( 2+ 2- 2 * *CRxy)
CRxy = -0, Получим
W = ( 2 )/( 2+ 2)
1- W = ( 2 )/( 2+ 2)
Риск портфеля в этом случае будет равен
= */( 2+ 2)1/2
2. Третий случай будет соответствовать абсолютной положительной ковариации активов Х и У. Подставим в выражение
W = ( 2 - * *CRxy)/( 2+ 2- 2 * *CRxy)
CRxy = 1, Получим
W = /( - )
1- W = - /( - )
Минимальный риск портфеля в этом случае достигается при отрицательном удельном весе одного из активов в портфеле.
Пример. Рассмотрим две ценные бумаги Х и У. Их среднемесячная доходность представлена в таблице.
Доходность | ||||||||||||
Х | 5,5 | 8,1 | 6,2 | 3,4 | 8,5 | 6,0 | 7,0 | 5,0 | 8,0 | 9,0 | 9,5 | 7,5 |
У |
Средняя доходность активов Х и У будет равна:
Rcx = (5,5+8,1+6,2+3,4+8,5+6,0+7,0+5,0+8,0+9,0+9,5+7,5)/12 = 7,0
Rcу = (10+30+20+40+25+10+5+30+10+15+50+20)/12 = 22,1
Среднеквадратичное отклонение доходности ценных бумаг и коэффициент корреляции равны:
= 1,8, = 13,6, CRxy = 0,026.
Доходность и риск портфеля в зависимости от вариантов его формирования представлены в таблице:
Варианты портфелей ценных бумаг Х и У