Система сходящихся сил

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ

Сила и система сил

Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического действия одного материального тела на другое. Всякая сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Сила – приложенный вектор.

Линия действия силы – прямая, проходящая через точку приложения силы и вдоль которой расположена сила.

Системой сил называется совокупность сил, приложенных к твердому телу. Обозначение:

Две параллельные силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны, называются парой сил, или просто парой (рис. 1).

Две силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны и имеющие общую линию действия, называются прямо противоположными

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется сходящейся системой сил(рис. 3).

Точка пересечения сил этой системы называется точкой схода.

Система сил, линии действия которых параллельны между собой, называется системой параллельных сил.

Кроме сходящихся и параллельных систем сил различают произвольные системы сил– это системы сил, линии действия которыхрасположены как угодно в пространстве (пространственная система сил) или на плоскости (плоская система сил).

Всякой силе ставится в соответствие свободный вектор – вектор силы. Вектором силы называется свободный вектор, параллельный силе, направленный в ту же сторону и имеющий длину, равную длине силы.

Главным вектором системы сил называется свободный вектор, равный геометрической сумме векторов сил, составляющих систему.

Обозначение: , .

Если задана система сил , то

.

Строится главный вектор как геометрическая сумма векторов. Например, на тело действует система сил (рис. 4).

Из произвольной точки строим вектор силы , из его конца строим вектор силы и так далее. Вектор , который соединяет начало вектора силы с концом вектора силы – главный вектор. Ломанная линия, получающаяся при нахождении главного вектора называется силовым многоугольником. Если начало и конец силового многоугольника совпадают, то силовой многоугольник называется замкнутым. Если силовой многоугольник замкнут, то главный вектор равен нулю.

Аксиомы статики

Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами статики. Аксиомы статики представляют собой результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой.

Аксиома 1. Под действием двух сил твердое тело находится в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы прямо противоположны, то есть равны по величине, направлены в противоположные стороны и имеют общую линию действия (рис. 5).

Аксиома 2. Равновесие твердого тела не нарушится, если к силам, действующим на тело, присоединить, либо из числа сил, действующих на тело, изъять, если таковые имеются, две прямо противоположные силы.

Следствие 1. Равновесие твердого тела не нарушится, если любую из сил, приложенных к телу, перенести вдоль ее линии действия.

Действительно, пусть сила приложена в точке (рис. 6а).

Приложим в произвольной точке на линии действия две прямо противоположные силы и полагая, что и (рис. 6б). Согласно аксиоме 2 состояние равновесия не нарушится. Так как силы и прямо противоположны, то, согласно аксиоме 2, их можно отбросить (рис. 6в). Вместо силы , приложенной в точке , осталась равная ей сила , приложенная в точке , что доказывает следствие. Это следствие показывает, чтосила, приложенная к абсолютно твердому телу, представляет собой скользящий вектор. Полученный результат справедлив только для сил, действующих на абсолютно твердое тело; во всех других случаях (например, в случае деформируемых тел) сила, как было сказано выше, есть приложенный вектор.

Аксиома 3. Равновесие твердого тела нарушится, если две силы, приложенные к одной его точке, заменить одной силой, приложенной в той же точке и равной их геометрической сумме (по правилу параллелограмма), либо одну силу заменить двумя ее составляющими (по тому же правилу).

Следствие 2. Равновесие твердого тела не нарушится, если действующую на него систему сходящихся сил заменить одной силой, которая приложена в точке схода и равна главному вектору этой системы сил.

Согласно следствию 1, не нарушая равновесие тела, переносим силы вдоль их линий действия в точку схода (рис. 8б), а затем по аксиоме 3 заменяем по правилу параллелограмма силы и одной силой . Рассматриваемое тело находится в равновесии под действием приложенных в точке сил , то есть под действием силы (рис. 8в). Снова применяем правило параллелограмма к двум силам и , заменяя их силой . Тело будет находиться в равновесии под действием сил . Продолжая этот процесс до полного исчерпывания сил системы, получаем в результате только одну силу , приложенную в точке схода и заменяющую исходную систему сходящихся сил. Эта сила изображается главным вектором системы, так как нахождение геометрической суммы с помощью правила многоугольника и последовательным применением правила параллелограмма дает один и тот же результат.

Следствие 3. Под действием одной силы тело не может находиться в состоянии равновесия.

Для доказательства разложим эту силу на две составляющие по правилу параллелограмма. Эти составляющие не прямо противоположны, следовательно, на основании аксиомы 1 тело не будет находиться в состоянии равновесия.

Аксиома 4 (третий закон Ньютона) Источником каждой силы является материальное тело, причем два тела действуют друг на друга с прямо противоположными силами.

Следует помнить, что силы действия и противодействия приложены к разным материальным телам.

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Состояние равновесия изменяемого(деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим(абсолютно твердым).

СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ

Различают тела свободные и несвободные. Твердое тело называется свободным, если из данного положения его можно перевести в любое смежное. Несвободным телом называется тело, перемещение которого в каком либо одном или нескольких направлениях ограничено.

Тела (устройства, приспособления), которые препятствуют каким либо перемещениям данного тела, называются связями, наложенными на тело. Связи, наложенные на тело, являются источником сил, действующих на это тело и называемых реакциями связей.

О с н о в н ы е т и п ы с в я з е й

1. Идеально гладкая (без трения) поверхность

Поверхность называется идеально гладкой, если она не оказывает сопротивления соприкасающемуся с ней телу при перемещении тела по поверхности. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению нормали к этой поверхности. Поэтому реакция (рис. 10) идеально гладкой опорной

поверхности направлена по нормали к этой поверхности.

Таким образом, при определении реакции идеально гладкой поверхности необходимо определить одну неизвестную величину реакции, так как направление этой реакции известно. Когда говорят, что тело свободно опирается на поверхность, предполагается, что поверхность идеально гладкая.

2. Гибкая нерастяжимая нить (трос, цепь, канат)

Реакция гибкой, нерастяжимой и невесомой нити направлена вдоль нити, внутрь нити (рис. 11) Нить может работать только на растяжение.

3. Связи с неподвижной осью вращения (цилиндрический шарнир, подшипник)

Связь с неподвижной осью вращения – это соединение двух тел, которое дает возможность одному телу вращаться относительно другого вокруг оси (рис. 12). Предполагается что поверхности соприкасающихся тел идеально гладкие. Такая связь препятствует перемещениям тела, перпендикулярным оси вращения. Однако заранее нельзя указать направление реакции связи с неподвижной осью вращения; можно только утверждать, что реакция этой связи проходит через ось и расположена в плоскости, перпендикулярной оси.

Неизвестные вектор реакции связи определяется в плоскости двумя составляющими и , то есть реакция связи с неподвижной осью вращения содержит две неизвестные величины.

4. Связь с неподвижным центром вращения (сферический шарнир)

Сферическим шарниром называется устройство, изображенное на рис 13а, которое делает неподвижной точку рассматриваемого тела.

Предполагается, что сферические поверхности контакта идеально гладкие. Тогда реакция сферического шарнира имеет направление нормали к его поверхности. Единственное, что известно относительно реакции – это то, что она проходит через центр шарнира , но может иметь любое направление в пространстве, то есть определяется тремя проекциями на три оси координат. Тремя составляющими определяется также реакция подпятника или радиально-упорного подшипника (рис. 13б).

5. Опорный стержень

Предполагается, что стержень невесомый, имеет на концах шарниры, а силы приложены только к концам стержня.

Реакция такого идеального стержня направлена вдоль оси стержня, в чем не трудно убедиться. Действительно, если силы приложены только к концам стержня, то он находится в равновесии под действием двух сил, а по аксиоме 1 это возможно, если эти силы пряморотивоположны—направлены по прямой, соединяющей концы стержня. Если реакции направлены наружу (рис. 14а) – стержень сжат, если внутрь (рис. 14б) – растянут. Так как растягивающему усилию приписывают знак плюс, то направляя реакцию вовнутрь, мы получаем величину усилия со знаком плюс.

На рис 14в изображен растянутый стержень с криволинейной осью.

СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ