Декурсивный метод начисления простых процентов
Начисление простых ставок применяется, как правило, при краткосрочном кредитовании.
Введем обозначения:
S – наращенная сумма, р.;
P – первоначальная сумма долга, р.;
i – годовая процентная ставка (в долях единицы);
n – срок ссуды в годах.
В конце первого года наращенная сумма долга составит
S1 = P + P i = Р (1+ i);
в конце второго года:
S2 = S1 + P i = Р (1+ i) + P i = Р (1+ 2 i );
в конце третьего года:
S3 = S2 + Pi = Р (1+ 2 i) + P i = Р (1+3 i) и так далее.
В конце срока n: S1 = Р (1+ n i).
Это формула наращения по простой ставке процентов.
Надо иметь в виду, что процентная ставка и срок должны соответствовать друг другу, т.е. если берется годовая ставка, то срок должен быть выражен в годах (если квартальная, то и срок – в кварталах и т.д.).
Выражение в скобках представляет собой коэффициент наращения по простой ставке процентов:
КН = (1+ n i).
Следовательно,
S1 = Р КН.
Задача.1
Банк выдал ссуду в размере 5 млн р. на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить погашаемую сумму.
Решение:
S = 5 млн. (1 + 0.5 · 0.12) = 5 300 000 р.
Если срок, на который деньги берутся в долг, задан в днях, наращенная сумма будет равна S = Р (1 + д/К · i),
где д – продолжительность срока в днях;
К – число дней в году.
Величину К называют временной базой.
Временная база может браться равной фактической продолжительности года – 365 или 366 (тогда проценты называются точными) или приближенной, равной 360 дням (тогда это обыкновенные проценты).
Значение числа дней, на которые деньги взяты в долг, может также определяться точно или приближенно. В последнем случае продолжительность любого целого месяца принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи денег в долг и дата их возвращения считается за один день.
Задача.2
Банк выдал ссуду в размере 200 тыс. р. с 12.03 по 25.12 (год високосный) по ставке 7% годовых. Определить размер погашаемой суммы с различными вариантами временной базы при точном и приближенном числе дней ссуды и сделать вывод о предпочтительных вариантах с точки зрения банка и заемщика.
Решение:
Точное число дней ссуды с 12.03. по 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Приближенное число дней ссуды:
20+8·30+25=285;
а) Точные проценты и точное число дней ссуды:
S =200 000 (1+289/366 · 0.07) = 211 016 р.;
б) обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:
S =200 000 (1+289/360 · 0.07) =211 200;
в) обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:
S= 200 000 (1+285/360 · 0.07) =211 044;
г) точные проценты и приближенное число дней ссуды:
S= 200 000 (1+285/366 · 0.07) =210 863.
Таким образом, самая большая наращенная сумма будет в варианте б) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, а самая маленькая – в варианте г) – точные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Следовательно, с точки зрения банка как кредитора предпочтительным является вариант б), а с точки зрения заемщика – вариант г).
Надо иметь в виду, что кредитору в любом случае более выгодны обыкновенные проценты, а заемщику – точные (при любых ставках – простых или сложных). В первом случае наращенная сумма всегда больше, а во втором случае – меньше.
Если ставки процентов на разных интервалах начисления в течение срока долга будут различными, наращенная сумма определяется по формуле
N
S = Р (1 + ∑ nt • it),
t=1
где N – количество интервалов начисления процентов;
nt – длительность t-го интервала начисления;
it – ставка процентов на t- м интервале начисления.
Задача 3
Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 10%, а потом каждые полгода увеличивается на 2 процентных пункта. Определить размер вклада в 50 тыс. р. с процентами через 3 года.
Решение:
S = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 • 0.12 + 0.5 • 0.14 + 0.5 • 0.16 + 0.5 • 0.18) = 70 000 р.
Используя формулу для наращенной суммы, можно определить срок ссуды при прочих заданных условиях.
Срок ссуды в годах:
S – P
N = ————.
P • i
Задача.4
Определить срок ссуды в годах, за который долг 200 тыс. р. возрастет до 250 тыс. р. при использовании простой ставки процентов – 16% годовых.
Решение:
(250 000 – 200 000) / (200 000 • 0.16) = 1.56 (лет).
Из формулы для наращенной суммы можно определить ставку простых процентов, а также первоначальную сумму долга.
Решить самостоятельно
Задача 5
При выдаче кредита 600 тыс. р. оговорено, что заемщик вернет через два года 800 тыс. р. Определить использованную банком величину ставки процентов. Ответ: 17%.
Задача 6
Ссуда, выданная по простой ставке 15% годовых, должна быть возвращена через 100 дней. Определить сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, полученных банком, если возвращаемая сумма должна составить 500 тыс. р. при временной базе 360 дней.
Ответ: 480 000 р.
Операцию нахождения первоначальной суммы долга по известной погашаемой называют дисконтированием. В широком смысле термин "дисконтирование" означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значению S. Подобные расчеты называют также приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определенное дисконтированием, называют современным, или приведенным, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени. Коэффициент дисконтирования всегда меньше единицы.
Формула дисконтирования по простой ставке процентов:
P = S / (1 + ni), где 1 / (1 + ni) – коэффициент дисконтирования.