Антисипативный метод начисления сложных процентов
(сложные учетные ставки)
Введем следующие обозначения:
dс – сложная учетная ставка;
f – номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении процентов по учетной ставке несколько раз в году);
Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:
P = S (1 - dс)n.
Наращенная сумма через n лет: S = P / (1 - dс)n.
Здесь 1 / (1 - dс)n – коэффициент наращения по сложной учетной ставке.
При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. Поэтому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный – кредитору. Однако это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.
Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро увеличивается с ростом учетной ставки, стремясь к бесконечности.
Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:
N
S = P / Π (1 – nt dt).
t=1
Здесь n1, n2, … nN – продолжительность интервалов начисления в годах;
d1, d2, … dN – учетные ставки в этих интервалах;
Если начисление процентов m раз в году, то
S = P / (1 – f/m)mn.
Если провести расчеты S для разных видов процентных ставок (простых и сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок, то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по простой учетной ставке.
Задача 17
Первоначальная сумма долга – 25 тыс. р. Определить наращенную сумму через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая процентная ставка – 25%.
Решение:
S1 = 25 000 (1 + 0.25)3 = 48 828,125 р.;
S2 = 25 000 (1 – 0.25)-3 = 59 255,747 р.
Решите самостоятельно
Задача 18
Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.
Ответ: 76 800 р
Задача 19 .
Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок при одинаковых начальных условиях: P = 10 000 р., процентная ставка = 10%.
Результаты расчетов свести в таблицу и сравнить скорости наращения.
| Вид ставки и формула расчета S | Срок n = 1 | Срок n = 3 | Срок n = 6 |
| Простая ссудная: S = P (1 + in) | 11 000 | 13 000 | 16 000 |
| Сложная ссудная: S = P (1 + iс)n | |||
| Непрерывный способ начисления %% S = P · e j n | 11 044 | ||
| Простая учетная: S = P / (1 – dn) | |||
| Сложная учетная: S = P / (1 – d)n |
Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращенных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.
В формуле расчета для непрерывного начисления процентов e – основание натурального логарифма. Для n = 1: S = 10 000 х 2.70.1 х 1 = 11 044.
Эквивалентные процентные ставки
Эквивалентные процентные ставки – это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Их необходимо знать, когда существует возможность выбора условий финансовых операций и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных видов ставок (обычно это наращенная сумма). На основании равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Например, для нахождения простой учетной ставки, эквивалентной простой ссудной ставке, уравнение эквивалентности будет иметь вид
P (1 + ni) = P/ (1 – nd) или (1 + ni) = 1 / (1 – nd),
т.е. необходимо приравнять соответствующие коэффициенты наращения.
Отсюда d = i / (1 + ni) и i = d / (1 – nd).
Задача 20
Срок уплаты по долговому обязательству – полгода, простая учетная ставка – 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудных процентов?
Решение:
i= 0.18 / (1 – 0.5 х 0.18) = 0.198 = 19.8%.
Для нахождения эквивалентности между собой годовой сложной ссудной ставки и годовой сложной номинальной ссудной ставки приравняем выражения:
S = P (1 + iс)n и S = P (1 + j/m)mn, т.е. (1 + iс)n = (1 + j/m)mn.
Отсюда iс = (1 + j/m) m – 1.
Полученная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Ее необходимо знать для определения реальной доходности или сравнения процентов, когда используются разные интервалы начисления.
Задача 21
Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка 24% и начисление процентов ежемесячное.
Решение:
iс = (1 + 0.24 / 12)12 – 1 = 0.268 = 26.8%.
Задача 22
Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 тыс. р. на 5 лет:
а) под простую ссудную ставку 20% годовых;
б) под сложную ссудную ставку 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов.
Решение:
Здесь не обязательно считать величину наращенной суммы при различных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, т.е. использовать формулу
i = [(1 + j / m)mn – 1] / n = [(1 + 0.12 / 4)20 – 1] / 5 = 0.1612 = 16.12%.
Поскольку простая процентная ставка 16.12%, которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой (12%) результат, значительно ниже предложенной в первом варианте ставки (20%), ясно, что гораздо выгоднее первый вариант вложения (под простую ставку 20% годовых).
Посчитаем теперь наращенные суммы в обоих случаях:
а) S = 10 000 (1 + 5 х 0.2) = 20 000 тыс. р.;
б) S = 10 000 (1 + 0.12 / 4)20 = 18 061 тыс. р.
Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод о том, что первый вариант более выгоден, поскольку дает большую сумму наращения. При этом использование эквивалентных ставок вдвое сокращает расчеты.
Решите самостоятельно
Задача 23
Вексель учтен за три месяца до срока его погашения по учетной ставке 20% годовых. Определить значение эквивалентной ставки простых процентов, определяющей доходность операции учета.
Ответ: 21.1%.
Задача 24
Простая ставка процентов равна 20% годовых. Определить значение эквивалентной ей учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Ответ: 18%.
Задача 25
Кредит на два года предоставлен по ставке сложных процентов 16% годовых. Определить значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Ответ: 14.5%.
Задача 26
По депозитному сертификату сроком на пять лет начисляются простые ссудные проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку сложных процентов.
Ответ: 11.84%.
Задача 27
Банк ежемесячно начисляет проценты на вклады по номинальной годовой ставке 12% годовых. Определить доходность вкладов по сложной годовой ставке процентов.
Ответ: 12.68%.
Можно сделать следующие выводы:
1. Значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при m = 1.
2. Простая учетная ставка всегда меньше эквивалентных ей других ставок (поскольку наращение по этой ставке при прочих равных условиях всегда быстрее).
3. Эквивалентность различных процентных ставок не зависит от величины первоначальной суммы Р (первоначальная сумма предполагается одинаковой).
4. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления процентов за исключением случаев эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).