Определение оценки характеристик одномерного распределения

Несмещённость – при увеличении объёма выборки оценка должна сходиться по вероятности и истинному значению параметра.

Согласованность – S² – смещённая дисперсия. Смещение этой характеристики происходит из-за того, что отклонение выборочного значения отсчитывается не от математического ожидания теоретического распределения, а от его эмпирического аналога _ср, поэтому вводят поправку для получения несмещённой дисперсии ( ).

Достаточность – число выборочных значений, которая отражала бы закон распределения всей совокупности.

Мера положения – 1 момент (арифметическое, геометрическое, гармоническое средние, медиана, мода)

Сре́днее арифмети́ческое — это сумма всех чисел в наборе, делённая на их количество (μ).

Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X.

Гармоническое среднее – (среднее степенное) среднее значение:

Медиана – среднее значение в группе измерений, когда они выстроены в порядке возрастания; если число показаний четное, то по соглашению это среднее двух центральных значений ( ).

Мода – значение x, эмпирическая вероятность mi/n которого максимальна; находится графически по гистограмме или с помощью линейной интерполяции.

Рисунок 1 – Симметричное распределение

Рисунок 2 – Распределение с асимметрией

Меры рассеивания (дисперсия, стандартное отклонение, размах)

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X], или .

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Стандартное отклонение (несмещённая оценка среднеквадратичного отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания):

Размах - расстояние x_n- x₁ между крайними членами вариационного ряда. Применяется при построении контрольных карт распределения значений выборки.

4) Меры формы

Вариационный ряд - реализации, записанные не в порядке получения, а в порядке возрастания, то есть упорядоченная выборка Выборка - совокупность объектов, отобранных для исследования из генеральной совокупности, а их число n- объём выборки

Доверительный интервал J_γ

интервал, накрывающий параметр с вероятностью γ (γ – доверительная вероятность или уровень доверия)

Математическая статистика - раздел математики, посвящённый математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов

Математическое ожидание - аналог понятия центра масс, то есть «средневзвешенное» значение случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины x

сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

Метод моментов метод получения оценок параметров, который состоит в том, что если оцениваемый параметр распределения является функцией от моментов распределения (в самом простом случае сам является моментом), то в эту функцию подставляются эмпирические значения Статистика - любая функция q(x1,¼, xn), зависящая от выборки; является случайной величиной

моментов и полученное значение берется в качестве оценки для параметра

Функция распределения F(x) - функция, применяемая для задания случайной величины, равная вероятности того, что случайная величина x примет значение, меньшее х: F(x) = p(x<x)