Доходность и риск портфеля ценных бумаг

В теории портфельного инвестирования исходят из того, что значе­ния доходности отдельной ценной бумаги портфеля являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону.

Чтобы определить распределение вероятностей случайной величи­ны необходимо знать, какие фактические значения принимает данная величина, и какова вероятность каждого подобного результата. При этом инвестора интересует доходность инвестиций в конце инвестиционного, холдингового периода, то есть будущиезначения , которые в начальный момент инвестирования неизвестны. Значит, инвестор должен оперировать ожидаемым, будущимраспределением случайной величины . Существу­ют два подхода к построению распределения вероятностей - субъективный и объективный, или исторический. При использовании субъективного под­хода инвестор, прежде всего, должен определить возможные сценарии раз­вития экономической ситуации в течение холдингового периода, оценить вероятность каждого результата и ожидаемую при этом доходность ценной бумаги.

Субъективный подход имеет важное преимущество, поскольку по­зволяет оценивать сразу будущиезначение доходности. Однако, он не на­ходит широкого применения, поскольку для обычного инвестора очень трудно сделать оценку вероятностей экономических сценариев и ожидае­мую при этом доходность.

Чаще используется объективный,или историческийподход. В его основе лежит предположение о том, что распределение вероятностей бу­дущих (ожидаемых) величин практически совпадает с распределением ве­роятностей уже наблюдавшихсяфактических, исторических величин. Значит, чтобы получить представление о распределении случайной вели­чины в будущем достаточно построить распределение этих величин за какой-то промежуток времени в прошлом.

Как показывают исследования западных экономистов, для рынка акций наиболее приемлемым является промежуток 7-10 шагов расчета. В отличие от субъективного подхода, который предполагает разную вероят­ность различных значений доходности, при объективном подходе каждый результат имеет одинаковую вероятность, поскольку при наблюдениях случайной величины вероятность конкретного результата составляет вели­чину . Например, если исследуется доходность акции за предшествую­щие 10 лет, то вероятность каждой годовой доходности составляет 1/10.

Наиболее часто в теории инвестиционного портфеля используется среднее арифметическоезначение случайных величин. Напомним, что если ,(t = 1,2,….,N) представляют собой значения доходности в конце t –го периода, а - вероятности данных значений доходности, то:

где – среднее арифметическое значение доходности;

N – количество лет, в течение которых велись наблюдения.

В случае объективного подхода =1/ N, поэтому формула примет вид:

=

Наиболее часто риск ценной бумаги измеряют с помощью дисперсии и стандартного отклонения .

Доходность портфеля.Подожидаемой доходностьюпортфеля понимается средневзвешенное значение ожидаемых значений доходности ценных бумаг, входящих в портфель. При этом "вес" каждой ценной бума­ги определяется относительным количеством денег, направленных инве­стором на покупку этой ценной бумаги. Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля равна:

где – ожидаемая норма отдачи портфеля;

– доля в общих инвестиционных расходах, идущая на приобретение i-той ценной бумаги (“вес” i-той ценной бумаги в портфеле);

– ожидаемая доходность i-той ценной бумаги;

n – число ценных бумаг в портфеле.

Измерение риска портфеля.При определении риска портфеля сле­дует учитывать, что дисперсию портфеля нельзянайти как средневзве­шенную величин дисперсий входящих в портфель ценных бумаг. Это объясняется тем, что дисперсия портфеля зависит не только от дисперсий входящих в портфель ценных бумаг, но также и от взаимосвязи доходностей ценных бумаг портфеля друг с другом. Иными словами, риск портфе­ля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой ценной бумаги портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изме­нений наблюдаемых ежегодных величин доходности одной акции на изме­нения доходности других акций, включаемых в инвестиционный портфель.

Меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с по­мощью ковариации и коэффициента корреляции. Положительная ковариацияозначает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доход­ность одной акции возрастает (уменьшается), то и доходность другой ак­ции также возрастет (уменьшится). Если же просматривается обратная тенденция, то есть увеличению (уменьшению) доходности акций одной компании соответствует снижение (увеличение) доходности акций другой компании, то считается, что между доходностями акций этих двух компа­ний существует отрицательная ковариация.

Когда рассматриваются величины доходности ценных бумаг за прошедшие периоды, то ковариация подсчитывается по формуле:

где – ковариация между величинами доходности ценной бумаги i и ценной бумаги j;

и – доходность ценных бумаг i и j в момент времени t ;

и – ожидаемая (среднеарифметическая) доходность ценных бумаг i и j;

N – общее количество лет наблюдения.

Часто при определении степени взаимосвязи двух случайных вели­чин используют относительнуювеличину – коэффициент корреляции :

Итак, риск инвестиционного портфеля надо определять с помощью дисперсии. Пусть в исследуемый портфель входят n ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле:

Учитывая, что коэффициент корреляции , то эту формулу можно представить в виде: